Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Но такая форма физически невозможна, так как при этом одному н тому же сечению трубы в данный момент соответствовало бы несколько различных скоростей. На самом деле изменение формы продолжается только до тех пор, пока касательные не станут перпендикулярными к Оси Ох. Предельной формой распределения возмущений будет служить скачкообразное изменение скорости, показанное на рис.
44 штрихами и соответствующее, очевидно, ударной волне. Таким образом, из теории распространения волн сжатия конечной интенсивности вытекает неизбежность возникновения в трубе ударных волн. Оценим промежуток времени 1„— Г„необходимый для того, чтобы ю начального распределения скоростей образовалось распределение и= Чтобы составить общее представление О характере деформации кривой распределения начальных возмущений, рассмотрим опять движение поршня в трубе (рис, 44). Пусть скорость поршня равна и„, направлена слева направо вдоль положительного направления оси Ох; справа от поршня образуется сжатие газа. В момент времени 1=1, перед поршнем образовалось возмущение скоростей, которое можно себе представить в виде некоторой непрерывной спадающей кривой и=и,(х). В последующий момент времени ь'=Г,)г, кривая распределения скоростей и=и,(х) будет иметь более крутой уклон, так как за промежуток времени 1,— 1, точки кривой и,(х) сместятся в горизонтальном направлении на отрезки, согласно теории распространения волн первого семейства (волн сжатия) равные ГЛ.
Чс. ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА где положено с = х + ~а, + — (х)~ (! — (с). А+1 2 (99) Поясним, что такой перенос ординат кривой и,(х) соответствует пе. ремешению в плоскости (х, 1) вдоль прямолинейных характеристик пер- вого семейства с постоянными на характеристике скоростями и,(х). Для вычисления производной в точке $ возьмем производную по х от обеих частей равенства (98); будем иметь, используя (99), и' ($) — ' = сс' (Ц) [1 + — и,' (х) (! — С,) ~ = и,' (х), Л', Г А+1 откуда (100) Пусть х=х„,— абсцисса точки, в которой кривая и,(х) имеет максимальный по абсолютной величине уклон и,'(х ).
Тогда, полагая. что в момент времени 1=1„левая часть равенства (100) при ф=ф обратится в бесконечность, получим из условия конечности величины и,'(х ) следующее равенство: 1+ — и,'(х )(! — !с)=0. А+1 Отсюда следует 2 2 (А + 1) и,' (х,„) (А + 1) ! и, (х„,) ! Полученное выражение может служитьсоценкой промежутка времени, по истечении которого распределение скоростей с максимальным по Рис 45 абсолютной величине уклоном )и,' (х„) ~ перейдет в скачкообразное распределение скоростей, соответствующее образованию ударной волны. Этот промежуток времени конечен и имеет тем меньшую величину, чем больше максимальный уклон кривой начального возмущения скоростей =и„(х) с бесконечно большим уклоном в какой.
нибудь одной точке, Этот промежуток времени можно принять за меру времени, по истечении которого нз заданного начального распределения возмущения образуется распределение, характерное для ударной волны. Обозначим через и=и(х) некоторое промежуточное распределение скорости, имеющее место в момент й Кривая и(х) получается из кривой и,(х) параллельным оси Ох переносом ординат кривой и,(х) на расстояние (97), так что можно написать и($) =и,(х), (98) $44 ВОЛНЫ РАЗРЕЖЕНИЯ ЗА ДВНЖУШИМСЯ ПОРШНЕМ 151 При рассмотренном только что движении поршня слева от него образуется разрежение, которое будет распространяться при помощи волн второго семейства (волн разрежения) и также приведет к некоторому непрерывному распределению скоростей возмущений, направленных в сторону положительных х. Но в этом случае распределение скоростей представится не спадающей, как на рис.
44, а восходящей кривой (рнс, 46), так как точки, ближние к левой стороне поршня, будут иметь ббльшне скорости, чем удаленные от нее. Выведенное из равенств (96) заключение о возрастании абсолютной скорости распространения волн второго семейства показывает, что в этом случае уклон кривых уменьегзется и тенденция к образованию разрывов отсутствует. $ 44. Волны разрежения за движущимся поршнем.
Центрированные волны. Автомодельная и общая задачи Рассмотрим детальнее') вопрос о волнах разрежения, образующихся В одномерном газовом потоке за движущимся поршнем. Начнем с простейшего случая так называемых центрированных волн разрежения. Прежде всего заметим, что нз условия сохраняемости скорости движения газа и и скорости звука а вдоль характеристик данного семейства, согласно (86) или (87), следует их прямолинейность в плоскости (х, 1). Действительно, если, например, принять постоянство инварнанта г, т. е. в изэнтропическом случае положить и+ — = сопз1 = и, + 2а 2а, й — 1 ' й — 1 (101) то вдоль характеристик С, второго семейства — волн разрежения— должны сохраняться и и а, так что из равенства л« вЂ” = и — а = сопз1 = и, — а, а1 будет вытекать а«« — «г — = — =и,— а„ 4П 1 — 14 где (х„1,) — какая-то точка плоскости (х, 1), находящаяся на характе- ристике С„а и, и а, — соответствующие скорость газа и скорость звука В этой точке. Из этого равенства следует уравнение семейства характе- ристик С, в плоскости (х, 1) х — х,= (и,— а,) (1 — 1,).
(102) 41 См. цитированную уже ранее монографию; 3 ель до в и ч Я. Б., Ра й- зер Ю. П. Физика ударнмх волн и высокотемпературных гидродинамнческих явлений.— Мз Физматгиз, 1963, с. 25 — 43, и П а те р с о н Г. Н. Молекулярное течение газов.— Мх Физматгиз, 1960, с. 63 — 72. Зто — ярямьсе линии, на каждой из которых величины и, и а, сохраняют свое постоянное значение.
Если все характеристики данного семейства пересекаются в одной н той же точке, то соответствующие им волны носят наименование ценгрнрованных. Рассмотрим в качестве примера ценгрированных волн задачу о потоке газа за движущимся поршнем (рнс. 46) и определим, каков должен бить закон движения поршня, для того чтобы вызываемые им волны разрежения были центрированными. Обозначая через (х, 1) координаты общей точки (полюса) пересечения характеристик второго семейства (волн разрежения), положим, гл.
ч! одномвоныи поток иделльного глзх 452 что в начальный момент (1=0) поршень (скорость его обозначим через гэ), а вместе с ним и газ находились в покое (пг=О, и=и,=О, а=а,), а с момента 1=1, поршень, достигнув скорости ш„стал двигаться равномерно с этой скоростью. Тогда, согласно (!01) и (102), будем иметь уравнения характеристик в плоскостях (х, !) и (и, а) в конечной форме — и+ о (103) ! — 7 ь †! ь †! Отметим, что, в то время как характеристики семейства С, в плоскости (х, 1) представляют собой семейство прямых, зависящее от значения разности и — а, в плоскости (а, а) все характеристики сливаются в одну прямую.
Из уравнений (103) найдем и = — ( — + а,, (104) ьч- ! !,! — ! ~в 1! сх,с ! Как видно из рис. 46, начальная характеристика 3 сектора центрированных волн П имеет уравнение х= — а,1, I - гроугин пути порюня Я вЂ” грасрая путо иастицы б — яопапьноя хоронтериапино области б 4 — гояояоюигая харантерастино области ll непосредственно следующее из уравнения (87) при и.=О, а=а,=сопя! и условия прохождения этой характеристики через начало координат (начальное положение поршня в начальный момент времени).
Область 1, рас. положенная слева от этой характеристики, соответствует покоящемуся газу, и характеристиками в ней будут служить прямые, параллельные начальной характеристике. Область П замыкается характеристикой 4, проходящей через ту точку графика пути поршня 1, начиная с которой этот график становится прямолинейным, а скорость поршня постоянной и равной в,. Замыкающая характеристика будет иметь уравнение х — х= (и,— а,) (! — !), (! Об) и имеет вид х — х = (1 — 7) [а (1 — Г) " + — ' й — ! ) (107) Различные значения постоянной интегрирования и соответствуют выбору частиц, движения которых рассматриваются.
Полагая х=.~(0 где и,=ш„а а,— скорость звука слева от поршня, движущегося уже равномерно со скоростью ги,. Справа от замыкающей характеристики 4 в области Ш характеристики буду! являться прямыми, параллельными этой характеристике. Уравнение движения частиц газа прп рассматриваемом движении поршня определяется путем интегрирования уравнения Э 44 ВОЛНЫ РАЗРЕЖЕНИЯ ЗА ДВИЖУЩИМСЯ ПОРШ!4ЕМ 453 прн != — х/а„найдем значение а($) н, подставляя его в уравнение (!07), получим уравнение движения частицы, имевшей в начальный момент (при начале движения поршня) абсциссу я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
