Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 29
Текст из файла (страница 29)
1,62= 230; 11 1,4 0,01 гл. ч!. одномвгныи поток иделльного глзл бесконечности $* стремится к конечной величине А-'-1 Л-1-1 1 $' — + 1и 4 й — 1 2 В частности, для воздуха (й=1,4) кривая на рис. 33 имеет горизонтальную асимптоту $*=0,5751. й 38. Плоская ударная волна и скачок уплотнения В отличие от задачи о распространении малых возмущений изучение явления распространения конечных по интенсивности возмущений представляет математические трудности, так как требует интегрирования нелинеаризованных уравнений (55) гл.
ч'. Рассмотрению этого случая бу- дет посвящен $44; там же прн— водится принадлежащее Риману строгое объяснение явлений возникновения в идеальном газе в ударных волн, представляющих собой поверхности разрыва параи=а ~ и-'т' 'с ''3 метров состояния газа и скорости ;;+,--. его движения. Остановимся сна- чала на элементарной теории Рис.
34 ударных волн и удовольствуемся простым качественным объяснением причины их возникновения. Представим себе (рис. 34) теплоизолированную от внешней среды цилиндрическую трубу бесконечной длины, вдоль которой перемешается поршень. Пусть вначале поршень и газ неподвижны, а затем поршень мгновенно приобретает некоторую скорость и перемещается с этой скоростью влево, сжимая находящийся перед ним газ. Возникающее при этом возмущение (сжатие газа) будет распространяться по трубе.
Разобьем мысленно область возмущенного газа на большое число объемов близкими друг к другу, перпендикулярными к оси трубы плоскими сечениями, каждому из которых соответствуют свои значения возмущенных параметров газа и скорости распространения по отношению к газу. Можно предположить, что распределение возмущений вдоль оси в каждый момент непрерывно, т. е. в двух достаточно близких друг к другу сечениях параметры газа мало разнятся между собой. Тогда, представляя движение газа в данном сечении как относительное в системе координат, движущейся поступательно и равномерно со скоростью газа в смежном сечении, можем в такой галилеевой системе применять теорию распространения малых возмущений. Это позволит утверждать, что скорость распространения возмущений в каждом сечении равна местной скорости звука.
Таким образом, распространение возмущений, создаваемых поршнем, можно рассматривать как совокупность непрерывно следующих друг за другом звуковых волн, причем каждая последующая волна перемещается по газу, возмущенному предыдущими волнами. Но в рассматриваемом аднабатическом и изэнтропнческом движении сжатие газа сопровождается его подогреванием, а скорость распространения возмущений возрастает с температурой. Отсюда заключим, что каждая последующая волна будет перемещаться относительно невозмущенного газа быстрее, чем предыдущая. Волны будут догонять друг друга, складываться и образовывать одну обладающую конечной интенсивностью волну сжатия, называемую ударной волной. Заметим, что при движении поршня влево за ним образуется разре- жение, которое будет распространяться вправо от поршня также волно.
З 38 ПЛОСКАЯ УДАРНАЯ ВОЛНА И СКАЧОК УПЛОТНЕНИЯ $25 вым образом. Но в этом случае волны уже не будут нагонять друг друга, так как последующая волна пойдет по газу, охлажденному предыдущей волной, и скорость распространения последующей волны будет меньше скорости предыдущей. Из это~о простого рассуждения следует, что волны разрежения не могут образовывать ударные волны. В следующем параграфе будет лаио и другое, термодинамическое доказательство невозможности такого рода образований. Из описанного только что процесса развития ударной волны сжатия следует, что после того, как ударная волна образовалась (в дальнейшем будет доказано, что это произойдет через конечный промежуток времени), по обе стороны от ее фронта параметры состояния газа и его скорость (абсолютная или по отношению к движущемуся фронту) будут иметь значения, различающиеся между собой на конечные величины.
Фронт ударной волны представляет собой поверхность (в рассматриваемом частном случае — плоскость) разрыва параметров состояния газа, перемещающуюся по газу и вызывающую скачкообразное изменение этих параметров, причем невозмущенный газ перед фронтом ударной волны имеет меньшие лавление, плотность и температуру, чем после прохождения фронта.
Наличие такого скачкообразного изменения параметров газа — в действительности очень резкого их изменения на участке длины, равной по порядку пути свободного пробега молекулы,— показывает, что здесь имеет место внутренний молекулярный процесс, связанный с переходом кинетической энергии упорядоченного течения газа в кинетическую энергию беспорядочного теплового движения молекул. Этим объясняется разогрев газа при прохождении его из невозмущенной области перед фронтом ударной волны в область возмущенного движения за фронтом ударной волны.
Повышение средней квадратичной скорости пробега молекул вызывает также возрастание давления и плотности газа при прохождении его сквозь фронт ударной волны. Явление одномерного распространения плоской ударной волны допускает элементарный количественный расчет, Обозначим через у' постоянную скорость движения поршня (рис. 34), а через 0 — скорость распространения относительно невозмущенного газа ударной волны, показанной на рис. 34 штрихами.
Предполагая, что процесс возникновения улариой волны уже закончился, примем скорость газа во всей области между ударной волной н поршнем одинаковой и равной постоянной скорости движения поршня (г; точно так же будем считать постоянными в этой области и параметры газа. Таким образом, как слева от ударной волны (в области невозмущенного газа), так и справа от нее параметры движения и состояния газа сохраняют неизменные значения при всех положениях ударной волны. Отсюла следует, что и скорость распространения удариои волны 0 также постоянна, причем из приведенного рассуждения ясно, что ударная волна обгоняет газ, приво. лимый в движение поршнем, т. е. всегда будет 0) Г Движение газа в системе координат, связанной с трубой, будет несгационарным, так как ударная волна, перемещаясь влоль трубы, изменяет поле скоростей во времени.
Обратим движение, сообщив мысленно всей трубе вместе с движущимся газом поступательное движение вправо со скоростью 0. Иначе говоря, будем рассматривать происходящее в трубе явление с точки зрения галилеевой системы координат, движущейся поступательно вдоль оси трубы вместе с фронтом ударной волны, Тогла ударная волна окажется как бы остановленной, а движение газа — ста- ционарным. Неподвижную ударную волну, плоскость которой перпендикулярна к направлению потока, будем называть прямь1л1 скачкол1 уплотнения. Не- возмущенный газ в новом рассмотрении уже не неподвижен, а подходит 126 ГЛ.
Ч!. ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК 1!ДЕАЛЬНОГО ГАЗА к скачку уплотнения слева направо (рис. 35) со скоростью У, = О, а за скачком движется со скоростью У,=Π— У; при этом, очевидно, У,) 1т,; давление, плотность и температура в этой галилеевой системе сохраняют свои прежние значения.
Условимся в дальнейшем обозначать индексом 1 величины перед скачком, индексом 2 — после скачка. Чтобы найти связь между У„ р„ р„ Т, и У„ р„ р„ Т„ воспользуемся стационарностью потока н применим к нему теорему сохранения массы, количества движения и энергии в форме Эйлера. Как следует из самих выл=а! г!52! ' Рт2! ля! л водов, приведенные в т=т, ! т-т, 24 эйлеровы формы ! этих теорем могут быть применимы и при наличии в потоке поверхноРяс 35 отей разрыва (например, скачка уплотнения). Следует только выбрать контрольную поверхность так, чтобы те ее части, на которых нормальная составляющая скорости отлична от нуля, не совпали и не пересеклись с поверхностью разрыва. Выберем за контрольную поверхность совокупность боковой поверх.
ности цилиндрической трубы и двух равных между собой по плошади нормальных сечений о, и а, (рис. 35). Поверхность разрыва пересекает только ту часть контрольной поверхности, где 1'„=О. В силу принятой одномерности движения будем считать, что в сечениях о, и о, поля скорости и других величин однородны.
В этих условиях закон сохранения массы при о,=а, и У„= 1', нли У, сразу дает р! У1 р2 У2 (39) Теорема об изменении количеств движения в форме (34) гл. 1Ч, если принять, что движение стационарно, объемные силы отсутствуют (Г=-О) и газ идеален (р = — пр), в условиях однородности поля скоростей и давлений в сечениях о, и а, после проектирования обеих частей (34) той же главы на направление оси трубы даст второе искомое равенство — сохранение полного ил!пульса р+РУ1— Р1+ 011 1 Р1+ 021 2 (40) Аналогично уравнение баланса энергии (20) гл. 1Ч в условиях идеального и совершенного газа р„= — пр, (т=с,Т, если отвлечься от объемных сил и перейти к форме Эйлера, сведется к такому: ~ р (с„Т + — ) У„!(о = — ~ РУ с(а.
0 Произведя замену (у=с„Т =й — Р, Р найдем ~ р (Й + — ) У„г(а = О. !2 Применяя эту формулу к выбранной контрольной поверхности, получим р,Уха ~1! + — ') = р,У а, ( й2+ — ), г ) 127 а 88. ПЛОСКАЯ УДАРНАЯ ВОЛНА И СКАЧОК УПЛОТНЕНИЯ или, в силу (39) и равенства сечений о, и о„ й,+ — '=й,+ — ' 2 2 (41) это равенство представляет собой закон сохранения полной энтальпии й,=й+ У'-/2 газа при его прохождении через скачок уплотнения. К системе уравнений (39), (40) н (41) можно присоединить уравнение Клапейрона, вследствие которого будет р Яа » Ра йа=ср7, р໠— 1 ра и аналогично й,= Ра » — 1 р после чего равенство (41) заменяется следующим: — — + — = — — а+ —.
(42) » — 1 ра 2» — 1 ра 2 Таким образом, составлена система трех уравнений (39), (40) и (42) с тремя неизвестными величинами У„р„р,. Найдем сначала связь между давлениями и плотностями до и за скачком уплотнения, исключив из рассмотрения скорости У, и У,, Для этого, согласно (39), перепишем уравнение изменения количеств движения (40) в виде ра — ра = раУ' — раУа = раУТ (Уа — Уа) н умножим обе части этого равенства: справа на выражение Уа+ Уа Рака з слева на равную ему величину Уа 1 Уа ! 1 1 — '+ — = — а+ — = — +— Рана Ра РаУа Ра Ра Ра тогда получим ! 1 1 (ра — рд ~ — + — ) = Уаа — Уа. Ра Ра С другой стороны, из уравнения баланса энергии (42) следует — Р,/ (44) так что, приравнивая левые части двух последних равенств, найдем Группируя в этом равенстве члены с р, и р„ получим уравнение Гюгонио Р (» + 1) Ра — (» — 1) Ра (» + !) МРТ вЂ” (» — 1) (43) (»+ 1) Р— (» — 1) Ра»+ 1 — (» — 1) Райаа Вспоминая связь между давлением и плотностью в адиабатическом движении идеального газа, определяемую изэнтропической адиабатой 128 Ю!.
У!. ОДНОМЕРНЫИ ПОТОК ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА видим, что уравнение Гюгонио (43) представляет адиабату, отличную от изэнтропической; эту адиабату называют ударной адиабатой или адиаба- той Гюгонио в отличие от изэнтропичерг~й ской адиабагы Пуассона (44). гс Полученный результат на первый взгляд противоречит доказанному в предыдущей главе положению об изэнтропичности адиабатического движения г'г идеального газа. Не следует, однако, за- Ъ ь бывать, что, в отличие от рассмотреннора, го ранее непрерывного вдоль трубки тоа ' уу .~~ аа ф рассматривается разрывное движение с ь а ч. а!! й ка движения, в настоящем параграфе а конечным скачком параметров газа в не- ((У ~ котором сечении трубы. Отсюда следует только сделать заключение, что прохождение идеального газа сквозь скачок уплотнения не является изэнтропическим процессом, а сопровождается необратимым переходом механической энергии в й тепловую.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
