Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Одна- ко теоретическая величина коэффн. у циента пропорциональности 2л =6,28 несколько завышена. На ьг рис. 76 представлены для сравнения йв й» Рис. 77 Рис 76 теоретическая прямая и экспериментальная кривая с„(а) для сим. метричного профиля с отношением максимальной толщины к хорде, равным 9%. Как видно из рисунка, в интервале углов атаки — 13'(а 13' (область отрицательных а на рисунке не представлена, но она в силу симметричности профиля только знаком отличается от области положительных а) расхождение между теоретическим коэффициентом подъемной силы пластинки и экспериментальным для тонкого профиля неве.
лико. Возможность рассмотрения пластинки как предельного случая тонкого симметричного профиля при стремлении относительной его толщи. ны к нулю позволяет обосновать справедливость формулы (91). Физически можно себе представить, что, как бы ни была тонка пластинка, передняя ее кромка все же имеет некоторую закругленность, на которой благодаря очень большой (для пластинки теоретически бесконечной) $2С ГЛАВНЫЙ ВЕКТОР Н ГЛАВНЫН МОМЕНТ СНЛ ДАВЛЕННЯ ПОТОКА 1Я7 скорости образуется значительное разрежение, создающее подсасываю- е(ую силу, направленную навстречу потоку вдоль поверхности пластин- ки. Зта подсасывающая сила вместе с силами давления, перпендикуляр- Вмии к пластинке, и дает подъемную силу, поперечную к направлению набегающего на пластинку потока.
Чтобы вычислить главный момент 7., снл давления потока на плас- тинку, разложим сопряженную скорость Г обтекания пластинки, опре- деляемую в рассматриваемом сейчас случае плавного стекания жидко- сти с задней кромки пластинки формулой (77), в ряд по отрицательным степеням г: 1/ г — с, сг 1 1 222 1 )7(г)=и„— 1О 1,: — и,и + '- ' - + 2+с 2 2 22 Сравнивая это разложение с рядом (83), получим а,=и„— 1'о„=т„, а,=си„=с11'Р'„(э(па, 1,. 1 а, = — — с22о = — — с22 ~ )т ~ з1п а.
2 По первой из формул (85) находим К=)т„+2)т„= — гр(и +1о„)Г=ро„à — 1ри„Г, илн, пользуясь формулой циркуляции (75), 22„= — 2ярсо, 22„= 2ярсио Момент 7., по второй из формул (85) будет равен 2' (о = — 2пр ГАе ~ — — с'1о 2' (и — ш„)] = — прего Ие (и — 1о ) =- = — прсзи о . Переходя от проекций скорости и„, о„к их выражениям через модуль скорости и угол атаки а=8„, получим )2„= — 2ярс! У„1' з1п*а. )22=2ярс!)т„12 В1п а соз а, 1.<,— — — яре'(У„1' з!и а соз я.
Имея выражение проекций подъемной силы и момента относительно точки О, можем найти уравнение линии действия равнодействующей. Обозначим через х и у текущие координаты точки на линии действия равнодействующей; тогда уравнение этой линии получим в виде х߄— уЯ„= 1.„ али, используя предыдущие выражения и произведя очевидные сокра- а1ения, Х СОЗ а+У З1П а= — — С СОЗ а. ! 2 Точка Ц (рис. 77) пересечения линии действия подъемной силы с пластинкой называется центром давления.
Если привести все силы давленая потока на пластинку к одной силе )т, то эта сила будет приложена в центре давления Ц. Полагая в последнем уравнении у=О, найдем абсциссу положения центра давления Ц на пластинке х= — —. 2 Центр давления потока на пластинку находится на четверти ее длиям от передней кромки, причем, как показывает последняя формула, аолтсение центра давления не зависит ни от скорости набегающего потока, ни от угла атаки. ГЛ. ЧП. БЕЗВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЪНОИ СРЕДЫ 198 Вводя в рассмотрение коэффициент момента М > '!,Р! У„РВ* ' будем иметь при малых углах атаки (з!пажа, соза-1) с,„= — а.
2 Сравнивая с формулой коэффициента подъемной силы с„=2па, видим, что с: с„=1: 4. Отметим, что это соотношение, обычно выражаемое через коэффи,. циенты с/с /с(а и с(с„/да в виде лс лс лсс 1 лс ла ' са 4 ' удовлетворительно соответствует опытным данным не только для обте. кания пластинки, но и для тонких симметричных профилей. Если принять точку Ц ( — с/2, О) за точку, относительно которой бе. рется главный момент сил давлений, то момент Ь„будет равен нулю, Это свойство пластинки, а также и тонких симметричных профилей ис.
пользуется при конструировании креплений рулей. За ось вращеикя руля берут линию, проходящую через центры давления нормальных к осн вращения сечений руля; это сводит к минимуму момент, необходимый для поворота руля, и облегчает управление. й 55. Теория тонкого профиля (дужки) Тонкий крыловой профиль малой вогнутости можно рассматривать как дужку, уравнение которой в системе координат, показанной нз рис.
78, представляется в виде у=й(х) = -'[6,(х)+Ь,(х)), 2 где у,=й,(х) и у,=й,(х) — уравнения верхней и нижней поверхностей тонкого профиля, приближенно заменяе- У мого дужкой. Поместим дужку в плоскопараллельный безвихревой поток идеальной несжимаемой жидкости, имеющий ско- У рость иа бесконечности У„, образующую ~в с хордой профиля АВ=2с угол атаки 8„.
Для расчета обтекания тонкого профиля применим метод малых возмущений, приняв, что возмущение скорости У*, производимое дужкой в набегающем потоке, мало по величине. Таким образом, вектор скорости У в любой точке потока может быть представлен суммой У= У„+ У*. (93) Условие непроницаемости дужки запишем в форме равенства нулю ма контуре дужки проекции скорости У на нормаль к контуру: Г~ л У, = Г„„+ У„= и соз (и, х) + п соз (п, у) + У, = О.
5 55. ТЕОРИЯ ТОНКОГО ПРОФИЛЯ 199 Отсюда вытекает граничное условие (Π— угол касательной к дужке с осью ОХ, и и о„— проекции скорости Р' на оси Ох и Оу) У„= — К,= — (и соз(и,х)+о соз(п,у)1=и зш0 — о со50, (94) которое должно выполняться на обеих сторонах дужки. Из условия махой вогнутости следует, что угол 0 мал, и можно положить 5!и 0 10 0=6 (х), с05 0 1. Пользуясь малостью отклонений дужки от хорды АВ, заменим в граничном условии (94) нормальную компоненту скорости возмущения У„иа равную ей с точностью до малых высших порядков проекцию о" !той скорости на ось Оу. Кроме того, граничное условие (94) выполним ее на дужке К, а на хорде АВ.
Такой перенос граничных условий с одной кривой на мало от нее отклоняющуюся другую вводит ошибку второго порядка малости. Итак, имеем граничное условие о" (х, у) = и„й'(х) — о„при — с<х< с и у=+О. Двойной знак при нуле выражает применимость граничного условия (95) как иа верхней, так и на нижней границе разреза АВ по оси Ох в плоскости течения, т.
е. непрерывность изменения функции о» (х, у), представляющей взятую с обратным знаком мнимую часть 1т», при переходе с одной стороны разреза АВ на другую. На бесконечном удалении от дужки скорость возмущения обращается в нуль; кроме того, еще должно быть выполнено условие Жуковского — Чаплыгина конечное~и скорости в точке В. Задача сводится, таким образом, к разысканию голоморфной, исчезающей на бесконечности функции Г»(г), мнимая часть которой на отрезке действительной оси ( — с<х<с) удовлетворяет условию 1гп Р'»(г) =о — и й'(х), (96) непосредственно вытекающему из (95), причем функция к*(г) должна быть конечна при г=с.
Сравним поставленную задачу с ранее рассмотренной задачей об обтекании пластинки с конечной скоростью на задней кромке ($52). Из полученного там распределения скоростей (77) найдем сопряженную скорость возмущения ° с — с /с — с! У'=У вЂ” У =и„— 5о у — — и + 5о =(о 1— 0 атом случае условие (96), очевидно, удовлетворено, так как на пластинке 'к"=Го ~1 — ! )/ — ) =о ~/ — +(о, а Ь'(х) =0; кроме того, Р'»-~0 при г-!-ОО и и*=О, о*= — о„при г=с, т. е. )7» конечно. На верхней стороне разреза. ( — с<х<с, у=+0) кар- аю приписывается положительное значение, а на нижней ( — с<х<с, у= — 0) — отрицательное, так что, приравнивая в предыдущей формуле действительные и мнимые части, получим й(х,+0)=о,.
— ', и'(х,— 0)= — о„1/ с:х, с с+х' ' г с(х' о*(х, +0) =о»(х, — 0) = — о„, откуда следует и»(х, +0) = — и»(х, — 0), о*(х, +0) =о*(х, — 0). (97) ГЛ. х!1. БЕЗВИХРЕВЪ|Е ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОИ СРЕДЫ 200 Конечный скачок в величине составляющей и* скорости возмущения пра переходе через разрез от положительных у к отрицательным равен и' (х, + О) — и' (х, — О) = 2о„1 с+а Как уже было разъяснено в конце 9 52, этот разрыв В составляющей и' при непрерывности составляющей о* может быть интерпретирован ках наличие вихревого слоя с общей интенсивностью, равной наложенной на пластинку циркуляции. Возвращаясь к вопросу об обтекании дужки, представим ') искю. мую сопряженную скорость возмущенного движения как произведению (радикал играет ту же роль, что и в формуле (77) для пластинки) [т" = — 7'(г), (98) а+с где 1(г) — ограниченная, голоморфная и исчезающая на бесконечности функция; при таком выборе вида функции Ра(г) будут выполняться условия га(с) =О, Р(с) =и„безотрывного обтекания задней кромки (г=с).
На передней кромке (г= — с) скорость в общем случае обра. щается в бесконечность '). По известной формуле Коши будем иметь следующее интегральное представление функции [(г) через ее значения на контуре: 7(й) 2н1 3 ь — а (99) где Ь вЂ” контур выреза АВ с двумя бесконечно малыми окружностями, выделяющими точки разветвления А и В подынтегральной функции 1(0= 3/Ври(0 причем в верхней части разреза АВ у корня следует брать знак плюс а считать 1($) = — + ' [и'(9, + О) — |о' (9, + О)) = — !' — + [и' ($, + О) — то' (9, + О)[, х 5 — С с — 5 ') Седов Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
