Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 20
Текст из файла (страница 20)
К числу объемных снл, удовлетворяющих условию (45), относятся, прежде всего, силы, имеющие потенциал П, так как для ннх Г= — ягаб П, го1 Г=О. В этом случае (46) игаса рХР= — Втаб рХйтаб П=О, откуда следует, что прн равновесии среды силовые линии поля потенциальных объемных сил ортогональны изостерам (поверхностям одинаковой плотности), а также что изостеры совпадают с изопотенииальными поверхностями силового поля. Из (42) следует, что при равновесии среды силовые линии ортогональны изобарам (поверхностям одинакового давления).
Таким образом, вообще прн равновесии жидкости или газа под действием потенциального ноля объемных снл изопотенциальные поверхности поля совпадают с изобарами и изостерами. 80 ГЛ. тв'. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ СПЛОШНОП СРЕДЫ Можно доказать и обратное положение: если изобары совпадают с изостерами, то равновесие жидкости или газа возможно только под действием потенциального поля объемных сил. Действительно, из уело.
вня огай рХ цгаб р= О ГХйгаб р=О или по (42) Э 26. Равновесие несжимаемой жидкости. Закон Архимеда Уравнение равновесия несжимаемой жидкости в потенциальном поле внешних объемных сил будет — р йтад П= афтаб р, (49) откуда при р=сопз( прямо следует р+ рП = сопз1. (50) Пусть две несмешивающиеся жидкости разной плотности р, и р, находятся во взаимном равновесии; при этом на поверхности раздела этих жидкостей давление р и потенциал непрерывны. Производная от левой части равенства (50) по любому направлению з, лежащему в ка- сательной плоскости к поверхности раздела, должна удовлетворять од- новременно следующим двум равенствам: ьр а'П ьр, ь'П вЂ” +р,— =о, — +р,— =о, Ь'1 Ь1 Ь1 Ь'1 откуда вычитанием получим ь'П (р1 — рт) — = 0; ьг последнее равенство при принятом условии Р,Фр, приводит к постоянству потенциала объемных сил П на поверхности раздела.
По (50) при этом и давление р будет сохранять постоянное значение вдоль поверхности раздела, которую в этом случае называют свободной поверх- на основании (44) следует го(с"=О, с = — афтаб П. Если в движущемся или покоящемся газе плотность является функцией только давления, то движение или равновесие называют баротропным. Из предыдущего следует, что баротропное равновесие газа возможно при наличии только потенциальных сил, так как при условии р= =р(р) изобары и нзостеры, очевидно, совпадут; следовательно, как только что было показано, силовое поле должно быть потенциальным.
Уравнения Эйлера (41) представляют собой так называемую снсте. му в полных дифференциалах н имеют общее решение вида Р М 5-,(', =5 '"' (47) илн при наличии потенциала П(М) Р— =П(М ) — П(М), (48) Р (Р) Рв где р,=р(М,). Чтобы сделать задачу определенной, надо использовать дополнительные допущения о форме зависимости плотности от давления. 426. РАВНОВЕСИЕ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ ЗАКОН АРХИМЕДА В4 пастью, Таким образом, при равновесии двух несмешивающихся несжимаемых жидкостей разной плотности в потенциальном поле объемных сил граница раздела жидкостей будет одновременно изопотенциальной поверхностью и изобарой.
При равновесии несжимаемой жидкости в поле тяжести (ось г направим по вертикали вниз) равенство (50) дает р — рдг=сопз1, или,. если заменить произведение рд на удельный вес т, р — чг=сопз(. Обозначим давление над свободной' поверхностью жидкости (обычно атмосферное) через р„; тогда, помещая начало координат в точку на горизонтальной свободной поверхности, найдем р=р„+рдг=р,+тг. Давление в данной точке на глубине г, за вычетом дополнительного давления столба воздуха на свободную поверхность, т.
е. давление р'= уг, (51) будем называть давлением жидкости, понимая под р' превышение давления в жидкости над атмосферным давлением на свободной поверхности. Поверхностью раздела — свободной поверхностью жидкости — служит горизонтальная плоскость Е=О; на всей втой плоскости р'=О. Главный вектор и главный момент сил давления жидкости на некоторую поверхность о определяются интегралами (и — орт внешней нормали к поверхности о, направленный внутрь жидкости) Л = — ~ пр'йо, л.
= — ~ г х пр'йо, (52) с с прячем поверхность о, вообще говоря, не замкнута. В частном случае тяжелой жидкости, полагая р'=те, получим Л= — у~пгйо, л. = — у~ гхпгйо. (53) с с Если поверхность о (рис. 24) представляет как угодно наклоненную плоскую площадку, то п=сопз( и первая из формул (53) дает гс = — Т песо, тт = Тгсо, (54) где г, (рис. 24) обозначает вертикальную координату центра инерции С площадки о. Равенства (54) показывают, что главный вектор сил давления жидкости на любую плоскую площадку, как угодно па- й клоненную к горизонту, равен по ббсбсблвл величине весу цилиндрического ссберхчсопс / Д столба жидкости, имеющего сво- (р= б ия основанием площадку, а высотой глубину центра тяжести пло- гс е(адни под свободной поверхно- у стью жидкости.
Этот закон, примененный к сосуду, заполненному жидкостью, приводит к заключению о независимости давления жидкости на Рис. 24 стенку сосуда от формы сосуда, сделанному Паскалем и получившему наименование гидростатического парадокса. Если поверхность о замкнута и ограничивает некоторый конечный Вбъем т, то по (52), замечая, что йтай р'=дгай р, получим гс = — ~ пр'йо = — ~ ((тай р йт.
(55) с ГЛ. !У. ОБШИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ СПЛОШНОИ СРЕДЫ 82 В случае тяжелой жидкости имеем, согласно уравнению Эйлера, йта!1 р=ри, (56) где я — вектор ускорения силы тяжести. Подставляя это значение градиента в (55), найдем л= — ~рйд = — с, (57) где 0 — вектор силы тяжести жидкости в объеме погруженного в нее тела. Равенство (57) показывает, что главный вектор сил давления тяжелой жидкости на поверхность погруженного в нее тела равен по величине весу жидкости в объеме тела и направлен в сторону, противоположную силе веса, Это — закон Архимеда. Вектор Ю называют архимедовой силой или гидростатической подъемной силой в знак того, что эта сила стремится вытолкнуть тело из жидкости, заставить его всплыть.
Всякое тело, погруженное в жидкость, теряет в своем весе столько, сколько весит вытесненная телом жидкость. Архимедова сила может наблюдаться не только в тяжелой, т. е. находящейся под действием сил веса жидкости, но и в любом случае, когда тело находится в переменном поле давлений. Такова, например, «индукция» закрытого рабочего участка аэродинамической трубы с твердыми стенками на помещенное в трубу удлиненное тело, обусловленная падением давления в направлении потока из-за наличия сопротивления самого рабочего участка. Главный момент сил давления жидкости на погруженное тело равен 7. = — ~ г х пр йо = ~зп х рг йо = ~ го1 (рг) дт. ь ь « Раскрывая выражение го1(рг) согласно третьей формуле системы (88) гл. 1 и учитывая, что го1 г=О, получим Ь = — ~ г хдгадрйт, » .нли, согласно (56), 7.
= — ~ г х рй йт. (58) 1 Г г' = — 1 грейт о,) и что, очевидно, найдем по (58) х'. = — — 1 грейт Х О = — Г' Х б = Г' Х Ю. 1 !' о,) « (59) Полученная формула показывает, что линия действия главного вектора давления жидкости на погруженное в нее тело проходит через центр тяжести вытесненного телом объема жидкости. Замечая еще, что вектор-радиус г' центра инерции вытесненного объема равен з 27, РАВнОВесие РАВнОмеРнО ВРАщАющеяся жидкОсти 83 $27.
Равновесие равномерно вращающейся несжимаемой жндкостн. Центрнфугнрованне твердых частиц (60) ВИЮ 2г н нмеющую потенциал П = — — оРТ', 2 (61) где г — вектор, направленный по кратчайшему расстоянию от осн вращеняя к рассматриваемой точке жидкости н равный по величине этому расстоянию. Уравнение относительного равновесия вращающейся жидкости будет р + РП вЂ” — рит'г' = сопз1, (62) 1 2 а уравнение свободной поверхности жадкостн (р=сопз1)— П вЂ” — виг' = сопз1. (63) 2 Найдем фигуру равновесия вращающегося объема однородной жндкостн, прнтягивающейся к неподвнжному центру силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния до Рис.
25 центра. Прнмем (рнс. 25) ось е за ось вращения и начало координат О за центр притяжения. Потенциал снл тяготения, отнесенных к единице вассы жндкостн, будет равен — С/Р, где С вЂ” некоторая константа, Р =1(х'+у'+г' — расстояние частицы жидкости М от центра тяготения— начала координат О. Потенциал центробежных снл, отнесенных к едн- 1 нице массы жидкости (61), равен н~ — — итиги1 где ы — угловая скорость 2 /' вращения жидкого объема, с=ух'+у' — расстояние жидкой частицы от осн вращения Ог.
Условие равновесия вращающейся жидкости, если отвлечься от снл взаимного тяготения между частицами, будет по (62) р — р — — ~ив Г = СОП51, С 1 (64) Р 2 а уравнение свободной поверхности, ограничивающей вращающнйся объем жидкости, С миги — + — = сопз1. Р 2 (65) Это уравнение описывает искомую форму поверхности фигуры равковесня вращающейся массы жидкости.
Чтобы дать некоторое, хотя бы качественное представление о приложении только что полученной формулы к вопросу о форме Земли, представляющей в грубом приближении вращающуюся однородную жидкость, тяготеющую к центру, зададим Если несжимаемая жидкость находится в относительном покое по отношению к некоторой равномерно вращающейся с угловой скоростью в системе координат, то, чтобы написать условие относительного равновесна вращающейся жидкости, необходимо к непосредственно приложенным силам с потенциалом П присоединить еще отнесенную к еднннце массы инерционную центробежную силу Е"', равную ГЛ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
