Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 16
Текст из файла (страница 16)
При последних трех членах в правой части последнего уравнения стоят знаки минус, так как к внешним— тыльным — сторонам боковых граней приложены напряжения — р„ — РИ вЂ” РР В рассматриваемом уравнении член слева и первое слагаемое справа как величины третьего порядка малости — они содержат элементы массы, пропорциональные объему бт — можно откинуть по сравнению с остальными членами, содержащими элементы Поверхностей ба„, ба„ ба„ба„являющиеся малыми второго порядка. Тогда, оставляя лишь малые второго порядка, будем иметь р.ба.
= р,ба, + р,ба*+ р,ба,. (16) 9 Вв. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СИЛ В СПЛОШНОИ СРЕДЕ ез Замечая, что ба, = ба„соз(п, х,) =п,ба„, бав — — баь соз (и, х,) = п,бо„, ба,=бовсоз(п, х,) =п,ба„ где п„л„п, обозначают косинусы углов орта и с осями координат, получим после сокращения обеих частей уравнения (16) иа ба„и стягивания тетраэдра к его вершине в точке М точное выражение Р =Пзрз+Пзрз+Пзрз =ЛзРв (17) нли, в проекциях на оси декартовых координат, Р з = Лзрн+Пзри+азри, Р в=нзри+Пзрм+Пзрзз, (18) Р в=пзрзв+а*рзв+лзрвз. Вспоминая определение напряжений р„р„р„отметим, что при принятых обозначениях первый подстрочный индекс при напряжениях рзь рва ... обозначает ось, перпендикулярно к которой ориентирована площадка ба, второй — ось, на которую спроектировано это напряжение; так, например, р„ обозначает проекцию на ось х, напряжения, приложенного к площадке, перпендикулярной к оси х,.
Очевидно, что р~=р„,1, (т=1, 2, 3; суммирование по з от 1 до 3). Величины с одинаковыми индексами рьь рза риь представляющие проекции векторов напряжений р„р,, р, на нормали к соответствующим площадкам, называют нормальньвми напряжениями, а проекции рол рзи Рзь ... на оси, лежащие в плоскости площадок,— касательными напРЯ- жеяиями. Система равенств (17) илн (18) показывает, что проекции физически объективного вектора р„на оси координат являются линейными функциями проекций на те же оси физически объективного вектора п. Коэффициенты в этой линейной связи представляют совокупность девяти величин (19) Как было отмечено в $4, наличие линейной связи между проекцияии двух физических векторов р„и и говорит о физической объективности совокупности величин (19) р„(й, 1 1, 2, 3) и тем самым о физической объективности определенного таблицей (19) тензора второго ранга с этими компонентами.
Таблица (19) не удовлетворяет принятому порядку индексов: первый-номер строки, второй — столбца. Поэтому за тензор напряжений примем тензор Р с таблицей (20) Рвз Рзв Рвв Рвв Рвв Рзз а тензору с таблицей (19) сопоставим тензор Р', сопряженный с тензором напряжений Р. Как будет вскоре показано, различие между тензорами Р и Р' отсутствует. Вспоминая определение операции умножения вектора на тензор справа (или тензора на вектор слева), можем переписать (18) в тензорной форме так: (21) р.=пР=Р'и 64 ГЛ ПС РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАССЫ И СИЛЫ З СПЛОШНОИ СРЕДЕ Равенство (17) и эквивалентные ему равенства (18), устанавливающие линейную зависимость между проекциями напряжения, приложенного к любой площадке в данной точке, и косинусами углов нормали к этой площадке с осями координат, имеют основное значение для механики сплошных сред.
Они носят наименование равенств Коши, впервые их опубликовавшего в 1827 г. Формула (2!) эквивалентна аналитическим формулам (17) или (18), но имеет перед ними то преимущество, что лишена зависимости от выбора той или другой декартовой системы координат, чем подчеркивает свою физическую объективность. Э 20. Теорема о взаимности касательных напряжений Условия равновесия тетраэдра АВСМ, согласно известной теореме статики, должны, кроме равенства нулю главного вектора (16), содержать еще условия равенства нулю главного момента приложенных сил.
Необходимо с этой целью отметить, что принятое в $ 19 определение объемных и поверхностных сил нуждается в дополнении еще Ась определениями объемных и поверхностных пар сил, которые, например, могут образовываться в ферромагнитных жидкостях. Первые из них, как малые третьего порядка, в уравнения моментов не войдут, а вторые должны быть учтены. с Отвлечемся от этого особого случая и примем, что в движущейся среде поверхностных пар сил нет, е ~, При составлении условия равновесия (16) положение точек приложения поверхностных сил не имело л значения.
Для определения момен- тов поверхностных сил необходимо рис. щ знать координаты точек приложе- ния сил. Поскольку грани тетраэдра бесконечно малы, можно принять, что поверхностные силы по ним распределены равномерно и, следовательно, точки приложения равнодействующих находятся на пересечении медиан в треугольниках АВС, АМВ, ВМС и АМС и точках 6, 6„6„6, (рис. 21).
Чтобы не загромождать чертеж, на рисунке показано положение только точек 6 и 6, на грани АВС и ее проекции АМВ. Обозначим через г, г'", г'", гол вектор-радиусы точек пересечения медиан 6, 6„6„6,. Тогда искомым вторым условием равновесия тетраэдра будет уравнение моментов г Х р„бо„= гил Х р,ба, + гол Х р,ба, + гол Х рМСР Заменяя в этом равенстве р. его разложением (17), получим после сокращения на бо„ (г — гп') Хр,п,+ (г — г"') Хр,п,+ (г — г'") Хр,п,=О.
(22) Направленный отрезок 6,6 равен разности вектор-радиусов г и гол 6,6= М6 — М6,= г — г", а так как точка 6, является проекцией точки 6 на плоскость Мх,х„то направленный отрезок 6,6 параллелен вектору 1Р $2а теОРемА О ВЭАимности кАсАтельных нАпРяжении Аналогично, векторы г — г'О и г — гРН параллельны векторам 2, и 2„ так что можно положить (Лзъ' — скаляры) г — г" з=Лзз'(„г — гРи =Лаз!„г — гРИ =ЛРО1,.
(23) Подставляя значения этих разностей в (22), составим соотношение Ли Пз(гзХРз) +Л Пъ(22ХРъ) +Л 'Пз(2зХРз) =О. (24) Остается определить скаляры Л'", Л"', Л"', Для этого продлим отрезки МО„МО, и МО, до их пересечений с плоскостью АВС в точках О,', б,', О,' (на рисунке это построение показано только для О,'). По известной теореме о пересечении медиан в треугольнике будем иметь 3 3 3 ° 3 Мб,= — Мб,= — г!21з Мб, = — гнзз Мб, = — ги>. Учтем,что концы векторов МО„МО„МО,, так же как и Мб, лежат в наклонной плоскости АВС.
Следовательно, обозначая через Ь длину перпендикуляра, опущенного из точки М на плоскость АВС, найдем (и- орт нормали к АВС) — (г!ъ> и) = — (гъе п( = — (гал и] =Ь. 3 3 3 2 2 2 (25) Умножая обе части каждого из равенств (23) скалярно на и, будем иметь согласно (25) ((г — газ) н) = г п — г22! п =Ь вЂ” — Ь = — Ь= Лмзпь 3 3 (Ь=1, 2, 3; по Ь не суммировать!). Отсюда следует, что Лзъзпъ=Ь/3. Подставляя полученные значения Лоч в равенство (24) и сокращая обе части на Ь, придем к следующему векторному соотношению: (зХР,+1,ХРь+з',ХР,=О. (26) Принимая во внимание равенство Р,=Р„Т, (суммирование по з), будем иметь 2, Х рз = 1, Х р„2.
= Р„(2, Х 2,), причем О, 12Х ~.=- ум — Юъ, в=1, з=2, з=3, так что Т,ХР =р ъ(ъ — р 1. Аналогично будет 22ХРз= — РМЗз+Ръззи ТзХРз=ръзЗз РзъЗз. Подставляя эти результаты в равенство (26), получим ззХР +ззХРь+ззХР,= (Є— Ри) 2з+ (Рзз Рзз)22+ (Рзъ Рзз) зз=О, З-2ЗВТ откуда прямо следует, что Рзз=рм, Рм=рм Рзз=ръз', Р=РЛ (27) Равенства эти выражают теорему о взаимности касательных напряаеений: если через какую-нибудь точку среды провести три взаимно перпендикулярные бесконечно малые площадки, то для каждых двух из них проекции вектора напряжения, приложенного к одной из площадок, на нормаль к другой равны между собой. 66 гл. нь елспгадвлвнив массы и силы в сплошнои сеида Равенства (27) устанавливают, что при принятом условии отсутствия в среде непрерывного распределения поверхностных пар сил, компоненты тензора напряжений не зависят от порядка индексов, иными словами, тензор напряжений симметричен.
Механику сплошных сред (жидкостей, газов, упругих тел), для которой справедлива теорема о взаимности касательных напряжений и, следовательно, симметричен тензор напряжений, называют «симметричной», в противном случае — «несимметричной». Последняя получила развитие только в недавнем прошлом, представляет предмет пока еще небольшого числа исследований и не может занять место в настоящем учебнике. Дальнейшее изложение посвящается только симметричной механике жидкости и газа. Отметим существенные для последующего выводы из теоремы о взаимности касательных напряжений: !) из девяти неизвестных компонент тензора напряжений различными являются только шесть; 2) в равенствах Коши (18) порядок индексов при компонентах тензора напряжений можно менять; 3) равенство (21) приобретает вид р„= пР Рп.
(28) Подчеркнем, что присутствие объемных или поверхностных пар сил не ограничивает справедливости равенств Коши, так как при составлении главного вектора сил пары вклада не дают. ГЛАВА ГЧ ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ СПЛОШНОИ СРЕДЫ $21. Теорема количеств движения. Уравнение динамики «в напряжениях» Обратимся к общей теореме об изменении главного вектора количеств движения системы, гласящей: производная по времени от главного вектора количеств движения системы равна главному вектору внешних сил, приложенных к системе.
Применительно к механике сплошных текучих сред эта формулировка претерпевает небольшие изменения и становится следующей: индивидуальная производная от главного вектора количеств движения «жидкого» объема рав- 24 на главному вектору внешних объемных и поверхностных сил, приложенных к частицам, расположенным соответственно в объеме и на дт др= кд ограничиваюи4ей его поверхности. Выделим в жидкости произвольный конеч- Юб М ный жидкий объем т (рис. 22). Если бт — элемент объема, содержащий точку М со ско- Р" ростью У, то вектор его количества движения Ф И равен Рис. 22 6К=рУ бт, а главный вектор количеств движения во всем объеме т равен сумме нлн интегралу элементарных количеств движения К=) РУбт. По тем же соображениям главные векторы внешних объемных и поверхностных снл будут соответственно равны ) рРбт и ) р„бо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
