Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Отсюда следует, что соответствующая задней кромке профиля точка круга во вспомогательной плоскости должна быть критической. Из этого условия найдем циркуляцию Г, если, используя (61), напишем, что скорость в точке В* равна нулю гих'1 — -У ' 1' 1 с=св чв. Полагая здесь ~в* ав~ла где е,— полярный угол точки В* на окружности С*, ΄— угол, образованный скоростью на бесконечности с осями Ох или О*с„получим -и ьз,» -'и) г т )У 1е — т„1У ( е + — е '"'о=О, откуда найдем «Б..-е,1 -йе,»-аи Г = — 4пат (У ! 21 или, переходя от показательных функций к тригонометрическим, Г= — 4пат„~ У 1з! п (Π— е,) . (63) 1 ов пРимеРы пРименения метОдА конФОРмных ОтОБРАжений 183 Введем обозначение 0 — е,=а и перепишем формулу (63) в виде 7= — 4пат„'1 'к'„1зш а. (64) Повернем по отношению к заданному потоку профиль так, чтобы без наложения циркуляции (Г=О) задняя кромка совпадала с критической точкой В.
Отметим на профиле прямую КК (рис. 65, а), определяюп2ую направление скорости на бесконечности, соответствующее этому бгсциркуляционному обтеканию. Жестко связанную с профилем прямую КК будем называть направлением бесциркуляционного обтекания, а соответствующее значение угла 6 =е, — углом бгсциркуляционного обтекания профиля. У Н х б1 уирнулнционное ооо" еноние о) беецирнуонционное об~пеноние Рис. 68 Повернув профиль на угол а (рис. 65, б), получим циркуляционное обтекание с критической точкой в задней кромке В, причем необходимая для этого циркуляция определится равенством (64).
Острый угол а между направлением скорости набегающего потока и направлением бесциркуляционного обтекания назовем теоретическим углом атаки в отличие от практических углов атаки, определяемых как углы между направлением скорости на бесконечности н хордами крыла, задаваемыми разнообразными способами. Формула (64) определяет так называемую теоретическую циркуляцию. Как показывают опыты, теоретическая циркуляция несколько превышает действительную; объяснение этого факта связано с наличием в реальных жидкостях внутреннего трения. Исключая из параметрической системы (61) циркуляцию при помощи формулы (64), получим однозначное решение задачи о внешнем обтекании крылового профиля.
Вывод формулы (64) основывался на наличии у крылоного профиля острой задней кромки. В случае обтекания профиля плавной формы беэ угловой точки на задней кромке постулат Жуковского — Чаплыгина не имеет места и циркуляция остается неопределенной. Теоретический расчет обтекания такого рода профилей требует или специальных допущений, или задания положения задней критической точки.
$52. Примеры применения метода конформиых отображений. Обтекание эллипса и пластинки (65) (66) Рассмотрим некоторые простые конформные преобразования внешности круга во вспомогательной плоскости на внешность замкнутого профиля в плоскости течения. Первое такого рода преобразование, указанное Н. Е. Жуковским и использованное С. А. Чаплыгиным в 1910 г., имело вид г = — (ь+ — ) илн, в более симметричной форме, е 22. пРимсРы пРимене11ия метОдА кОнФОРмных ОтОБРАжении !85 все рассматриваемые эллипсы имеют общее фокусное расстояние 2с и фокусы в точках г" и г"'.
Из (68) следует с=а+ б. (69) Комплексный потенциал Х(г) обтекания любого из эллипсов С„ С„ в том числе в пределе и отрезка гг"', со скоростью иа бесконечности У„, образующей с осью Ох угол О, и циркуляцией Г можно по-прежнему составить в параметрической форме (61) 1 г- У„(п- ь)'1 Г 1 сх' Х= — ~У ~+ " )+ — 1п~, г= — (~+ — ); (70) 2 2п! 2 Х в случае обтекания отрезка гг"' надо положить Ь=О, с=а. Комплексный параметр ~ может быть из системы (70) легко исключен. Разрешая второе равенство относительно ь, получим Ь = г,+!~юг' — с', (71) причем перед корнем взят верхний знак, что соответствует отображению внешности эллипса на внешность круга; в самом деле, принимая нижний знак, мы бы имели — 1/га р с' р е Рнс 87 ') Гоно р А.
Л. Определение поля течения иа поверхности некоторых тел в потоке аесжимаемоа жидкости.— Механика жидкости и газа, 1978, № 2, с. 187 — 190. и «=0 при г=оо, т. е. внешности эллипса соответствовала бы внутренность круга. Таким образом, вместо параметрического представления (70) комплексиого потенциала обтекания эллипса получим явное выражение этого потенциала Х(г) = — ~У (г+ )>тгз — с') + -1- — 1и (г-1- 1/гз — сл) 2 ~ г+ у гт — ст~ 2>и которое легко упрощается, если обычным приемом уничтожить иррациоиальиость в знаменателе второго слагаемого в квадратных скобках.
Будем иметь Х(г)= — у,.(г+ у>г' — сх) -1- — (и+ 1 у (г — )/га — с') -(- 2 2 сх + — 1п(г+ Т/2' — с'). (72) 2>и Бесциркуляциоииое (Г=О) обтекание эллипса показано иа рис. 67 Нулевая линия тока, проходящая через критические точки А и В, состоит из самого обтекаемого эллипса и двух отрезков софокусиой с иим гиперболы, параметры которой завися~ от угла атаки О„. Имея выражение комплексного потенциала скоростей (72) и взяв от него производную по г, найдем сопряженную скорость, а следовательио, и распределение скоростей и давлений по контуру обтекаемого эллипса. А.
Л. Го и о р ') придал этим распределениям изящную форму, доказав теорему: при безвихревом, бесциркуляционном обтекании эллипса несжимаемой жидкостью в направлении его осей скорость в точках контура пропорциональна косинусу местного угла атаки в этих точках. гл иьь везвихревыв движения ндехльноп среды 186 Приведем доказательство этой теоремы для случая набегающего потока, параллельного большей оси эллипса. Аналогично проводится доказательство в случае потока, параллельного малой оси, а путем наложения этих потоков †д обтекания под любым углом атаки.
Выражение потенциала скоростей тр найдем, положив в (72) Г=О, т' =)т =У„и отделив в ней действительную часть. Для этого перейдем от декартовых координат х, у и эллттптическим $, т1: х=с сЫ соз т1, у=с с)т $61п т1. Координатными линиями будут служить семейства софокусных эллипсов и гипербол (с — расстояние от начала координат до фокусов): х» у» х» у» + =1, — =-!. с» сит 1 с явь С с» с05»ч с»яптч Рассматривая обтекаемый эллипс с полуосями а и Ь как один из эллипсов первого семейства ($=сопз1), получим следующие соотношения, справедливые на контуре эллипса: с)т$=атс, з)тс=Ь/с, с=тута' — Ь», сох»1=х/а, з!и т1=у/Ь.
Переходу от лекартовых координат к эллиптическим соответствует преобразование а=се)т с, где г=х+тт/, ~=»+тт). Комплексный потенциал скоростей т( при этом приобретет вид т-и »Г~Е~ ьььь — ььь ьт — ь,ьи, а его действительная часть и производные от нее по $ и т! будут равны ,-и ть.-ььььь — ььь ьт — ьгьаю», ьтььт=и тьй-ььььь — ььь .»т — ь ьть щт, ььььь= — и тьь-ьььь — ььь .ьт — ььть,ьп. Для определения производных дф/дх и дф/ду используем систему ра- венств дьр дтр дх дтр ду дф дф дх дф ду д$ дх д» ду дй дп дх дп ду дп которая, согласно только что полученным соотношениям, приведется на контуре эллипса к следующей: Ь дф а дф а дф Ь дти а+ Ь вЂ” х — + — у — =О, — у — — — х — =(/ — у.
а дх Ь ду Ь дх а ду Ь Решения этой системы уравнений выразятся в форме дьр а+Ь 7 хт у»'ь — = — и„— у( — + — ) ду а'Ь' 1 а' Ьь / а квадрат модуля скорости окажется равным ))т~» ( дьр) ( дьр) (/у (а+Ь)»»( х» у») т Квадрат косинуса местного угла атаки О на контуре эллипса будет равен соз О=( — ) =~1+ ( — ) г м.
пеимееы пеименения метода конооемных отовгажении 1зт или, согласно уравнению эллипса в декартовых координатах, соз'9 = (у'/Ь') (к'/а'+ у'/Ь') Сравнивая между собой полученные выражения ~ У1г и соз'О, убе- димся в наличии на контуре эллипса соотношения ~)!1=(1+Ь/а)У созО, которое доказывает теорему Г о н о р а. Коэффициент давления с = =(р — р„)/('/грУ ) определится равенством с,=1 — (1+ Ь/а)' сон*О. При Ь=а вновь найдем указанные в $50 формулы бесциркуляциоиного обтекания круглого цилиндра. Теорема Г о н о р а справедлива не только для плоского бесциркуляцнонного безвнхревого обтекания эллиптического цилиндра, но и в случае пространственного обтекания вытянутого и сплюснутого эллипсондов вращения, а также и трехосного эллипсоида. Доказательство этих результатов можно найти в ранее цитированной статье А.
Л. Г онора. Полагая в (72) с=О, Ь=а, получим комплексный потенциал циркуляцнонного обтекания круга. Для этого достаточно лишь вычислить предельное выражение г — 1'гг — сг ~ 1 входящее во второе слагаемое. Будем иметь — 'т'„аг Х (г) = Р„г + —" + —, 1п г г 2л1 а полном соответствии с ранее указанным выражением (63). Полагая в той же формуле (72) Ь=О, а=с, найдем комплексный потенциал циркуляципнного обтекания пластинки длины 2с (отрезка ЕР' на рнс. 66) )(= — Р (г+)/гг:с')+ — 'Ъ' (г — )/гг:сг)+ — 1п(г+ )'гг:сг) = 2 2 2л! ! 1 Г = — (т' + т' )г — — (т' — )! ) )/Р— с'+ — 1п(г+ )/г' — с') = 2 2 2л! = и г — т„~/Р— с'+ — 1п(г+ )/гг — с'), (73) Г 2л~ где и, о„— проекции т'„на оси координат.
Йа рнс. 68 показана картина линий тока обтекания пластинки при 1 О. Нулевая линия тока состоит из поверхности пластинки и двух отрезков софокусной гиперболы, параметры которой, так же как и в случае обтекания эллипса, зависят от угла атаки 0„. Не останавливаясь на анализе течения, определенного формулой (72) в общем случае, рассмотрим несколько подробнее выражение (73) комплексного потенциала обтекания пластинки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
