Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Отвлекаясь от влияния кривизны оси канала, примем за основной аргумент прямолинейную декартову координату х, отсчитываемую вдоль осн канала вниз по потоку от некоторого начального сечения. Поток будем считать адиабатическим, а газ совершенным н идеальным. При этих условиях, как уже было ранее ($31) доказано, движение газа можно считать иээнтропическим. Пользуясь уравнением Эйлера ии 1 йр и — = — —— ох р йх ор ~1и йА р и А Исключая при помощи этого равенства плотность в предыду)цем уравнении, найдем (и — а ) — =а йи в оА и А или, деля обе части на а', (М вЂ” 1) — = —. ои с)А и А (3) Из полученного уравнения, носящего имя Г ю г о н и о '), вытекают следствия: ') Н и Кол ! о1 Н. Совр!ее ЦепЕов ее !'Асае. дев 8с!епсев.— Раг!в, 1880, ч.
103 р. 1178, и уравнением неразрывности РиА = сопв1, (2) легко установить дифференциальное соотношение между изменениями скорости и площади сечения трубы. С этой целью преобразуем (1) к виду ир ир Ер в 3 Р с)Р Р Р и возьмем от обеих частей (2) логарифмический дифференциал; тогда получим Ь 3«СТАЦИОНАРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ПО ТРУБЕ ПЕРЕМЕННОГО СЕЧЕНИЯ $13 или онончательно М, ( 2 ) (4) Это соотношение в совокупности с изэнтропическими формулами Ф 1 (5) 1+' 'М; 2 т, 1+ М' 2 1. Если М(1, знак аи противоположен знаку дА, т. е.
при дозвуковом движении газа, так же как и в случае несжимаемой жидкости, с возрастанием площади сечения трубы скорость движения уменьшается и, наоборот, при уменьшении сечения скорость увеличивается. 2. Если М)1, знак ди одинаков со знаком дА, т. е. при сверхзвуковом движении газа в сужающейся трубе движение замедляется, в расширяющейся трубе — ускоряется, Этот парадоксальный на первый взгляд результат объясняется тем, что при расширении газа плотность его настолько сильно уменьшается, что произведение рА в равенстве (2), несмотря на увеличение площади А, все же уменьшается, что и приводит к возрастанию скорости и. 3. Если М=1, то дА=О; соответствующее сечение трубы будет критическим.
Условие с(А =О совпадает с необходимым условием экстремума площади сечения. Легко сообразить, что критическое сечение будет минимальным, так как при подходе к максимальному сечению дозвуковой поток замедляется, а сверхзвуковой ускоряется, что никак не может привести к течению со скоростью звука в критическом сечении. 4.
Если дА=О и сечение экстремально (максимально или минимально), то либо М=1 и, следовательно, это сечение критическое, либо МФ1 я Ыи=О. В последнем случае, каково бы ни было движение — дозвуковое ялн сверхзвуковое, скорость в экстремальном сечении принимает также экстремальное значение: при дозвуковом течении газа — минимальное в максимальном сечении и максимальное в минимальном сечении, при сверхзвуковом течении, наоборот, в максимальном сечении скорость максимальна, в минимальном минимальна.
Пользуясь уравнением (2) и выведенными в конце гл. Ч изэнтропическимн формулами, найдем связь между параметрами одномерного потока н площадью сечения, заданной в функции от координаты х. Действительно, согласно (2) настоящей главы и (87) гл. Ч, имеем (индекс «1» отмечает какое-нибудь фиксированное сечение трубы) А Рнн АГ Ри ГЛ. Н!. ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА 114 дает параметрическое решение задачи об одномерном газовом потоке в трубе переменного сечения, причем роль параметра играет число М. Задаваясь функцией А(х), определим по (4) М(х), а затем уже по (5) и искомые р(х), р(х), Т(х) и и(х). Формула (4) упрощается, если принять М,=!; тогда сечение с площадью А, будет критическим (А1=Аи), а (4) преобразуется к виду А+1 А+1 На рис.
29 приведен график этой зависимости для воздуха (й=1,4). График подтверждает ранее отме- ченный факт: в дозвуковом потоке !Я в(М(!) Для увеличения числа М сечение А следует уменьшать, в сверхзвуковом потоке (М>1), наоборот, ф! увеличивать. Так, например, нз рис. 29 следует, что для повышения йи числа М от 0,2 до 0,8 газ должен пройти через участок суживающейся трубы — конфузора — с сечением, в, 44 уменьшающимся в три раза; чтобы увеличить число М от значения ! в критическом сечении до 3,2 необходимо построить расширяющуюся трубу — сверхзвуковой диффузор — с площадью на выходе, в пять раз пре- 4 вышающей площадь критического сечения. Присоединяя к равенству (6) очевидную группу формул ! 2 3 Рис 29 2 (1! а — 1 (8) й+! / аи найдем параметрическое решение, заключающее критические значения А*, р*, р*, Т*, а не А„р„р„Т„относящиеся к произвольному сечению.
Пользуясь равенствами (80) и (81) гл. нГ, нетрудно написать соответствующие формулы, выраженные через параметр Л: 1 1 1 ЗК ИСТЕЧЕИИЕ ГАЗА СКВОЗЬ СОПЛО 115 Таблица 2 тгт, Р1ат Из уравнения неразрывности (2), переписанного в форме риА =рви*А*=раиеАа, (9) вытекает соотношение А' ра А р"а' где величина 19, согласно (б) и первому из равенств (8), при заданном я является функцией только М или )с: 1+1 йэт 1 1 Е=( — ') """ М(1+' ' М) ' о=("+')''7,(1 — — й!Л) ' (1 1) На рис.
29 приведен график ет(М) для воздуха (71=1,4). Для любого сечения А трубы с заданным критическим (миннмальным) сечением А* находим по (10) величину О; по (11) — М или )с; по (7) или (8) определим р, р, Т и непосредственно скорость и. При проведении расчетов удобно пользоваться имеющимися таблицами для воздуха (табл. 2) '); смысл величины рт, приведенной в третьем столбце таблицы, поясняется в следующем параграфе, 9 Зб. Истечение газа сквозь сопло В качестве первого примера приложения выведенных формул 'рассмотрим задачу об изэнтропическом истечении газа из резервуара (котла) очень большой вместимости. Предположим сначала, что сопло, из которого происходит истеченяе, имеет вид конфузора, т.
е. канала с уменьшающейся вниз по пото- ') Подробные таблицы можно найти, например, в книгах: Ф е р р н А. Аэродннаинка сверхзвуковых течений. Пер. с англ — М Гостехнздат, !953; А бр а мое н ч Г !!. Прнкладная газовая динамика.— М.. Наука, !976. о 0,2 О,'4 0,6 0,8 1',О 1,'г 1,4 1,'6 1,8 2,'О 2,2 2,4 2,6 2,8 з',о 3,2 3,4 3,6 3,8 4,'О о 0,218 О',431 0,635 0,825 1,ООО 1,159 1,ЗОО 1,426 1,536 1',6ЗЗ 1,718 1,793 1,858 1,914 1,964 2,008 2,047 2,'О81 2,112 2,138 2,437 о 0,089 0,176 0,259 0,337 0,408 0,474 О',531 0,582 0,627 0,667 0,701 0,732 0,758 0,781 0,802 0,820 0,835 0,849 0,862 О,'87З 1,ООО 1,894 1,842 1,696 1,485 1, 345 1,'ООО 0,781 0,595 0,446 0,329 0,242 0,177 0,129 0,095 О,'О7О 0,0515 О',ОЗ8З 0,0296 0,0216 О,'0163 0,0125 о 1,ОООО 0,9725 0,8956 0,7840 0,6560 0,5283 0,4124 0,3142 0,2353 0,1740 0,1278 0,0935 0,0684 0,0501 0,0368 0,0272 0,0202 0,0151 0,0114 0,0086 0,0066 о 1,ОООО 0,9803 0,9243 0,8405 0,7400 0,6339 0,5311 0,4374 0,3557 0,2868 0,2301 0,1841 0,1472 0,1179 0,0946 0,0762 0,0616 О',О5ОО 0,0409 0,0335 0,0276 о' 1,ОООО 0,9921 0,9690 0,9328 0,8865 0,8333 0,7764 0,7184 0,6614 0,6068 0,5556 0,5081 0,4647 0,4252 0,3894 0,3571 0,3281 0,3019 0,2784 0,2572 0,2381 о' о, оооо 0,3374 0,6288 0,8416 0,9632 1,ОООО 0,9705 0,8969 0,7999 0,6949 0,5926 0,4988 0,4161 0,3453 0,2857 0,2362 0,1953 0,1617 О,'1З42 0,1113 0,0933 о Гл.
Ен ОдномеРнып пОток идеАльнОГО ГА3А 116 ку площадью сечения. Обозначим через р„р„Т, термодинамические параметры газа в котле, где газ, в силу большой вместимости котла, может рассматриваться как покоящийся (и=О, М=О), через р, р, Т, М— соответствующие параметры в выходном сечении, площадь которого пусть будет А, и через р' †давлен в камере, куда происходит истечение; это давление р' в теории истечения называют противодавлением. Обозначим через т массу газа, протекающую за одну секунду через любое сечение сопла: т = риА = р иА, а через т* — критическое значение этой массы, соответствующее числу М в выходном сечении, равному единице; имеем т«=р«а«А, и, следовательно, по (10) безразмерный секундный массовый расход будет равен — = — = !В (М). !н ри в!' !!'а' (12) Исключая из (12) М при помощи изэнтропического соотношения А — '=(1+ — ', ' М') (13) получим выражение безразмерного расхода через отношение давления на выходе к давлению в котле (14) Иа рис.
30 представлен график зависимости безразмерного секундного массового расхода т/т" в функции от отношения противодавления р' в камере к давлению в котле р.. А! (В До тех пор пока давление на выходе !Р« из сопла р не станет равным крити- ческому р*, противодавление р' бу- 4« дет совпадать с р, и кривая опреде- l лится соотношением (14) (правая l сплошная ветвь кривой). При дальнейшем уменьшении противодавления, т. е.
при р' =,р*, наступит опи- 44 санное в начале $ 33 явление зали! ранил выходного сечения. Возмуще- ния давления не смогут проникнуть Ю сквозь выходное сечение, и истече- р«~ йвтв ние будет происходить с постоянной а критической скоростью, несмотря на в в«44 йв в«1« то, что протнводавление продолжар/рр ет уменьшаться. Часть графика на рис. 30, соответствующая интервалу р'~р, = р'(р, (для воздуха р" (р,= =0,528), представится сплошной горизонтальной прямой, а не пунктирной спадающей кривой, как это следовало бы по формуле (14). Максимально возможный при заданных параметрах в котле секундный массовый расход т газа сквозь выходное сечение сужающегося 4 эа истечение ГА3А сквозь сонно сопла равен т ,„=гпе =раааА и, согласно (86) гл.
АГ, представится так: /Н.! Та~ и ле,„= ( — ) )/йр,р, А. ( ) Как указал Прандтль'), для воздуха можно пользоваться следующими простыми приближенными формулами истечения: 6=0,76А Р Р Р при р э — ре, т, 2 б,„= 0,38А при р. — р„ 2 (17) (15) где 0 и 6 представляют собой секундные весовые расходы, выраженные в Н/с, а давления р, и р должны быть выражены соответственно в Па (Н/м') или 10 кПа (Н/см'), в зависимости от того, задается ли площадь А отверстия истечения в м' или см', Т,— абсолютная температура в баке.
Формула (16) получается в результате приближенной замены правой ветви кривой на рнс. 30 четвертью эллипса, а числа 0,528, выражающего Рис 3! отношение критического давления к давлению в баке, числом 0,5. Почленным делением (16) на (17) получим легко запоминаемую формулу — =2 )т' (~ — ~г) (18) Явление истечения газа в камеру с заданным противодавлением происходит иначе, если сопло имеет как начальную суживающуюся (конфузорную), так и выходную расширяющуюся (диффузорную) части. В этом ~) П ра нд тли Л. Гидроаэромеханика.
Пер. с нем.— Мл ИЛ, !949, с. 327, 328. 118 Гл. Гь Одномегнып потОк идеАльнОГО ГА3А случае скорость газа, достигнув своего критического значения в сечении, отделяющем конфузорную часть от диффузорной, при дальнейшем расширении газа в диффузорной части сопла может стать сверхзвуковой. Такого рода сопла называют соплами Лаваля по имени шведского инженера Лаваля, впервые применившего их в качестве сопел для паровых турбин. Рассмотрим одномерное адиабатическое и изэнтропическое течение газа в сопле Лаваля. Ход изменения площади А вдоль оси сопла задан кривой на рис. 31, а; соответствующее изменение числа М вЂ” на кривых рис.
31, б и, наконец, кривые давления, отнесенного к критическому его значению, приведены на рис. 31, в. Кривые М и р/р' построены по ранее выведенным формулам изэнтропического течения. Из вида кривых можно сделать выводы о явлениях, происходящих в сопле Лаваля. Если в наиболее узком сечении сопла А=А' число М достигло значения М= 1, то дальнейшее развитие потока может идти по кривым, соответствующим как М) 1, так и М<1, т. е. поток может стать сверхзвуковым или остаться дозвуковым.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
