Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 22
Текст из файла (страница 22)
дУз дВ дз дхз Трехчлен Б е р н у л л и (9) можно трактовать как лолную механи- ческую энергию в данной точке, отнесенную к единице массы, т. е. по обычной терминологии как полную удельную механическую энергию. Действительно, первое слагаемое в левой части представляет удельную кинетическую энергию, третье слагаемое — удельную потенциальную энергию объемных сил. Как уже разъяснялось в $28, функция давления Р имеет смысл по- тенциала (потенциальной энергии) объемного действия сил давления (точнее, массовой плотности действия этих сил).
Следует избегать встре- чающегося иногда определения функции давления У' (в случае р=сопз1 равной р(р) как потенциала давлений. Давления образуют скалярное ноле, для которого понятия потенциала или потенциальной энергии не существует. Уравнение (11) или уравнения (12) связывают чисто кннематиче- ские величины У и й=го1 У с динамическими характеристиками П и Вз. 4 ЕВ. УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА, ГРОМЕКА — ЛАМБА И ГЕЛЬМГОЛЬЦА — ФРИДМАНА 89 Переписывая уравнение (11) в форме дУ вЂ” + 1? Х У = — дгаб В, д1 видим, что при баротропном движении идеальной сплошной среды под действием потенциального поля объемных сил левая, кинематическая часть этого равенства представляет собой потенциальный вектор.
Следовательно, не всякое поле скоростей может быть создано в идеальной жидкости, баротропно движущейся под действием потенциального поля объемных сил, а только такое, которое удовлетворяет равенству го1 ~ — + 1?хУ) =О, гдУ ~дг вли, что то же самое дГ? — + го((1? х У) = О. (14) д/ Раскрывая дифференциальную операцию вихря от векторного произведения по правилу векторного анализа (см. пятое равенство системы (88) гл. 1) го1 (4?Х У) = (У 4/)1? — (Й.У) У+4? с?1ч У вЂ” Ус(1чй н откидывая последний член в правой части этого равенства как тождественно равный нулю, перепишем предыдущее равенство в форме — + (У.У)П=(П У)У вЂ” 1?с(!УУ, дГ? дг нлн, вспоминая определение индивидуальной производной, = (а?'7) У в? г(1ч У. дГ? си (16) Первое слагаемое в правой части, равное, согласно (106) гл.
1, (1? У) У = — П (У У) = ПЗ вЂ” 1? х — ?? = 1?В, 9 выражает эффект деформации вектора Й скоростным полем, второе ( — ??б)ч У) определяет влияние сжимаемости. Уравнение (16) называют уравнением динамической возможности движения идеальной сжимаемой среды или уравнением Гельмгольца — Фридмана. Оно было получено А. А. Фридманом ') путем обобщения уравнения Гельмгольца — =((? У) У, Ж (16) относящегося к случаю несжимаемой жидкости (йч У=О). ® Введем понятие сохраняемости вихревых линий. Пусть в некоторый момент времени в жидкости существует вихревая линия (1, 1) (рис. 26), являющаяся векторной линией вектора П=ГО1 У; рассмотрим жидкую линию (П, П), образованную в момент 1+й/ теми же жидкими частицами, что и линия (/, 1) в момент й Если жидкая линия (/1, 1/), представляющая новое положение линии (1, 1) к моменту времени 1+й/, ') Ф р ид м а н А А Опыт гидромеланпки сжпмаемоа жидкости.— М: ОНТИ, !934 (гл.1,вчастности,с.
341; см танже Ко ~ин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гндромеланика. Т. ! — М. Гостекнздат, 1943, с. 150 — 160. ГЛ. Ч. ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОИ СРЕДЫ М'М! = ММ, + М,М! — !ИМ', или, замечая, что по условию (Л вЂ” произвольный бесконечно малый скаляр) мм! =ли, мм' = р'йг, м1м! — — 1~+ (ли 7) )т1д1, получим м м,'=ли+ кду+л(и.р))йу — рйу=л(и+(и.р) кду). (1у) Последнее равенство, с учетом уравнения (16), приводит к соотно- шению м м,'=-л~и+' — '" йг1=ли, н! / (18) доказывающему теорему Гельмгольца, так как элемент жидкой линии (П, П) оказывается направленным по вектору а', в который перейдет за время Ж вектор и.
Приведенное доказательство справедливо только для идеальной несжимаемой жидкости. )Гак показал А. А. Фридман' ), теорема верна и в случае любого баротропного движения идеального газа. В 30. Теорема Бернулли Предположим, что идеальная жидкость под действием потенциального поля объемных сил с потенциалом П совершает стационарное баротропное движение с функцией давления У. Тогда первый член в уравнении (11) равен нулю, и, умножая обе части (11) скалярно на вектор скорости У, получим, в силу перпендикулярности последнего слагаемого вектору У, Р нгай В ьв 'Р' ( — ° йтай В) = О, или, вспоминая определение производной по направлению„ Г Л — ° нгай В = —; у !ге отсюда заключаем, что о — =О, ое (19) где символ а/с1з означает производную, взятую вдоль траектории или линии тока, что при стационарном движении одно и то же. Из равенства (19) сразу следует, что вдоль траектории или линии тока трехчлен ') Сы.
предыдущую сноску. является также вихревой, то будем говорить, что вихревая линия (1, 1) при движении среды сохраняется, в противном случае — разрушается. Докажем следующую теорему Гельмгольца: в движущейся под действием консервативного поля объемных сил идеальной несжимаемой жидкости вихревые линии сохраняются. Сравним между собой бесконечно малый жидкий вектор Мм, и его смежное положение М'М,' (при бесконечно малых перемещениях жидкости прямолинейные отрезки остаются с точностью до малых высших порядков прямолинейными). Имеем из векторного многоугольника ММ,М,'М' 91 $30. ТЕОРЕМА БЕРНУЛЛИ Бернулли В сохраняет одно и то же значение В = — + 30+ П = сопз( (вдоль линии тока).
р' 2 (20) — ~ — ) = — У дгаб(П+ 90); а /1/ьт но, по определению индивидуальной производной по времени от скаляр- ной функции, в случае стационарного движения будем иметь — ( — )= У йтаб( — ), У дгаб ( — + У + П 1 = О, 1 2 так что что, по предыдущему, и приводит к равенству (20). Из уравнения (11) в случае стационарного движения сразу следует постоянство величины В также и вдоль любой вихревой линии. В самом деле, откидывая в случае стационарного движения первый член, умнох0ая обе части (11) скалярно на П и рассуждая так же, как и при выводе равенства (19), получим П дгайВ=Я~ †.дгайВ)=й — =О, ( м ч ЕВ '1а ) и где 4й( определяет дифференцирование вдоль дуги вихревой линии.
Отсюда сразу следует, что и вдоль вихревой линии величина В имеет одно и то же значение В = — +У+ П= сопз1' (вдоль вихревой линия). (21) 'У'0 2 Прн стационарном движении вектор ПХУ образует (см. (11)) потенциальное векторное поле с потенциалом В. При этом через каждую точку пространства можно провести поверхность, ортогональную к векторной линии поля вектора ЙХУ, проходящей через эту точку. Эти ортогональные поверхности будут поверхностями уровня трехчлена Бернулли и внесте с тем полной удельной механической энергии. Касательные плос- Полученное равенство можно рассматривать как первый интеграл уравнения Эйлера, справедливый в случае стационарного движения при наличии функции давления, представляющей потенциал объемного действия поверхностных сил, и потенциала объемных сил.
Этот интеграл, выведенный путем скалярного умножения обеих частей уравнения (11) на вектор скорости У, может трактоваться как интеграл механической энергии уравнения движения центра инерции элементарного объема жидкости (интеграл Бернулли), Равенство (20) выражает следующую теорему Бернулли; при стационарном баротропном движении идеальной жидкости под действием потенциальных объемных сил сумма кинетической энергии единицы массы, функции давления и приведенного к единице массы потенциала объемных сил сохраняет вдоль линии тока (траектории) постоянное значение. Интеграл Бернулли мог быть выведен и непосредственно из уравнения Эйлера (3) без преобразования его к форме Громека — Ламба (8). Действительно, переписывая в условиях'теоремы уравнение (3) в виде — = — егад (П+ У) Ж а умножая скалярно на вектор У, получим ГЛ.
Ч. ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОИ СРЕДЫ кости к этим поверхностям содержат векторы ьг и У. Поверхности уровня можно получить, взяв (рис. 27) какую-нибудь линию тока и проведя через все ее точки вихревые линии; эти вихревые линии образуют вихревую поверхность — поверхность уровня, проходящую через данную линию тока. Можно поступить и иначе: взяв некоторую вихревую линию, через все ее точки провести линии тока; тогда эти линии тока образуют поверхность тока, проведенную через данную вихревую линию.
Значения констант в равенствах (20), (21) определяются значением трехчлена Бернулли в какой-нибудь одной почему- либо характерной или заданной наперед точке линии тока или вихревой линии. В общем случае константы этн различны для линий тока или вихревых линий, не лежащих на одной и той же поверхности уровня полной механической энергии. Если во всех точках пространства выполняется векторное равенство МХУ=О, (22) (24) или, если перейти от плотности р к удельному весу Т=РК, — = В = — + — + г = сопз1.
в в гг т (25) Отдельные члены равенства (25) имеют размерность длины и называются соответственно: У'/(2й) — скоростной, р/ч — пьезометрической и то поверхностей уровня нет, но в этом случае по (11) в стационарном потоке агам В=О, (23) т. е. трехчлен Бернулли сохраняет одно и то же значение во всем пространстве, занятом потоком жидкости или газа. Равенство (22) выполняется в следующих двух случаях: 1) А«=Π— движение безвихревое; подробному рассмотрению этого важнейшего случая будут посвящены специальные главы курса; 2) ь«ЕУ вЂ” вихревые линии совпадают с линиями тока; при таком движении частицы в своем мгновенном вращении поворачиваются вокруг касательных к линиям тока.
Такое движение называется винтовым. С винтовым движением приходится иметь дело, например, при рассмотрении так называемых «свободных» вихрей, сходящих с поверхности крыла конечного размаха. Рассмотрим частные случаи теоремы Бернулли, относящиеся к отдельным простейшим баротропным процессам. В случае движения несжимаемой жидкости (р=сопз() имеем Вь = — = — + сопз1. Р Ро Р Р Р Ограничиваясь среди объемных сил только силами тяжести и направляя вертикальную ось г вверх, получим П =й'г+ сопзй Тогда формулы (20) и (21) примут вид (символ сонэ(обозначает сохранение величины В как вдоль линии тока, так и вдоль вихревой линии) У2 В= — + Р +дг=-сопз1, 2 Р $30. ТеОРемк БеРнулли Первый член левой части этого равенства называют пьезометрическим напором, второй — скоростным или динамическим напором, сумму их-полным напором р,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
