Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 15
Текст из файла (страница 15)
ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МАССЫ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ 59 дуальной производной по времени), — (бгл) = — (р бт) = — Р бт+ р — (бт) = О. др ш зи ш ш (4) Вспоминая данное в конце $ 13 определение скорости объемного расширения 8, по формулам (26) и (27) гл. 11 будем иметь — бт = б)ч У бт, Ж и, следовательно, равенство (4) приведется к такому — Р+ рйч У) бт= О, ("' зи откуда, в силу произвольности величины бт, следует — + рйчУ= О.
дР зи (5) Закон сохранения массы в ньютоновской механике привел, таким образом, к дифференциальному уравнению связи между плотностью и скоростью (5). Подчеркнем, что эта связь имеет место независимо от приложенных к среде сил. Уравнение (5) обычно называют уравнением сплошности или уравнением неразрывности, хотя, быть может, ему более соответствовало бм яаименование уравнения сохранения массы. Разлагая, согласно наложенному в $16, индивидуальную производную, входящую в уравнение (5), на локальную и конвективную составляющие, получим — + (У.У) р+ рйч У =О, д! (6) или, внося скалярную величину р внутрь круглой скобки, — + У игабр+рйчУ=О. д! Вспоминая соответствующую формулу (88) гл. 1 (ч!=р, а=У), пол нм уч Йч(РУ) =У йтаб р+р Йч У и перепишем равенство (6) в виде Р + йч (рУ) = О. др д! (7) Наконец, в случае постоянной плотности (несжимаемая однородная среда) получим уравнение несжимаемости жидкости Йч У=О (10) Это другая форма того же уравнения сплошности (5), в которой отсутствует индивидуальная производная плотности по времени.
Если поле плотности стационарно (др/д)=0), уравнение сплошноств примет вид б!ч(рУ) =0 (8) или в проекциях скорости Уз (й=1, 2, 3) (суммирование по й) д (Р Рз) д (р)з!) д (ррз) д (руз) з ( з (9) дхз дх, дх, дхз 00 Гл. П!. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАССЫ И СИЛЫ В СПЛОШИОИ СРЕДЕ или дУ» дУ» дУ» дУв — = — '+ — '+ — '=о.
дх дх, дхв дхв В дальнейшем встретятся случаи движения сплошной среды с непрерывным по ходу движения возникновением (исчезновением) вещества определенного сорта за счет, например, химической реакции превращения одного из составляющих ее веществ в другое или вследствие изменения фазового состояния вещества (испарение движущейся жидкости, сопровождающееся возникновением в ней пузырьков пара нли, наоборот, конденсация пара и появление в нем жидких капель, цепенение жидкого металла, таяние льдинок в потоке воды и т. п.).
В этих случаях естественно говорить о применении в сплошных средах методов механики переменной массы '). Теоретической моделью такого рода явлений может служить заданное наперед, определяемое химической или физической кинетикой происходящих в движущейся среде процессов, непрерывное распределение источников притока (стока) массы, с интенсивностью, характеризуемой секундным, отнесенным к единице объема приростом массы вещества в данной точке потока.
Эту величину, имеющую размерность (М/(/'Т) ) =плотность/время, было бы естественно обозначить символом р, но, чтобы не смешивать ее с индивидуальной производной по времени йр/Ж, примем для нее самостоятельное обозначение /. Связь между величинами ар/а/ и Х определится из очевидного соотношения — (бш) = — (рбх) =/бт, Ф д! приходящего на смену равенству (4), и следующих нз него, но обобщенных на случай динамики переменной массы уравнений неразрывности — р+ р б(у )т=,/, (12) Ж вЂ” + б!и (рУ) —,/.
д! й 19. Распределение сил в сплошной среде. Объемные и поверхностные силы. Равенства Коши. Тензор напряжений В динамике сплошных сред выделяют два класса действующих на частицы среды сил: объемные (иногда их еще называют массовыми) и поверхностные. Под объемными силами понимают силы, действующие на элементы объема, как, например, силы веса, тяготения, инерции, электростатического притяжения или отталкивания, силы действия магнитного или электрического поля на частицы среды.
К поверхностным относят силы, которые при принятом в механике сплошных сред макроскопическом подходе действуют на элементы поверхности, ограничивающей объем, как, например, силы давления, или, более общо, силы, действующие со стороны потока на поверхность погруженного в него тела или реакции тела на поток, силы внутреннего трения (вязкости) в среде. Следует оговориться, что эта классификация сил условна, так как механика Ньютона знает лишь силы, приложенные к массам, т. е. только объемные силы. Но в тех случаях, когда частицы, на которых сосредоточено действие сил, расположены в столь тонком слое, что можно без большой погрешности свести этот слой к некоторой «материальной ') См. Л ой и инский Л. Г., Л урке А.
И. Курс теоретической механики. Т. !1.— Мк Наука, !983, с. 110 — 114. $19. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СНЛ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ Ет поверхности», считают, что сильь действуют на элементы этой поверхности. В отличие отдинамики системы дискретных точек в динамике сплошных сред имеют дело не с самими силами, а с плотностями их распределения в пространстве. Так, под плотностью распределения объемных сил (коротко — объемной силой) Р в данной точке М среды понимают предел Отношения главного вектора А)г сил, приложенных к точкам малого объема Ат, заключающего в себе точку М, к массе Ллч=р Ьт, где р-некоторое среднее значение плотности в объеме Ьт, когда объем Ат стремится к нулю, сохраняя внутри себя точку М, т.
е. Р= 11ш — = — Нш — =- —. Ай 1 . Ой 1бк (14) А -ьды РА»-,ьат р бт Измеряется Р в Международной системе единиц (СИ) в Н/кг или м/с'. Отсюда следует, что обычная, ньютоновская сила б)т, приложенная к элементарному объему бт в точке М, определяется через объемную силу Р как бг(=рРб . В качестве примера можно указать, что в случае силы тяжести Р=б, где Ю вЂ” вектор ускорения свободного падения; случаю центробежной силы инерции во вращающейся с угловой скоростью гь системе соответствует объемная сила Р=а*т, где г — вектор, равный кратчайшему расстоянию между точкой приложения силы и осью вращения и направленнмй в сторону от оси.
Аналогично, поверхностные силы задаются вектором напряжения Ар' бр р=!пп (15) да АДЬО бо' где Ьр' — главный вектор снл, приложенных со стороны среды к выделенной в ней малой площадке Ьа, а бр и ба — предельные нх значения. Измеряют р в Н/м'. Вектор бр поверхностной силы, приложенной к площадке ба в данной точке пространства, равен, согласно (1б), бр=р ба, т. е. произведению вектора напряжения р на величину элементарной площадки бо. Отметим основное различие (кроме, конечно, несовпадения размер- костей) между векторами Р и р: в то время как вектор Р является однозначной векторной функцией точек пространства и времени, т. е.
образует векторное поле, вектор р принимает в каждой точке пространства бесчисленное множество значений в зависимости от ориентации площадки, к которой приложено напряжение, и, таким образом, векторного золя не образует. Возьмем в точке М сплошной среды площадку бо, ориентацию которой в пространстве определим ортом и нормали к площадке (рис. 19). Назовем одну нз сторон площадки бо лицевой, а другую — тыльной. Проведем с лицевой стороны единичный вектор нормали и. Откинем янсленно с лицевой стороны площадки часть среды, заменив ее действие на площадку силой р.бо.
Индекс и у вектора напряжения р. указывает на то, что сила приложена к лицевой стороне площадки с ортом нормали и. Если бы, наоборот, была откинута часть среды с тыльной стороны, то сила, эквивалентная действию откинутой среды, приложенная к тыльной стороне площадки, была бы, согласно закону действия и противодействия, равна — р„бо. Конечно, выбор одной из сторон площадки в качестве лицевой, а другой — в качестве тыльной совершенно 62 ГЛ П! РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАССЫ И СИЛЫ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ произволен, но должен быть заранее указан и в процессе рассуждения зафиксирован. Докажем, что вектор напряжения р„можно представить как произведение орта и, характеризующего ориентацию площадки ба в пространстве, на тензор второго ранга Р, являющийся функцией вектор-радиуса г точки и времени, т.
е. образующий тензорное поле. С этой целью рассмотрим вырезанный в среде элементарный тетраэдр МАВС (рис. 20) с вершиной в данной точке М, с основанием в форме треугольника АВС, образованного пересечением наклонной плоскости с тремя координатными плоскостями, и боковыми гранями, расположенными в координатных плоскостях. Обозначим площадь треугольника АВС через ба„, а площади треугольников ВМС, АМС и АМВ, пред- Рес. 20 Рес Гэ ставляющих собой проекции треугольника АВС на координатные плоскости, соответственно ба„ба„ба„причем индексы 1, 2, 3 при этих площадках, так же как и при напряжениях р„р„р„приложенных к этим площадкам, обозначают оси, перлендикулярные к площадкам. Рассматривая взятый бесконечно малый тетраэдр как «жидкий», т.
е. состоящий из частиц движущейся среды, напишем уравнение движения центра инерции этой системы частиц, общая масса которых пусть равна блГ; будем иметь Усбвс = Р бвГ -1- р„ба„— р,ба, — р»бૠ— р,баз, где К в вектор ускорения центра инерции тетраэдра; Р— плотность распределения объемных сил, а р„, р„ р„ р, †векто напряжений, расположенные со стороны лицевых граней тетраэдра. Лицевыми, очевидно, являются те, со стороны которых расположен орт и и, чтобы не вводить новых, орты 1„юь 1, (рис. 20).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
