Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Теорема Жуковского. Коэффициенты подаемной силы и момента пластинки Определим динамическое воздействие потока на находящийся в нем профиль. Составим выражения главного вектора Ю и главного момента 7ч! снл давления потока на профиль С (рис. 74) относительно начала координат О. Используя уравнение Бернулли р = сопз!— Р! УР 2 4 ае.
ГлАВныи ВектОР н ГлАВныи мОмент сил дАВления пОтОкА 193 подучим выражения главного вектора К = — фрл1 = — "л"1.') )г'1алг)з 2 о с с иглавного момента 7 О = — (~) (хп„— уп,) рг(з = и гТ) (хлл — ул,) ~ )г !в гЬ. 2:т с с Переходя в этих формулах к комплексным величинам, заметим, что л = — 1еге, гЬ = гЬе-го, хп„— ул„= Ые ((гл), )/ = ~ ) )г)е'о. Тогда предыдущие формулы силы и момента приведутся к виду й=)ал + 11ру = = — — г6 ) )г )в г(г, 2 'Д' с 1 — —" 17е ф ()')ве ~гегг(г 2 с Заменим в этих формулах ~у) найдем ="Ж)Ч)Ч.= "ХЧЧ, 2о 24 с с (81) То= — — ' Йе г6)гаг Нг.
2 с Рис. 74 Вспоминая, что по предыдущему Г=г(Х/дг, перепишем эти выражения еще в таком виде: (82) Приведенные формулы главного вектора и главного момента снл давления потока на профиль были даны в 1910 г. С. А. Чаплыгиным '), Покажем, что для вычисления контурных интегралов, входящих в формулы Чаплыгина (81) или (82), нет необходимости полностью знать коиплексный потенциал, а достаточно иметь лишь первые три коэффициента в разложении производной от комплексного потенциала г(Х/ггг, нан, что все равно, сопряженной комплексной скорости Г в ряд Лорана.
Предполагая, что во всей внешней к обтекаемому профилю области фнзической плоскости, включая и сам контур С, особых точек нет, можем представить сопряженную скорость Р' ее разложением в ряд Лорана в физической плоскости )г = а, + —" + — '" +... (83) га ') Чаплыгин С. А. О давлении плоскопараллельного потока на преграждающие тела (К теории аэроплана).— Мат. сб., 19! О, т. ХХЧП1. 7-ваат !94 ГЛ УН БЕЗВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИЦЕАЛЬНОИ СРЕДЫ Легко убедиться, что первые два коэффициента выражаются через скорость набегающего потока 17 и циркуляцию Г, а именно с,— Г а,=(1'), =17, а = — ~~Уйг= —. 2п! 2п! с' Подставим в полученные только что формулы (81) разложение со. пряженной скорости в ряд Лорана (83), причем сохраним под знаком ин.
теграла только те слагаемые, которые дадут результаты интегрирования, отличные от нуля; будем иметь (С' — произвольный круговой контур в физической плоскости, охватывающий профиль С) )7 = — !3!) ~... -)- — '' +...) с(г= — 2прааа„ вЂ” р! .с г' 2аеа, 2 $)~" с с р .к ! а',+2аеа, а .5о= — — Гсе)~;~... + ' + ...(йг= — прйе(!(ат+2а,аа)).
Используя выражения (84) первых двух коэффициентов а, и а„по. лучим 77= — !р т' Г. 5,= — 2прГсе(!)г„аз). (85) Первая из формул (85) выражает известную теоре,иу Жуковского о подъемной силе крыла в плоскопараллельном безвихревом потоке идеальной несжимаемой жидкости. Эта теорема была опубликована в 1906 г. в классическом мемуаре «О присоединенных вихряхв'), в котором Н. Е. Жуковский впервые установил вихревую природу сил, действующих со стороны потока на крыло, и указал на наличие простой зависимости между этой силой и циркуляцией скорости по контуру, охватывающему обтекаемое крыло.
Для того чтобы, оставаясь в рамках теории идеального безвихревого потока, определить величину воздействия потока на помещенное в него тело, Жуковский заменяет крыло некоторым воображаемым жидким крылом, ограниченным замкнутой линией тока, и предполагает, что внутри этого жидкого крыла происходит движение с особенностью — вихрем '). Такой вихрь Н. Е. Жуковский назвал присоединенным. Интенсивность присоединенного вихря можно вычислить только при помощи некоторого дополнительного допущения.
Таким допущением, как мы уже знаем, является постулат Жуковского — Чаплыгина о конечности скорости на задней острой кромке крылового профиля. Пользуясь этим постулатом, оказалось, как мы видим, возможным теоретически определить величину наложенной циркуляции, или, что то же, интенсивность присоединенного вихря. Эта величина задается формулами (63) или (64) настоящей главы. Идея присоединенного вихря и постулат конечности скорости на задней острой кромке крылоного профиля представляют собой основу всей теории крыла в плоскопараллельном потоке.
Эти представления нашли свое дальнейшее развитие и применение и в более общей, пространственной теории крыла конечного размаха, системы крыльев, а также в теории лопаточных аппаратов турбин, компрессоров и насосов. Возвращаясь к первой формуле (85) и принимая во внимание ее векторный характер, заключим, что величина главного вектора хс равна ') Ж у к о в с к и й Н. Е. Избр, соч., т. !1.— Лл Мл Гостехиздат, 1948, с. 97. ') См. по этому поводу С т си а но в Г. Ю. О некоторых неточностях в разъясне.
пнях теории крыла.— Механика жидкости и газа, 1978, № 3, с. 188, 189; Степанов Г. Ю. О комментариях к избранным трудам С. А. Чаплыгина.— Механика жидкости и газа, !977, № 4, с. !80 — 183. 1 М ГЛАВНЫЙ ВЕКТОР И ГЛАВНЫЙ МОМЕНТ СИЛ ДАВЛЕНИЯ ПОТОКА 195 произведению плотности жидкости на величину скорости набегающего потока и величину наложенной циркуляции (à — алгебраическая вели- чина, которая может быть как положительной, так и отрицательной) р ) (86) (87) впервые указанном Чаплыгиным. Входящее в эту формулу произведение агп зависит от формы обтекаемого контура.
Для иллюстрации применения формул (85) остановимся сначала на простейшем примере, изложенном в конце 9 52,— на обтекании пластинки с плавным сходом струй с задней кромки. В этом случае апт ='/,с, а подъемная сила оказывается равной ()7! =2прс) У„!' Гйп а. (88) а его направление определяется (рис. 75, а, б) поворотом на 90' вектора скорости набегающего потока У„по часовой стрелке, если Г)0, и против часовой стрелки, если Г(0. Таким образом, как уже отмечалось в $50, главный вектор )с является силой, поперечной к направлению набегающего потока или к направлению поступательного движения тела в обращенном двим'енин, По формулировке Жуковского для получения направления главного вектора сил давления )с й надо повернуть вектор вй' скорости набегающего потока У„на 90' в сторону, противоположную направлению циркуляции Заметим, что ива- а) правление циркуляции в збшем случае крылоного профиля произвольной формы и любого наппавления натекания ие поддается непосредственному восприятию, как это имело, например, место в случае циркуляционного обтекания круглого цилиндра, допускающем простую физическую интерпретацию (й 50).
Для определения «направления циркуляции» необходимо в каждом отдельном случае находить знак Г, пользуясь для этого формулой (63). Весьма существен тот факт, что единственной силой, действующей на профиль в плоскопараллельном безвихревом потоке идеальной несжимаемойжидкости, является перпендикулярная к направлению набегающего потока или, в обращенном движении, поперечная направлению движения профиля сила, которая может быть названа подъемной или поддерживающей силой, так как именно эта сила обеспечивает подъем самолета в воздух, поддерживает его крыло при горизонтальном полете. Подчеркнем отсутствие составляющей силы, направленной вдоль движения жидкости, или, что все равно, направления движения тела по отношению к жидкости,— силы сопротивления.
Это представляет собой частный случай общего парадокса Даламбера, Теорема Жуковского подтверждает парадоксДаламбера для любого плоского безвихревого движения идеальной несжимаемой жидкости как прн наличии присоединенных вихрей, так и при отсутствии их. Общее доказательство парадокса для пространственного течения будет дано в $73 гл. !Х. Воспользовавшись теоремой Жуковского и постулатом Жуковского — Чаплыгина, можно по формуле (86) и по формулам (63) и (64) получить выражение величины подъемной силы в виде 1)7 ( =4пагп„р( У„(п' з(п(г,— 0 ) ) =4пагп„р) У„(п'з(п а~, 196 гл.
ип. ввзвихрввыв двнжвния нднлльноп срвды Введем коэффициент подъемной силы как отношение величиии подъемной силы ))7~ к скоростному напору набегаюгцего потока '/,р~ У„1' и длине хорды Ь. Обычно ось Ох направляют по скорости У„; тогда подъемная сила будет направлена по оси Оу и может быть обозначена через У или )(„. Вот почему коэффициент подъемной силы в иа. шей литературе принято обозначать через с„, а коэффициент сопротивления — через с„. При этом обозначении будем иметь йп с„=, = 8л — з(п а, 7,р~у„рь ь а в рассматриваемом сейчас частном случае пластинки (Ь=2с) с„=2л з1п а. (90) Как показывают многочисленные опыты, при сравнительно малых углах атаки, при которых действительно выполняется условие плавного схода струй с задней кромки, формула (90), переписанная в виде (з1п аи а) с„и 2ла и 6,28а, (9!) удовлетворительно отражает установленную в опытах закономерность: при малых углах атаки коэффициент подъемной силы пластинки прямо (в пропорционален углу атаки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
