Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 19
Текст из файла (страница 19)
тегрнрования в неоднородном поле Ф(х„х,, х,; !), «Замороженном» в начальный момент й Следовательно, интеграл по общей части А'ВСВ' нового и старого объемов на это приращение не повлияет и может быть ГЛ. Нп ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ тв откинут. Тогда й „, ~Фбт= ~ Ф(х„х„х,; 1)бт — ~ Ф(х„х„х,; 1)бт= А В СО АВСО Ф (х„х„х„' 1) бт — ) Ф (х„х„х„1) бт. вв с с АА'О'О В силу элементарности объемов справедливы равенства Объем А А'Р'Р = — У,„бв,й(, объем ВВ'С'С = У,,бо,йй Здесь индекс и означает, что проекции берутся на направление внешней нормали и к поверхности, ограничивающей объем АВСР, заключенный между сечениями бо, и бв,. Искомое конвективное изменение интеграла от Ф в объеме элементарной трубки равно Ф,У,„бо,Ж+ Ф,У,.бо дй Произведя суммирование этих величин по всем элементарным трубкам, на которые разбит объем т, получим выражение бесконечно малого кои- вективного изменения рассматриваемого интеграла за время а(: й „, ] Ф бт = ) ФУ„бо й1.
Деля на Ж, перейдем к конвективной производной ( — ) ] Фбт=~ФУ„бо, т в (28) — Фбт= — ( Фбт + ~ФУ„бо. си д1,) в~д(' (29) Если поле величины Ф стационарно, то локальная часть отпадает и в этом случае будет — Ф бт = 1 ФУ„бо. И (30) Пользуясь (29) и полагая Ф=р, получим уравнение сохранения массы в интегральной форме — ~ рбт+ ~рУ„бв= О, д д~ д (31) что и доказывает ранее высказанное утверждение.
В левой части равенства (28) находится производная, вычисление которой требует наблюдения за движением объема. Это — конвективная производная в лагранжевом представлении движения среды [(1), гл. П]. В правой части равенства (28) та же конвективная производная для своего вычисления требует знания поля скоростей, т. е. основного элемента при использовании эйлеровых переменных ((2), гл.
П]. Можно сказать, что выражение, стоящее в правой части (28), является конвективной производной в эйлеровом представлении. Индивидуальная производная по времени от интеграла по движущемуся жидкому объему т физической величины Ф заключает еще локальную часть, так что развернутое выражение для индивидуальной производной имеет вид 2 24.
ПЕРЕНОС ФИЗИЧЕСКОИ ВЕЛИх!ИНЫ ПОТОКОМ СРЕДЫ имеющее особо простой смысл в случае стационарного потока, когда первое слагаемое слева равно нулю. В этом случае равенство ) рр„ба=О о (32) утверждает, что секундный массовый расход среды сквозь неподвижную замкнутую поверхность, не заключающую внутри себя источников массы, равен нулю. Если применить это равенство к объему конечной трубки тока, заключенному между сечениями о, и о„где скорости и плотности обозначены соответственно У„У„р„р„то будем иметь ~ рУх„бо = ~ рУе„бо. (33) а, Последнее равенство выражает закон сохранения секундного массового расхода вдоль трубки тока, илн, пользуясь терминологией $ 10, закон сохранения потока вектора количества движения рУ вдоль трубки тока.
Интегральной формой теоремы об изменении количества движения среды в объеме т, ограниченном замкнутой поверхностью о, согласно изложенному выше, будет рг' бт + ~ р,бо — — ~ рУ бт — ~ рУГ«бо = О, д г дт,) (34) ') Кроме учебников гидравлики, см, епге Л ой и я некий Л. Г., Л у рве А. И. Куос теоретической механики. Т. Н.— 6-е изд.
перераб. и доп.— М. Наука, 1983, с. 143— 14У, 191, 192, 245 — 251. Последнее слагаемое, включая знак минус, можно трактовать как перенос количества движения через контрольную поверхность внутрь объема т. Действительно, орт внешней нормали направлен наружу объема, так что если в некоторой точке поверхности вектор скорости У направлен также наружу объема (У„>0), то элемент интеграла « — рУ„Убо» направлен внутрь объема; если же вектор У направлен внутрь объема, то У„(0 и элемент интеграла направлен в ту же сторону, что и вектор У, т.
е. опять внутрь объема, Полезно отметить, что из интегральных форм выражения законов сохранения массы (31) и количества движения (34) легко получить, используя формулу Гаусса — Остроградского, соответствующие дифференциальные формы. Равенство (34) в случае стационарного потока можно трактовать следующим образом: главные векторы внешних объемных и поверхностных сил, приложенных к выделенному жидкому объему, вместе со взятым с противоположным знаком вектором переноса количества движения сквозь контрольную поверхность, соответствуюи(ую этому жидкому объему, образуют замкнутый треугольник, т.
е, сумма этих трех векторов равна нулю. Такова теорема Эйлера количеств движения в сплошной среде. Эта теорема, так же как и аналогичные формулировки для момента количеств движения н механической энергии, широко используются в курсах гидравлики и прикладной гидродинамики. Среди этих применений отметим расчеты давления струи на плоскую или криволинейную стенку, определение момента количеств движения жидкости, движущейся сквозь рабочее колесо турбины, применение теоремы Бернулли (см.
далее), теоремы Бор да к расчету внезапно расширяющегося потока н др.'). 78 гл нс овщне теогемы динкмнкн сплошнои спады и 25. Статика текучей среды. Уравнения Эйлера равновесия среды Уравнения неразрывности, динамики «в напряжениях», взаимности касательных напряжений, баланса кинетической и полной энергии со. ставляют основную систему уравнений механики сплошных сред. Эта система не является замкнутой, так как число неизвестных в ней значительно превосходит число уравнений. Без дополнительных допущений о физических свойствах среды обойтись, как правило, нельзя.
С главными из этих допущений мы познакомимся в дальнейшем. Вместе с тем существует распространенный и практически важный класс задач, когда основная система уравнений сплошной среды замыкается без привлечения новых физических представлений. Это — статика, т. е. относительный покой, равновесие среды. Как уже указывалось во введении, в основу механики сплошных сред положены два допущения: первое — о сплошности, т. е. непрерывности распределения в пространстве всех свойств, второе — о текучести, или легкой подвижности.
Для построения всех разделов кинематики достаточно первого допущения, в то время как для динамики очень важно и второе. Напомним, что, за исключением некоторых специальных жидкостей, у текучих сплошных сред при отсутствии недиагональных компонент тензора скоростей деформаций — скоростей сдвига — отпадают и касательные компоненты тензора напряжений. Таким образом, в покоящейся (У=О) текучей среде касательные напряжения отсутствуют; Ра=рм=рм=рм=рм=ри=б, а выражения нормальных напряжений имеют вид Р =Р и Рь=ри~1 Рг=ргыа, Р1=рияи (36) Используя (35), (36) и равенства Коши (18) гл. 111, найдем Ри = Рьь= Рм =Р, (37) т.
е. три нормальных напряжения, приложенные к трем взаимно перпендикулярным площадкам, как угодно ориентированным в пространстве, равны между собой. Этот закон изотропии нормальных напряжений в точках сплошной среды, находящейся в равновесии, был открыт в середине ХЧП в. П а скал ем. Общее значение нормальных напряжений в данной точке среды, взятое со знаком минус, назовем давлением в этой точке и обозначим буквой р, так что (38) Рн=рм=рзз = — Р.
Чтобы подчеркнуть, что принятое определение соответствует лишь случаю равновесия среды, это давление называют гидростатическим давлением. Знак минус, взятый в определении давления, подчеркивает, что нормальное напряжение (39) р„= — рп, приложенное в точках поверхности мысленно выделенного объема, направлено в сторону, противоположную орту внешней нормали к этой поверхности, т. е. внутрь объема. Давление р представляет собой физический скаляр, так же как плотность, температура, концентрация и другие скалярные характеристики. Измеряется оно в Н(м' (Па), кгс/м', барах. Давление в газе, где не может быть растяжений, всегда положительно; оно обращается в нуль только в условиях абсолютного вакуума; в жидкости возможно существование растяжений. э сь статика текхчеи сееды Прн равновесии среды тензор напряжений в ней, согласно (36), нмеет таблицу о — р о= — ро~о т.
е. обладает сферической симметрией, что соответствует свойству изотропии нормальных напряжений в покоящейся среде. Можно положить (Š— тензорная единица) Р— рЕ. (40) Уравнения равновесия среды легко получить, если в уравнениях динамики в напряжениях (8) положить У,=У,=У,=О и, кроме того, прннять во внимание (35) н (38). Найдем следующие уравнения Эйлера статики среды: РГх= Ррэ= ~ РГа= др дх, дхэ дхх нлн эквивалентное векторное уравнение рГ= ига й р. (42) Этот же результат можно было бы получить из второго уравнення (6) непосредственно, если заметить, что в рассматриваемом случае 1)1т Р— Втаб р. (43) Из уравнения равновесия (42) можно исключить плотность н давление.
Для этого возьмем сначала от обеих его частей операцию вихря го1; тогда р нсключнтся, так как го1 Втаб р= — 0; будем иметь го1(рГ) =О. Отсюда, раскрывая скобки по известному правилу (третье равенство системы (88) гл. 1), получим р го1 Р+дгаб рХР=О. (44) Умножнм обе части этого равенства скалярно на Р; тогда, заметив, что второе слагаемое, как векторное произведение, перпендикулярно к своему сомножителю Р, найдем следующее общее ограничение, накладываемое на класс снл, под действием которых возможно равновесие жидкости нлн газа: Р 1Г=О, (45) совпадающее по виду с условием (10) гл. П и выражающее существовааяе поверхностей, нормальных к силовым линиям поля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
