Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 49
Текст из файла (страница 49)
е. значение потенциала скорости ср, изменяющегося от — оо вдалеке вверх по течению, до + оо вниз по течению, положим 1п р= — оо, а, следовательно, р=О. Тогда формула (118) дает выражение для силы ГЛ. Чп. БЕЗВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОП СРЕДЫ 212 давления потока на пластину Р = — Рос 21 1 2 (119) г .>) 1и ~l — ~ — ут -си причем, согласно (116), ос=о . Равенство (119) вместе с равенством (1!7), переписанным в виде — 1- ги:ск ь = ° 'Г' ° " — ~У=и. г"' ' (120) определяет Р при заданных р, о„, 1 и отношении 1/г'. ширины пластины к ширине свободной струи, При 7.
оо и фиксиро- й Ю ванном 1, т. е., согласно л' 4 (! 20), при а-и.!, из (119) вновь получим формулу Рэлея. 3. Струйное обтекание пластины, находящейся в канале конечной ширины (рис. 87). Этот случай можно рассматривать как пре. ,С й р' дельный при 8-и-оо. Будем Рис. 86 Рис. 87 иметь из равенства (116) о,=о„(~/а+ ~/а — 1); сила определится по формуле (118) параметрическим выражением р ! 2г 2 (~' а+ 1' а — Т)' (121) 2 р а+1 я+ 2 агс18 'г' а — Т 1' а — 1 которое надо рассматривать совместно с выражением отношения ширины пластины к ширине канала 2 1' а — 1 агс!я Р а — 1 + я (1 а — !) (122) п(У а+ 1 а — 1) Легко проверить по (121), что при 7:и-оо и фиксированном 1, т.
е., согласно (122), при а- 1, вновь получится формула Рэлея для случая поперечного обтекания пластины. Рассмотренные только что случаи 2 и 3 дают общее представление о необходимости поправок на ограниченность потока, которые надо делать при продувках пластин в аэродинамических трубах с открытыми (свободная струя) н закрытыми рабочими участками. Изложенный только что пример достаточно ясно иллюстрирует простой классический метод Кирхгофа, до сих пор встречающийся в практических приложениях, но уже не характеризующий современное состояние теории струйных течений.
Последняя обязана своим расцветом трудам многих крупных ученых конца Х1Х и первой половины нашего века. Литература по теории струйных течений идеальной жидкости чрезвычайно обширна, поэтому ограничимся перечислением лишь наиболее заметных научных источников. Прежде всего сошлемся на основополагающие работы в этой области наших выдающихся ученых: д вг. конФОРмные ОтОБРлжения В теОРии стРунных течении 2!3 Н, Е. Жуковского' ), С. А. Чаплыгина' ), А. И. Некрасова'), М.
А. Лаврентьева'), Л. И. Седов а'). Укажем также исторически важные исследования задачи о плоском струйном обтекании клина, относящиеся к последней четверти Х)Х века и принадлежа- щаеД. К. Бобылеву' ) иИ. В. Мещерскому' ). Не имея возможности сколько-нибудь подробно останавливаться на указании многочисленных зарубежных трудов по теории струйных течений (отсылаем к цитированной далее монографии М. И. Гуревича и помещенному в ней списку литературы), укажем лишь два капитальных труда, сыгравших значительную роль в современном развитии теории струй. Это замечательные по общности постановки задач струйного обтекания работа Т. Леви-Чивитта') и монография Г. Вилл я').
В советской литературе выделяется богатая по содержанию монография М. И Г у р е в и ч а "), в которой с большой строгостью и ясностью нзложены теоретические предпосылки методов расчета струйных течений н приведены решения многих соответствующих задач, включая не толь. но плоские, но и осесимметричные, а также имеющие большое практическое значение задачи о струях «тяжелой» жидкости. Значительный интерес представляет монография Л. В.
Г о г и ш а и Г. Ю. Степа н о в а ") и работа второго из этих авторов"). Новый подход к струйным задачам, основанный на решении уравнений Эйлера в общем случае вихревых течений, указан в монографии М. А. Г о л ь д ш т и к а ") . ~) )Кука вский Н. Е. Видоизменение метода Кирхгофа для определения движения жидкости в двух измерениях при постоянной скорости, данной на неизвестной ханин тока.— Мат. сб. 1890, т.
ХЧ. з) Ч а п л ы г и н С. А. К вопросу о струях в несжимаемой жидкости.— Труды отд. ю, наук Общества любителей естеств. наук, 1889, т. 1О, вып. 1; Чаплыгин С. А. сиди, действующих на цилиндр, обтекаемый потоком с образованием поверхностей разрыва.— Сборник общетеоретической группы ЦАГИ, Труды ЦАГИ, 1935, вып. 240 и савиытная работа: Ч а ил ы г и н С. А., Л а в р е н т ь е в А. Л. О подъемной силе и сопротивлении длинного плоского крыла в предположении срыва с его верхней поверхнастн.-Трупы ЦАГИ, 1935, вып, 240. ') Некрасов А. И. О прерывном течении жидкости в двух измерениях вокруг арепятствня в форме дуги круга.— Известия Иваново. Вознесенского политехнич, ин-та, 1922, )чз 5 (вып.
матем.), С этой работой тесно связаны исследования: С е к е р ж - 3 е н ьнавич Я. И. К теории обтекании криволинейной дуги с отрывом струй.— Труды ЦАГИ, 1937, вып. 299 и другие работы того же автора. ') Лаврен тье в М. А О неноторых свойствах однолистных функций с приложениями к теории струй.— Мат. сб. (новая серия), 1938, т. 4 (46), № 3; Л а в рентьев М. А.
Кумулятивный заряд и принцип его работы.— Успехи мат. наук. 1957, т. Хй вып. 4 (76] ') Седов Л. И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики.— Мх Наука, 1980 н ряд работ того же автора в Трудах ЦАГИ и Технических заметках ЦАГИ за 1934— 1938 гг. ') Бобылев Л К. Заметка о давлении, производимом потоком неограниченной марины на две стенки, сходящиеся под наким бы то ни было углом.— Журн. Русского фкз..хии, об-ва, 1881, т. ХП1.
') М еще р с к и й И. В. К вопросу о сопротивлении жидкостей.— Журн. Русского фнз..хим. об-ва, 1886, т. ХЧ111. ') 1.еч!-С гч ! !(а Т. Зс(е е !сне! сн гез!з(епха.— цепб!соп(! бе! Сггсо1о Майеш. 4! Ра1еппо. 1907, ! ХХП1, № 1 ь) Ч1!!а1 Н.
Арегдцз йеопдцез бе 1а гезнйапсе без Нцыез.— Рама: Бс!епсе, Рйуз.- Май., № 38, ебй Оацй!ег — Ч!Пагз, 1920, р. 101. м) Г у р е в и ч М. И. Теория струй идеальной жидкости.— Мс Наука, 1979; в монографии помещен обширный список литературы, содержащий 653 названия. н) Гоги ш Л. В., Степа нов Г. Ю. Турбулентные отрывные течения.— Мх Наука, 1979, с. 286 — 313. м) С те п а н о в Г. Ю. Гидродинамическая теория аппаратов на воздушной подушке.— Мс Машгиз, 1963.
и) Гол ьдш тн к М. А. Вихревые потоки.— Новосибирск; Наука, Сибирское отделение, 1981. Г Л А В А Ч1! ! ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА 5 58. Основные уравнения движения и их линеаризация Уравнение неразрывности (9) гл. 1Ч в случае плоского стационарного движения газа примет вид — + — жр ~ — + — ) + и — +о — =О. д(ра) д(ра) Г да й~ Х др др дх ду ~ дх ду ) дх ду При условии адиабатнчности движения газа др др др ! др др др др 1 др дх др дх аа дх ду др ду аа ду используя уравнения Эйлера (4) гл. Ч, которые при плоском стационарном движении в случае отсутствия объемных сил могчт быть переписаны в форме да ди ~ др / <Ъ В~ ~ др р(и — +о — )= — —, р!1и — +о — )= — —, дх ду ) дх 1 дх ду ) ду получим др р ! ди ди ~ др р / да да ~ — — и +о — — = — — и — +ив дх аа (, дх ду)' ду ах ! дх ду) Подставляя эти значения др/дх и др/ду в (1), найдем уравнение (а' — и') —" — ио !à —" + — 1 + (а' — о') — = О, (2) дх ! ду дх / ду справедливое как для безвихревого, так и вихревого движения.
В случае безвихревого движения к этому уравнению присоединяется еще условие отсутствия вихря — — — =О. да 'й (3) ду дх При безвихревом стационарном адиабатическом движении идеального газа во всей области (плоскости) движения справедливо уравнение Бернулли ! ах ! аа ! ° а — Уа+ — = — (их+о')+ = — г' +— (4) 2 а — 1 2 а — ! 2 а — ! при помощи которого можно выразить скорость звука через скорость движения газа. Условие (3) отсутствия в потоке завихренности позволяет ввести потенциал скоростей ф(х, у), связанный с проекциями скорости формулами и= —, о= —. дф дф (5) дх ' ду Что касается функции тока, то ее существование вытекает нз левой части равенства (1), согласно которому можно положить, вводя в правые части формул постоянный множитель р„, ри=р —, ро= — р„— .
дф дф (6) ду ' дх З15 $ Ве ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И ИХ ЛИНЕАРИЗАЦИЯ Уравнение (2) после подстановки в него выражений проекций скорости (5) приобретает окончательный вид входящий в это уравнение квадрат скорости звука а' должен быть ис- ключен прп помощи вытекающего из (4) равенства а'=:Ъ"„+а"„—:[( — 'Р) -1-( — '~ ) 1. (8) Интегрирование уравнения (7) с исключенным по (8) квадратом скорости звука при обычных условиях непроницаемости твердых стенок обтекаемых тел и заданных значениях скорости на бесконечности представляет значительные математические трудности, связанные с нелинейностью уравнения. Обратимся к рассмотрению простейшего случая плоского обтекания тонких, слабо искривленных тел, расположенных в однородном газовом потоке под мальсм углом атаки.
В этом случае возмущения, создаваемые телом в однородном потоке, будут малыми, и уравнения (7) и (8) могут быть подвергнуты линеаризации, Выберем направление однородного потока совпадающим с направлением оси Ох и обозначим (7 , р , р , а„ и т. д. соответственно скорость, давление, плотность, скорость распространения звука в однородном потоке. Возмущения, вносимые в этот поток тонким телом, условимся обозначать тнльдой (-), так что будем иметь и=У +и, о=о, р=р +р, р=р +р, а=а + а. (9) Остановимся сначала на тех двух основных случаях, когда однород- ный поток является дозвуковым или сверхзвуковым, т.
е. когда число Маха однородного потока М = 0„/а„меньше или больше единицы (М М). Случай звукового потока (М =1) обладает некоторыми осо- беяностями и будет рассмотрен в дальнейшем отдельно, Подставим в уравнения (2) и (3) значения проекций скорости и ско- рости звука, согласно совокупности равенств (9), и пренебрежем про- изведениями возмущений и их производных по координатам. как малы- яя второго и высших порядков.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
