Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Как известно, при наличии необра- тимых процессов преобразования мехаРис. 38 нической энергии в тепловую в замкну- той (адиабатической) системе энтропия этой системы должна возрастать. Легко убедиться, что в рассматриваемом сейчас случае прохождения газа сквозь скачок уплотнения отнесенная к единице массы энтропия газа будет возрастать.
Составим с этой целью выражение энтропии по (54) гл. чг. Получим з,— з,= ~1п® вЂ” 1и( —,')~= 1П~Р' (~') ~. (45) На рис. 36 показаны для сравнения графики двух адиабат: изэнтро- пнческой и неизэнтропической ударных адиабат. Как видно из этого графика, при р,/р,>1 ударная адиабата располагается выше изэнтропической, откуда и следует, что выражение, стоящее в квадратной скобке под знаком логарифма в формуле (45), больше единицы, логарифм положителен, так что действительно з,>з,. Из формулы (45) сразу следует, что скачка разрежения быть не может.
Действительно, повторяя формально все предыдущие рассуждения относительно воображаемого скачка разрежения, можно было бы получить те же самые формулы и при р,>р„р,>р,. Но при р,/р,<1 кривая, соответствующая ударной адиабате, ложится ниже изэнтропической адиабаты Гна рис. 36 эта ветвь показана штрихами; она пересекает ось А — ! ! ординат в точке (О, — )1, так что в этом случае з,(з,; это озна- А+1 чает, что при прохождении газа сквозь воображаемый скачок разрежения отнесенная к единице массы энтропия газа должна была бы уменьшаться, а это приводит к противоречию со вторым началом термодинамики. Таким образом, н из общих термодинамических соображений сле. дует, что скачок разрежения невозможен.
Заметим, что ударная адиабата имеет асимптоту р, л+! рг А — ! так как при этом отношение давлений, согласно (43), обращается в бес- 4 39. ПРям01! скАчОк Уплотнения !2П $39. Изменение скорости и термодинамических параметров газа при прохождении его через прямой скачок уплотнения По теореме Бернулли, справедливой порознь в областях до и после скачка уплотнения, имеем !!! И1 + — = 61 = сРТ19, )19 + — = 399 = СРТ9 9 0' Сравнивая эти равенства с (41), заключим, что при прохождении газа сквозь скачок уплотнения сохраняются полная энтальпия й, и температура адиабатически заторможенного газа Т„а следовательно, и а„ а', 7*. Таким образом будет: й =й =)19, 7'!9= 7'99= т9, т! = 7'9 =7", (46) а =а99К а„а,=и!=а.
Согласно формуле Клапейрона можно написать также, что Рт Рм Р! Р9 Рн Рм Р! Р (47) Разыщем связь между скоростями Р, и Г', до и за скачком уплотнеаая. Перепишем с этой целью уравнение количеств движения (40) с учетом (39) в виде (48) )! Ь Р! Р9 1 9= Р9Р Р1Р Уравнение Бернулли в форме второго из равенств (77) гл. 11', примененное до и после скачка, дает — + а'* а — ! а — 1 р! 2(а — 1) 2 99 а р, а+! — а — ! р, г(а — П Определяя из этих двух уравнений отношения р,/р„р,/р, и подставляя ах значения в уравнение (48), получим после простых преобразований равенство Ио по доказанному выше в скачке уплотнения р,)р, и, следовательно, по (39) Р,) )г,; при этом предыдущее равенство приводится к следующему выведенному Праидтлем соотношению: $'!К,=а*', (49) которое при переходе к скоростным коэффициентам Л„Л1 преобразуется 5-9497 конечность.
Отсюда следует, что, в отличие от обычного адиабатического н нзэнтропического сжатия газа, например в теплоизолированном циландре с поршнем, как бы ни было велико сжатие р,/р, газа в ударной волне, созданное ею уплотнение газа р,7р, не может превзойти величины А-'- ! †. Так, например, воздух, пройдя сквозь скачок уплотнения, не мо- А-! жет повысить свою плотность более чем в шесть раз. гл. чь одномаеныи поток идалльного глзл 13О к виду (50) Л,Л,= 1. 11з формулы Прандтля (49) при наличии неравенства 1~,>'й, следует 'й,>а*>'к', или Л,>1>Л„ т, е. перед скачком движение газа сверхкритическое, за скачком — докоитическое. Воспользовавшись формулой (80) гл.
Ч, убедимся, что М,> 1 при Л,> 1 и М,<1 при Л,<1. Таким образом, заключим, что движение газа до прохождения им скачка уплотнения является сверхзвуковым, за скачком — дозвуковым. Перейдем в формуле Прандтля (50) от скоростных коэффициентов к числам М. Согласно соотношению (79) гл. Ч будем иметь м, м, 1 м, —, м-: Разрешив это уравнение относительно М,, получим связь между числа- ми М, и М, до и после скачка ! -,'— а — ! 2 (51) А — 1 аМ' —— 2 Составляя для упрощения вычислений производную д(М,')/д(М,м) вместо одинаковой с ней по знаку производной дМ)НМь будем иметь 1(М ) (ь+ В б(М') 4 (ЛМ~ м ! )ч откуда следует, что с возрастанием числа М, потока до скачка число М, за скачком монотонно убывает.
Приводим табл. 3 связи между М, и М, Таблица 3 и гн М1 М1 Мв Мм Мв Рии мин 0,561 0,546 0,534 0,522 0,512 2,820 3,200 3,604 4,043 4,500 2,1 2 2 2,3 2,4 2,5 4,970 5,480 6,О0О 6,550 7,400 0,6Г8 0,640 0,616 0,595 0,577 1,000 1,246 1,520 1,824 2,120 2,455 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 1,000 0,912 0,842 0,779 0,739 0,701 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 в диапазоне 1(М,~2,5 для воздуха (к=1;4); в этой же таблице приводятся и числовые значения отношения р,/р„характеризующего сжатие газа при прохождении его через скачок уплотнения. Формула связи р,)р, и М, будет выведена далее.
Как показывает формула (5!), при беспредельном росте М, величина М, стремится к своему предельному значению (М.)м,=-=, ' 2м для воздуха (8=1,4) равному 0,378. 9 39. ПРЯМОЙ СКАЧОК УПЛОТНЕНИЯ 1З! Определим относительные изменения давления АР „Р2 — Р2 Ф Р2 Р2 плотности ~Р Р2 — Р2 Р2 Р2 и температуры так что ар 2 — =Л2 — 1 Р2 (54) — М2 а-1- ! 2 др М2 — ! Р2 Ф М2 Р 1 (55) р 1 1+ 2 а — 1 1+ — М2 2 Чтобы определить относительное изменение температуры, используем равенство (41), из которого следует Ат ь,-и, 22-~,* '2 ~ ~ 1 Т2 «2 262 2р22/(» — 1) (, 12 / 2 2 Заменяя здесь, как и ранее, М, через Л, илн Л, через М„получим ат «-1 Л,' — 1 Э т (а+!)2 М2 (56) (57) Чтобы оценить потерю механической энергии движущегося газа прн прохождении нм прямого скачка уплотнения, условимся характернзо- ат т, т, т, т, прн прохождении газа через скачок уплотнения. Для этого используем основные соотношения (39), (40) н формулу Прандтля (49), написав =йМ;(1 — — 1,).
1 Остается применить формулы (79), (80) гл. 27 перехода от Л, к М, ьлн от М, к Л„чтобы получить искомые соотношения — — — 1+ . '; (52) ЬР 2Ф Л2 ! Р2 2а р, а+! а — ! р а+! 1 — Л2 1+1 а+1 Р 2а (М. 1) Р, 1+ 2а (М2 1) 2а М2 а — 1 (55) р, а+! ' ' р, а+! ' А+! ' а+! лналогнчные преобразования дают и' Р2 1/2 а'* $ 39 ПРЯМОЙ СКАЧОК УПЛОТНЕНИЯ !зз Напомним, что, согласно (47), эти же выражения определяют и отношеные плотностей заторможенного газа за скачком и до скачка.
На рис. 37 представлен график второго соотношения (59) для воздуха (й=1,4); там же приведен график сжатия р,~р, воздуха в скачке. График, выражающий первое соотношение (59), имеет тот же характер, но р ~р„обращается в нуль не при М,— 1-ОО, а при конечном значении л+! скоростного коэффициента )1=- у —. как видно из графика, чем л — ! больше величины М, или р,/р„ характеризующие интенсивность скачка, тем относительно меньшее давление р„ можно получить за счет последующего адиабатического и изэнтропического торможения газа, прошедшего через скачок уплотнения. Причина этого явления была выясаена раньше: в скачке уплотнения имеет место необратимое преераи(елие механической энергии в тепловую, вследствие чего механическая энергия становится меныпе.
Более точно, чем на рис. 37, можно судить о значениях отношения р,3р„при больших числах М, по графику рис. 38, где это отношение построено в логарифмическом масштабе; здесь же дана зависимость 0(М,) !формулы (10), (11) ), которая потребуется в $41. При больших М, вторая из формул (59) может быть заменена приближенной, асимптотической ~л — ! М» ' 1 ) + »-1 М 'л" 1М'=1 1 1 1 М, ', (60) 2» (Л вЂ” !) ЛУР1, Л-)-! — -'- — (М вЂ” !) 2 2 1 2»» — ! 2» 1 1 к= ) — + — (М*, — 1)1 1»+ ! Ф-'- !»ч- ! л — 1, л — ! ! ч- — -'; — (м1 — !) 2 ' 2 -(н- — "~м',— ч) [ 1+ (М, — !) л — ! ! + — (М' — !) л+! Производя разложение по степеням малой величины М,' — 1, убедимся, что коэффициенты прн М,' — 1 и (М,* — 1)' обращаются в нуль, и что дает простую количественную оценку поведения величин р»/р,.
при больших М,. Например, для воздуха (й=1,4) прн больших М, рассматряваемое отношение обратно пропорционально числу М, в пятой степени, что говорит о весьма значительных потерях механической энергии при прохождении газа через скачки большой интенсивности. Укажем, что соответствующая этому случаю простая асимптотическая (веркая только при больших значениях М,) формула для х будет н- -360 М1'. Исследуем поведение кривой на рис. 37 при малых значениях разкостя М,' — 1. Преобразуем второе равенство (59) к виду ГЛ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
