Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Эта альтернатива разрешается заданием противодавления на выходе из сопла. По заданному отношению А/А' на выходе нз сопла Лаваля, найдем пользуясь (6) нли правой восходящей ветвью кривой на рнс. 31, выходное значение М') 1 и, подставив его в правую часть первого равенства (7), определим расчетное значение отношения давления на выходе р' к критическому давлению р'. Если противодавление в камере подобрать равным этому расчетному давлению р', то сопло Лаваля будет работать на расчетном сверхзвуковом режиме, скорость на выходе будет превышать скорость звука и равна й=М'а. При том же значении А/А*, но пользуясь левой нисходящей ветвью кривой на рис. 31, определим значение М"( ! на выходе из сопла н соответствующее ему по первому равенству (7) отношение р"/рч.
Выбирая противодавление большим или равным р", получим различные дозвуковые режимы истечения из выходного сечения сопла. Подчеркнем, что дозвуковых режимов истечений из сопла Лаваля заданной формы существует бесчисленное множество, в то время как сверхзвуковое истечение единственно и может осуществляться только при одном значении противодавления, равном р'. Если противодавление окажется лежащим между расчетными значениями р' и р", то в сопле или вне его возникнут сложные явления, при наличии которых движение газа в сопле уже не будет непрерывным одномерным и изэнтропическим Если противодавлеиие в камере окажется меньшим р', то газ по выходе нз сопла будет продолжать непрерывно и изэнтропически расширяться, пока не достигнет давления в камере, но движение его вне сопла уже нельзя будет рассматривать как одномерное. Секундный массовый расход через сопло Лаваля, так же как и в случае чисто конфузорного сопла, не может превзойти своего максимального значения, равного тому расходу, который пройдет сквозь сопло, если в наиболее узком его сечении будет достигнута местная скорость звука.
Но, в отличие от конфузорного сопла, скорость на выходе из сопла Лаваля при сверхзвуковом режиме превосходит скорость звука и может быть подбором формы н длины сопла сделана тем больше, чем меньше противодавление. Можно представить себе мысленно такое идеальное сопло Лаваля, которое будет работать на расчетном режиме р'=О. Это означает, что в камере будет достигнут абсолютный вакуум, причем наряду с р' обращаются в нуль р' и Т'. Как об этом легко заключить из формулы Сен-Венана и Вантцеля (30) гл.
Ч, скорость такого истечения является максимальной при ГЛ. Ч!. ОДНОМЕРНЫП ПОТОК ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА !20 разно в дозвуковой поток, продолжать далее тормозиться в расширяющейся части. Элементарный расчет такого сверхзвукового диффузора будет приведен в $41 настоящей главы. й 36. Пример неадиабатического движения газа Предположим, что адиабатичность одномерного стационарного потока идеального газа нарушается тем, что на некотором весьма коротком участке к газу подводится извне тепло. Это вызывает изменение температуры газа Т, и температуры нзэнтропически заторможенного газа Т„ до участка подогрева на величину ЬТ= Т, — Т, и соответственно на ЬТ,= = Т„ — Т„, причем за участком подогрева вновь устанавливается адиабатическое течение с температурами Т, и Тии Отвлекаясь от эффекта переменности сечения трубы на коротком участке подогрева, определим изменение числа М на этом участке, после чего уже нетрудно будет найти и изменения всех остальных величин.
Основные уравнения поставленной задачи легко получить, если учесть, что приток тепла не нарушает баланса массы и количества движения, т. е. при прохождении газом участка подогрева остаются в силе следующие два равенства; ри = сопз(, Р+ ри' = сонэ!. (23) Первое из этих равенств в принятых условиях стационарного одномерного потока по цилиндрической трубе (Г„='ч'=и) непосредственно вытекает нз (33) гл. 1Ч. Второе следует из равенства (34) той же главы, если спроектировать обе его части на ось трубы, пренебречь действием объемных снл, учесть стационарность потока, заметить, что при идеальности среды Р„„=Р = — Р, и применить таким образом упрощенное равенство (34) к объему трубы, заключенному между двумя произвольными плоскими сечениями. Припоминая известные уже формулы связи скорости звука с температурой, давлением н плотностью газа, а также определение числа М, будем иметь ри=й — =й — =йРМ вЂ” =РМ у — =сопз1, ри ри 1 / А ЙР!Р а~ 7 АЦТ И" (24) Р+ Ри'=Р (1+ — 1=Р 1+в — =-Р(1+ АМ') =сонэ(.
Отсюда, деля одно равенство на другое, получим искомую связь числа М с абсолютной температурой Т или температурой аднабатически изэнтропическн заторможенного газа Т, !+АМв !Г ЕМА Чт= т~. у Т, = сопз1. М ! + — М~ 2 Применим эти равенства к двум сечениям потока, ограничивающим участок подогрева; тогда будем иметь М,, т, !+АМ,' !+АМ,' ~' Т, ' (26) А — 1 А — ! М, !+ М,' М, !+ — М; !+АМ.; ! !.АМ; ~' гм 121 1 ЗХ НЕИЗЭНТРОПИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ГАЗА Задаваясь отношением т, ат — '=1+— т, т, и числом М, до прохождения участка подогрева, по первой формуле (26) найдем М„а уже затем по второй из формул (24) — и отношение давлений 1+ ЙМ' (27) ш 1+ АМ,' а также и все остальные термодинамические параметры.
Наконец, зная число М, и температуру Т„легко найдем и скорость газа за участком подогрева. Введем в рассмотрение функцию Ь вЂ” 1 М 1+ — М' 2 '(Ю 1+.М (26) входящую во вторую формулу (26). Вычислив производную ~' (М)— (1+ьМ*) (1+ '-' Мз)л 2 убедимся, что функция 1(М) имеет максимум при М=1, и этот максимум равен 1 $' 2 2(Я -1- !) Т(М) ! 1) На рис. 32 приведен график 20 функции 1(М) для воздуха (2=1,4). Как видно из графика и второй из формул (26), подогрев газа прн М,<1 вы- й! 1 зывает возрастание функции 1(М,) и пРи этом числа М„а 0 02 41 00 08 !О 12 14 !0 !0 20 при М,)1, наоборот, убыва- М иие числа М,.
Следовательно, приток тепла к дозвуковому потоку ускоряет его, отвод тепла — замедляет. В случае сверхзвукового потока приток тепла замедляет его, отвод ускоряет. Так, например, при Т„=540 К и М,=0,5 увеличение температуры на 20ь)ь приводит к возрастанию числа М до значения М,=0,6. При той же начальной температуре и числе М,=1,4 подогрев на 7'Й приведет к уменьшению числа М до М,=1; при этом давление увеличится более чем на 50%.
$37. Неизэнтропическое движение газа по трубе при наличии сопротивления Рассмотрим адиабатическое„ но не изэнтропическое движение газа по трубе при наличии сопротивления трения, причем для простоты ограничимся случаем трубы постоянного сечения. Для поддержания равномерного движения реальной жидкости в трубе постоянного сечения необходимо к сечениям трубы, ограничивающим некоторый участок длины 1, приложить движуи1ий перепад давлений !22 ГЛ Ч! ОДНОМЕРНЫП ПОТОК ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА /!р, который смог бы уравновесить сопротивление трения, препятствующее движению жидкости по трубе. Этот перепад давления называют сопротивлением участка трубы и представляют формулой Риср Ьр=Л вЂ” —, Р 2 (29) из которого найдем йр р иа ох р — = — /с — — — — — иди. р р 2 Р р Воспользовавшись формулой Клапейрона и определением скорости зву- ка а= уйр/р, получим, вводя число М, — = — — /с/сМ вЂ” — йМ вЂ” .
!!р 1 а йх а !!и р 2 Р и Уравнение неразрывности (2), переписанное (А=сопз1) при помо- щи формулы Клапейрона в виде — = сопз1 ри Т дает после логарифмического дифференцирования йр г/Т !!и р Т и Сравнение (32) и (33) приводит к соотношению — — йМ вЂ” +(1 — /гМ ) — = —. А айХ ,в ет 2 Р и Т Но по определению числа М и = Ма = сопз1 М т/Т, ') Подробнее об агом си. гл. Х н ХИ! настоашего курса. (32) (ЗЗ) (34) где Р— диаметр трубы, р — плотность жидкости, принимаемая постоянной, и„ вЂ” средняя по сечению трубы скорость движения жидкости, определяемая отношением секундного объемного расхода жидкости сквозь сечение к площади сечения. Коэффициент сопротивления Х представляет собой безразмерное число, зависящее от физических свойств среды: плотности р и коэффициента вязкости !г, а также от средней скорости и„ и диаметра Р трубы.
Более точно, Х является функцией некоторого комплекса этих величин — рейнольдсова числа Ре=ри„Р/!а'). При принятом в настоящем параграфе приближенном одномерном представлении движения будем считать среднюю скорость и„ совпадающей со скоростью и одномерного движения, а коэффициент сопротивления )! — постоянной величиной. Последнее допущение можно оправдать тем, что /с слабо зависит от ке, а само число ке на данном участке трубы обычно меняется сравнительно незначительно и может быть заменено своим средним значением.
Применяя формулу сопротивления (29) к сжимаемому газу на участке длины дх, будем иметь с/Р =А — — . йх риа (30) Р 2 Составим уравнение Эйлера (1) для одномерного стационарного движения идеального газа, учитывая влияние трения дополнительным пере- ладом давления (30); тогда будем иметь уравнение движения г!и ! !!р иа и — = — — — — Л вЂ”, (31) с!х р !!х 2Р 123 $ ЗЕ НЕИЗЭНТРОПИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ГАЗА ПО ТРУБЕ так что после логарифмического дифференцирования йи иМ 1 с!Т + и М 2 Т Ввиду адиабатичности движения, т.
е. тепловой изоляции трубы, напашем условие сохранения полной энтальпии Й, илн, что все равно, температуры заторможенного газа Т, = Т (1+: ЬР) = сопз(; 2 тогда будем иметь, вновь логарифмически дифференцируя, вт — = — (й — 1) МвМ 1+ М' м Выражая при помощи (35) и (36) Ли/и и дТ7Т через число М и его дифференциал дМ и подставляя эти значения в равенство (34), получим после простых преобразований следующее основное соотношение: Ах дх д$ 1 — М' НМ Мч(! + а ! М*) г (35) (36) в тех же условиях при М,=1,4 получим ° 0,07 — 10. !Э 1,4 ° 0,01 Общий ход зависимости безразмерного параметра 5* от М, представлен на рис. 33. Можно заметить, что при возрастании числа М, до Положим сЦ>0, т. е. будем рассматривать развитие движения вниз по потоку.
Тогда сразу видно, что !(М>0, если М<1 и дМ<0, если М> ! >!. Это приводит к следующему выводу; при адиабатическом движении газа по трубе постоянного сечения наличие трения вызывает ускорение дозвукового потока и замедление сверхзвукового потока. Пользуясь равенством (37), мож- с су пг (Х н, но определить длину 1* участка трубы, на котором дозвуковой поток, на- Рис. 33 чав с заданного значения М,<1, достигнет благодаря наличию ускорения значения М,=1; аналогично можно найти длину участка, на котором сверхзвуковой поток от заданного М,)1 замедлится до М,=1. Интегрируя (37), будем иметь, полагая 5=0 в сечении, где М=М„ А †! 1+ — М' Б — — — —., — — — 1и АЛ!' 1 ! й+1 2 О (38) 2!Э 2М~с 2 4 ~~+ Мч Так, например, для воздуха (я=1,4) при М,=0,4 будем иметь, принимая)!=0,01 (это соответствует не=2,5 10'), .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
