Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Пусть вначале разность давлений между баллоном и камерой была невелика и скорость истечения сквозь патрубок не превосхо- ') и! о об А. В. А !ех!Ьоой о1 зоппс( — Ьопбоп: Веп А Бонз 1!6, 194!. ') Детальную модель зтнх процессов можно найти в статье К о г а р к о Б. С. Двнжение смеси жидкости с газовыми пузырьками.— Сб. трудов Междунар. симпозиума по неустановнвшнмся течениям воды с большими скоростями (Ленннград, 22 — 26 июня 1971). Мз Наука, 1973, с.
243 — 246 н в других статьях того же автора. Минимум скорости звука соответствует объемной концентрации газа а=1/2. Для воды с пузырьками воздуха при обычных условиях давления (р=10 кПа) этот минимум равен 20 м/с, т. е. в !7 раз меньше скорости звука в воздухе (340 м/с) и в 75 раз меньше скорости звука в воде (1500 м/с). Существенное отличие (а=50 м/с) сохраняется и при 4о/о объемной концентрации воздуха. В цитированном обзоре Вийнгардена можно найти обобщения вышеуказанных формул скорости звука в газожидкостных средах, учитывающие разность скоростей жидкости и пузырьков газа, влияние неизотермичности процесса сжатия пузырька, наличия вязкости жидкости, частоты звуковых колебаний и других физических деталей процесса '). 1 ЗЬ ЧНСЛК м И Ь ИЗЭНТРОПИЧВСКИВ ФОРМУЛЫ 107 дала скорости звука.
Будем теперь медленно понижать давление в камере; тогда скорость истечения начнет повышаться. Создаваемые в камере возмущения (уменьшения) давления будут распространяться против течения нз камеры через патрубок в баллон до тех пор, пока скорость в выходном сечении патрубка не достигнет скорости звука. После этого возмущения давления не смогут уже проникнуть в баллон, так как онн будут сноситься потоком, имеющим ту же скорость, что и скорость распространения возмущений в газе. Продолжающееся понижение давления в камере не отразится на явлении истечения, скорость которого будет оставаться постоянной и равной скорости звука в выходном сечении патрубка. Это явление носит наименование запирания потока.
В дальней1пем мы встретимся и с другими, столь же своеобразными явлениями в потоках сжимаемой среды — газа. Если где-нибудь в потоке газа скорость у' станет равна местной скорости звука а, то такая скорость газа у'=а* называется критической; критическими будут называться и соответствующие значения р*, р*, Т* давления, плотности и температуры. Если скорость истечения в рассматриваемом только что случае достягнет в выходном сечении патрубка своего критического значения, то в этом, также называемом критическим, сечении патрубка давление, плотность и температура газа примут соответствующие критические значения, В адиабатическом движении газа критические значения параметров состояния одинаковы для всех частиц газа и зависят только от полной его энтальпии (531) и могут быть определены, например, по «заторможенным» значениям параметров в баллоне, где газ предполагается неподвижным. Наличие критических явлений представляет характерную особенность газовых течений.
Приведенный пример показывает, что характер развивающихся в потоке явлений тесно связан с величиной отношения скорости в данной точке потока к скорости звука или критической скорости потока. Отношение скорости 1' движения газа в данной точке потока к соответствующей этой точке местной скорости звука М= —, характеризующее, будет ли поток в данной точке дозвуковым (М<!), звуковым (М= 1) или сверхзвуковым (М> 1), представляет основной параметр движения газа и называется числом М (числом Маха).
Отношение скорости потока в данной точке к одинаковой для всего потока в целом критической скорости У/а*=А будем называть скоростным коэффиэргнтом. В зарубежной литературе его обозначают символом М". В конце предыдущего параграфа уже указывалось, что скорость звука пропорциональна средней квадратичной скорости свободного пробега молекул. Это позволяет рассматривать квадрат числа М как величину, характеризующую отношение кинетических энергий направленного (аиешнего, изучаемого в механике жидкости н газа) и хаотического, молекулярного (внутреннего) движений газа Действительно, это отношение энергий равно '«'« '«'«А , = — М'.
(Зул) а' 3 При дозвуковом движении (М<1) кинетическая энергия направленного движения меньше кинетической энергии хаотического. Это сохраняется и при сверхзвуковом движении до М=~З/й (для воздуха 1,46): при больших значениях числа М кинетическая энергия направленного движе- гл. ч. динкмикл идвлльнои овады ния превосходит по величине кинетическую энергию молекулярного движения, С точки зрения динамики газа, рассматриваемого как сплошная среда, характерным, критическим для процессов движения газа является не значение числа М, при котором выравниваются энергии направленного и хаотического движений, а значение М=1, соответствующее равенству скорости частиц газа скорости распространения малых возмущений в той же точке газа.
Из дальнейшего станет ясно, что и сами уравнения движения газа имеют принципиально друг от друга отличный характер: эллиптический — в дозвуковом (М( 1) и гиперболический в сверхзвуковом потоках (М)1). Это математическое различие отражает физические особенности двух основных режимов течения газа. Пользуясь числами М и Х, можно составить простые, удобные для запоминания формулы связи между скоростью, давлением, плотностью н температурой в изэнтропнческом адиабатическом движении.
Заменив в равенстве (51) энтальпию й ее выражением через температуру, будем иметь — +с Т=с,Т„ 'о'а где, как всегда, индекс нуль обозначает, что величина взята при $'=О, т. е. в адиабатически и изэнтропически заторможенном газе. Деля обе части последнего равенства иа с Т, получим — =1+ Т, Т 2сТ Замечая, что А — 1 Р В-1Ма 2 а' 2 2сТ с 2 — ЬйТ И~ перепишем предыдущую формулу в виде То е 1 а о 1 + — Ма !1 + — Ма! Т 2 То 1 2 (71) Вспоминая, что скорость звука пропорциональна корню квадратному из абсолютной температуры, получим -=(+',")" -'=(+ — '.'") ' Пользуясь формулами (48) и (49), легко по (71) получить изэнтропические формулы: для отношения плотностей ! ! — ' = (1+ ', ' М'), — '= (1+ — ', ' М'), (75) (72) отношения давлении эо (1+ л 1 Ма) (1+ М) (74) (75) и отношения скорости потока к скорости звука в покоящемся газе ~ =М(1+ ~ М') Изэнтропические формулы (71) — (75) осуществляют параметрическую связь между температурой, плотностью, давлением и скоростью при помощи параметра М.
1 33. ЧИСЛА М И А ИЗЭНТРОПР!ЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ 109 Аналогичные по типу параметрические формулы можно установить, виея в качестве параметра скоростной коэффициент Л. С этой целью заметам, что энтальпия связана со скоростью звука соотношением срйГ ар А=С Т= ая а — 1' (76) и перепишем (51) в виде У' а' + = СОП51, 2 а — ! где константу можно определить как из условия а=а, при У=О, так и из условия а=а" при У=а*. Будем иметь одно из следующих двух равенств: 2 а †! а †! 2 а †! 2(Й вЂ” 1) Деля обе части последнего равенства на У', получим связь между числом Маха М н скоростным коэффициентом Л ! а — 1 2 ! Лр а+1 а+1 Мр (78) или М.
Таким образом, получим М легко разрешимую относительно Л (79) 1+ М' н обратное соотношение м=1Г,' (80) в — 1 1 — — М а+1 так что формулы (71) — (75) преобразуются к виду — — Лр — = '1 — = Лэ" Тр а+1 ар (, а+1 (82) Эти формулы, так же как и формулы (71) — (75), полезно запомнить, потому что они постоянно встречаются при расчетах газовых потоков. Если М=О, то и Л=О; если же М-ч-аа, то Х-УА = ~г— «+1 а — 1 (Л, =2,449 для воздуха при й=!,4). Заметим, что входящий в изэнтропические формулы двучлен а — ! 1+ М3 может быть выражен через Л по формуле 2 1+ — Рйр = (8!) 1 — — Л а+1 гл.
ч. динамика иднкльнои овады 41О Покажем, что в изэитропических формулах (73) и (74) содержатся как частный случай при М=О формулы несжимаемой жидкости р)го р=ро р+ = ро. 2 (83) Подчеркнем, что условие М=О следует в этом случае, конечно, понимать как наличие бесконечного значения скорости звука а, вытекающее из формулы а=))др/йр при р=сопз1, т, е. результат обращения в бесконечность знаменателя а в выражении М, а не числителя У в нуль, что означало бы отсутствие течения. Разложим правые части (73) и (74) в степенные ряды при малых М; тогда будем иметь 2 ир/р ~ л1„1о е — 1 (ь — 1 / 1)о — 1)' о Ро .
2 2 4 = —, ( — М + — М +... ) =1+ — М +..., (84) Р 1 Мо (85) Ро 2 Полагая М=О, найдем формулы (83) несжимаемой жидкости. Кроме того, учитывая в полученных разложениях еще вторые члены, определим порядок погрешности, которую делают, рассматривая при малых М движущийся газ как несжимаемую жидкость. Полагая р=сопз(=р„ пренеб~!егают по сравнению с единицей членами, старший из которых равен /оМ'. Если, например, допустить относительную погрешность за счет неучета сжимаемости газа, равную 1%, то это равносильно требованию '/,М'~0,01, М(0,14, что для воздуха при нормальных условиях [Т= (273+15) К, а=340 м/с) приводит к ограничению скорости Ъ'(50 м/с. При скорости, близкой к 100 м/с, относительная ошибка доходит до 4%. Как видно из формулы (84), при этом относительная ошибка для давлений в два раза меньше, чем для плотностей.
Пользуясь изэнтропическими формулами, найдем выражение критических параметров газа Т', а', р*', р* через параметры Т„ а„ р„ р, заторможенного газа. Для этого достаточно вспомнить, что при критическом течении скорость г' равна местной скорости звука а, т. е. в этом случае М=-1. Тогда по (7!) — (75) будем иметь (86) Составив изэнтропические соотношения для каких-нибудь двух точек с числами М, н М, или Л, и )и одного и того жс потока или двух потоков, но с одинаковыми параметрами заторможенного потока и поделив соответствующие соотношения друг на друга, получим 1+ М, '1 — Л' Т, 2 ' о+! Т А — 1 е — ! 1+ М' 1 — Л' 2 ' 1+1 ГЛАВА У! ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА 5 34.
Одномерное стационарное движение газа по трубе переменного сечения Если все динамические и термодинамические величины газового потока являются функциями только одной, в общем случае криволинейной, координаты и времени, то такой поток называется одномерным. Для приближенных расчетов газовых потоков по трубам во многих случаях можно довольствоваться следующей упрощенной одномерной стационарной схемой. Принимая вектор скорости в данном сечении тру. бы или канала направленным вдоль оси, а величины скорости У, давления р, плотности р и температуры Т постоянными по сечению, будем рассматривать их как величины, изменяющиеся от сечения к сечению канала, причем закон изменения площади сечения А вдоль оси будем считать заданным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
