Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 18
Текст из файла (страница 18)
При движениях сплошных сред происходят преобразования одних видов энергии в другие и в первую очередь механической энергии в тепловую. Для расчета этих преобразований служит уравнение баланса энергии, выводимое из общего термодинамического закона сохранения энергии (первого закона термодинамики), который для данного индивидуального объема движущейся среды формулируется так: индивидуальная производная по времени от полной энергии данного движущегося объема среды равна сумме мощностей приложенных к выделенному объему и его поверхности внешних массовых и поверхностных сил и отнесенного к единице времени количества энергии, подведенной извне к объему.
Этот закон выражается интегральным равенством — ~р ((7+ — ) бт= ~рР Убт+ ~Р„Убо+ ~ру бт, (20) З ВЬ ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ 73 где (7-удельная (отнесенная к единице массы) внутренняя энергия среды, включающая в себя все возможные виды энергии внутренних движений материи (в задачах механики жидкости и газа — это в первую очередь тепловая энергия), а д — удельное количество энергии, подведенное извне в единицу времени к данной частице среды и заключающее в себе отличные от работы макроскопических механических сил тепловые и нетепловые виды энергии. Сумма внутренней и внешней (кинетической) энергии носит наименование полной энергии.
Левую часть уравнения (20), используя закон сохранения массы (4) гл. П1, преобразуем так: -'1 (" — )"=-1 — "('+ — ') "+ 1 +~((7+ ~') — "(рб.)=~р —" (и+ ~~6, а поверхностный интеграл в правой части равенства (20), как и при выводе формулы (16), может быть превращен в объемный: ~ р„У бо = ~ й! е (РУ) бт. Подставляя написанные выражения в уравнение (20) и учитывая, как н выше, произвольность объема т, получим уравнение баланса полной энергии в дифференциальной форме р й ( и+ т '1 — рР. У + й! (РУ)+ ру Ж ( 2 / (21) Сопоставляя уравнение баланса полной энергии (21) с ранее выведенным уравнением изменения кинетической энергии (16), можем, произведя почленное вычитание этих уравнений одно из другого, получить следующее уравнение баланса внутренней энергии: еи р — =рв — й1!П=Р7+Р Я, Ж (22) р ~ 1 ~ ) =рР У+У.П!ЧР, ЕГ(2/ (23) р — ( — ) =рР У+ й!Гк(РУ) — Р 5. Одно из уравнений баланса энергии (полной или внутренней) в том или другом виде может быть присоединено к общей системе уравнений динамики жидкости, которая и после этого останется незамкнутой.
Для замыкания системы необходимо либо ввести дополнительные сказа между компонентами тензора напряжений и тензора скоростей деформаций (например, закон вязких напряжений Ньютона), либо наложить упрощающие предположения на компоненты тензора напряжений (модель идеальной, т.
е. лишенной внутреннего трения жидкости). ае заключающее в явной форме ни внешних объемных сил, нн скоростей н выражающее связь между индивидуальным изменением во времени отнесенной к единице массы внутренней энергии среды, притоком внутренней энергии извне и мощностью внутренних сил. Пользуясь полученным выражением плотности распределения мощаостн внутренних сил !т'„(19), можем привести уравнение (16) к одному нз следующих эквивалентных видов; гл. ис овщиа таоеамы динлмики сплошнои сеиды 74 При наличии притока массы от непрерывно распределенных источников в предыдущих формулах появятся дополнительные члены.
Так, дифференциальной формой теоремы об изменении кинетической энергии вместо (16) будет служить уравнение р — ~ — 1 =рР ° р'+ б)ч(Р)т) + Л~ш — — ', и тР'1 / уз ш12 2 (24) уравнения баланса энергии в дифференциальной форме (21) и (22) пе- рейдут в следующие: р — '((/+ ~'1 ~= рР.)У+ б (Р)У) + ру — У/(У+ — ' '~1, Ж~ 2/ 2 / (25) вг/ р — =рв-)у,„-у(у, вг (26) и, наконец, выражение мощности внутренних сил приобретет вкд М,. = — Р.5 — —.
(27) 2 В 24. Перенос физической величины потоком среды сквозь поверхность. Теорема Эйлера Интегральные формы рассмотренных выше законов динамики и баланса энергии сплошных сред [количеств и моментов количеств движения (3) и (11), баланса кинетической и полной энергии (15) и (20)) содержат в левых частях индивидуальные производные по времени от выражений типа ) Ф бт, называемых значениями физической величины Ф в объеме т. Сама величина Ф в зависимости от вида уравнения может быть скалярной, векторной нли тензорной. В перечисленных случаях она соответственно равна р т', тХ р)У, р)н/2, р(1/+ У'/2).
Вывод формул (24) — (27) основан на использовании равенства (11) гл. П1 вместо равенства (4) той же главы и не представляет труда. При выводе формул (10) и (24) †(27) предполагалось, что непрерывно распределенные источники масс неподвижны. В случае источников, движущихся со скоростями т', изменение плотности количества движения, вызываемое притоком массы от этих движущихся источников, определится разностью У(т' — т), а соответствующая реактивная сила— разностью У(т' — 1/). Изменение кинетической энергии равно У()т'/2— — Рч/2), а изменение полной энергии Е=(/+-)а соответственно равно 2 У(Š— Е), где Е=о+ — 1т*. Такого рода выражения будут использованы 2 в $149 при выводе уравнений движения неоднородных многокомпонентных газовых смесей, в которых за счет физико-химических превращений возникают и соответственно исчезают массы некоторых компонент смеси.
В практических расчетах непосредственное применение общих законов динамики жидкостей и газов бывает затруднительным. В связи с этим предпочитают, как это имеет место, например, в гидравлике, пользоваться интегральными их выражениями, часто сопровождаемыми явными илн неявными осреднениями полей скоростей нли других физических величин. Этому вопросу посвящено содержание следующего параграфа. З 24. ПЕРЕНОС ФИЗИЧЕСКОЙ ВЕЛИЧИНЫ ПОТОКОМ СРЕДЫ Индивидуальную производную д/д/ от ) Ф бт разобьем на локальную д/д/ и конвективную (д/й/) — ~Фбт = — ~Фбт+ ( — ) ~Фбт. нанн н Для придания наглядности конвективной части производной, а также ради определенных вычислительных удобств введем понятие переноса физической величины потоком среды через так называемую конт- "г "г рольную поверхность.
пг условимся называть контрольл г . С' ной поверхностью движущегося в' жидкого объема среды неподвиж- /ббг/ ную в пространстве поверхность, в данный момент ограничивающую рассматриваемый движущийся объем. Перемещаясь в пространстве, жидкий объем протекает сквозь контрольную поверхность. и Возьмем в пространстве, заполи бб в пенном движущейся средой, элемен- / тарную площадку бо с ортом нор- а) б) иалн и, определяющим лицевую сторону площадки. Произведение Рис 23 ФУ„бв физической величины Ф на секундный объемный расход У„бо среды сквозь площадку бо представляет собой перенос величины Ф сквозь эту площадку, а интеграл ФУ„бе в перенос той же величины сквозь поверхность о конечной протяягенности.
Полагая, например, Ф равным отнесенному к единице объема вектору количества движения рУ, получим вектор переноса количества двиегения сквозь поверхность о, равный интегралу ) рУУ„бо. Вектор ) ртХ а а ХУУ„бв представляет собой перенос момента количеств движения. Проикающую сквозь поверхность о секундную массу среды ) РУ„бо мож- а но рассматривать как перенос плотности р через поверхность о, скаляр- !/а аую величину ~р — У„бо — как перенос кинетической энергии и т.
п. 2 а Докажем, что конвективная производная по времени от интеграла некоторой величины, взятого по движущемуся объему, равна переносу той же величины сквозь контрольную поверхность объема. Для доказательства разобьем объем т (рис. 23, а) на элементарные трубки тока АВСР н для каждой из них составим выражение бесконечно нагого конвективного изменения интеграла от величины Ф по объему элементарной трубки, происшедшего за время д! в результате перемещения этого объема из положения АВСВ в положение А'В'С'В' (рис. 23, б). Конвективное приращение величины ) Фбт за время Ж, н но определению, обусловлено только изменением положения объема ин.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
