Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 21
Текст из файла (страница 21)
!У. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНХМИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ 84 ускорение д, тяготения масс на полюсе, находящемся на расстоянии ка от центра Земли; тогда будем иметь С 2 = йап С = БО/Ро. /70 н уравнение поверхности фигуры равновесия примет вид Ыо~~~ 22252 — '+ — = СОП51, 17 2 причем постоянная определяется нз условия, что на полюсе /7=Я,, г=О, откуда следует дЯ,=СОП51. Окончательное уравнение свободной поверх. ности будет ао170 мага + — Бо/ао /7 2 или, вводя полярный угол О и полагая г=/т 51п О, получим Аоа50 оа~/7~ 5!и 0 + = кап/52.
/7 2 (66) Если бы Земля не вращалась (05=0), уравнение свободной поверхности свелось бы к равенству й=/7,, и фигурой равновесия служила бы сфера. За счет весьма медленного вращения, совершаемого Землей (- ') 1 от= — с '), фигурой равновесия служит тело вращения, представ- 13 700 ляющее несколько сплющенную у полюсов сферу — сфероид, уравнение поверхности которого может быть в силу малости безразмерной вели- чины — '=( ) 6,37 10' — =0,0034=— яо 124'бо'бо / 9 83 300 приближенно представлено так: /5 = /то 1 + — — 5!и О) .
2 оо Отсюда легко найти относительную сплюснутость Земли: /тпааа /722!и 1 оа /72 е= /!па!и 2 Яо 800 2 28. Баротропное равновесие газа Равновесие газа называется баротропным, если плотность газа может быть рассматриваема как функция только давления (р=р(р)). В противном случае (р=р(р, Т)) равновесие называют бароклинным. Отметим основные частные случаи баротропного равновесия: 1) газ несжииаем, т.
е. имеет повсюду одинаковую плотность (р= =соп51=р,); этот случай уже был разобран; Геодезические измерения приводят к величине, в два раза болыией. Такое расхождение теории с опытом объясняется грубостью принятого предположения об однородности Земли и неучетом взаимного притяжения частиц, изменяющего самый закон притяжения к центру. На самом деле закон притяжения зависит от формы жидкого тела, равновесие которого рассматривается, что делает строгое решение поставленной задачи весьма сложным. о 28 ЕАРОТРОПНОЕ РАВНОВЕСИЕ ГАЗА р = сопз1.
р' = р, ( Р 1 ~Ра/ (68) где й — показатель адиабаты, равный отношению теплоемкостей газа прн постоянном давлении с, и постоянном объеме с„; для воздуха аж 1,4. 3начения величин р„р„Т, относятся к какой-нибудь характерной точке покоящегося газа. В случае равновесия газа в потенциальном силовом поле уравнение равновесия имеет вид (49). Безотносительно к тому, будет ли равновесие илн движение, лишь бы только процесс был баротропным, введем функцию давления У() (' йл 0 Р(Р) (69) Ло градиент ее равен йгад У = — ягаб р = — асад р. а то ВР Р (70) 1 Величина ( — — дгадр) по соображениям, изложенным в $ 21 25 Р может рассматриваться как отнесенный к единице массы главный вектор снл давлений в данной точке, или вектор объемного действия этих сил, Таким образом, функция давления У, удовлетворяющая равенству (70), представляет потенциал объемного действия сил давления.
Уравнение равновесия (49) может быть теперь переписано в форме йгав(П+У) =О, откуда следует, что при баротропном равновесии среды ао всех ее точках выполняется равенство П + У = с оп 51, (71) Простые вычисления интегралов в (69) приводят к следующим значениям функции давления в отмеченных выше частных случаях баротропных процессов: 1) несжимаемая жидкость (р = сон з() У(Р) = ' — '"-; 2) изотермический процесс (р= — "р) Ро (72) У(р) = Р" 1и Р Ро Ро (73) ао 3) адиабатический процесс [р = р,( Р 1 1 АРа/ А, У(р)=- — —,", — '; ~1 — ( — ') 1.
(74) Удовольствуемся этими краткими представлениями из области статики жидкости и газа. Отошлем интересующихся к курсам гидравлики, где разделы гидростатики и аэростатнкн занимают заметную часть. 2) процесс иэотермичен; при этом температура повсюду одна н та же (Т=сопз(=Та) и из уравнения состояния Клапейрона следует р= — "= .1 р= — '" р; (67) НТо Ро 3) процесс адиабатичен (нет притока тепла извне); тогда имеет место адиабата ГЛАВА Ч ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОИ СРЕДЫ. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ 9 29. Уравнения Эйлера, Громека — Ламба и Гельмгольца — Фридмана. Теорема Гельмгольца Простейшей моделью сплошной текучей среды является идеальная среда, обладающая при движении свойством идеальной текучести, которое присуще, как это было выяснено в $25, большинству сплошных сред при их покое. Это свойство заключалось в отсутствии касательные компонент тензора напряжений при нулевых касательных компонентах — скоростях сдвига — тензора скоростей деформаций.
Для идеальной среды постулируется отсутствие касательных напряжений безотносительно к тому, покоится или движется среда. Принятое допущение равносильно условию отсутствия в идеальной среде внутреннего трения. В движущейся идеальной среде выполняется закон П а с к а л я (равенства (35) — (40), гл. 1Ч) Ри=рм Ргз=рм Рп=ри 0 Ри=ри=рм= — Р, Рп= — Рп, Р= — РЕ, вывод которого ничем не отличается от ранее приведенного в $25. Скалярную величину р, в отличие от введенного в предыдущей главе гидростатического давления, будем называть гидродинамическим давлением или просто давлением в данной точке потока; знак минус, как и в случае равновесия, подчеркивает противоположность направления вектора нормального напряжения р„ направлению орта нормали и к лицевой стороне площадки.
Отвлекаясь в модели идеальной среды от количественного влияния внутреннего молекулярного обмена, проявляющегося в реальных жидкостях в виде трения и теплопроводности, сохраним качественное следствие этого обмена — непрерывность распределения скоростей и других физических величин.
Это объясняет пригодность теории идеальной жидкости в установлении, например, общей картины плавного обтекания тел, распределения давлений по поверхности таких тел, образования подъемной силы и во многих других практически важных задачах. От принципа непрерывности приходится отказываться лишь в отдельных случаях: на поверхности раздела двух идеальных сред, иа твердой границе обтекаемых тел, а также иа некоторых специальных поверхностях разрыва непрерывности.
В первых двух из указанных случаев допускается свободное скольжение жидкостей друг по отношению к другу и скольжение жидкости по поверхности твердого тела, причем ставится только условие отсутствия взаимного проникновения жидкостей или протекания жидкости сквозь поверхность твердого тела (условие непроницаемости). Реальная среда не допускает наличия разрывов непрерывности ни внутри движущегося потока, ни иа границах его с твердым телом. В действительности жидкость или газ не могут скользить вдоль поверхности твердого тела; скорости тех частиц, которые граничат с твердой стенкой, равны нулю, среда как бы прилипает к поверхности тела. Од- В М.
УРАВНЕНИЯ ЭИЛЕРА, ГРОМЕКА — ЛАМЕА И ГЕЛЬМГОЛЬЦА — ФРИДМАНА От вако эта скорость, как правило, резко возрастает при удалении от поверхности и на внешней границе весьма тонкого по сравнению с размерамн тела пограничного слоя достигает значений, соответствующих схеме свободного скольжения идеальной среды. В этом другая причина возможности применения схемы идеальной среды для расчета обтекания тел плавной, вытянутой формы (крыло, фюзеляж, лопатка рабочего колеса турбомашины и др,). В случае плохо обтекаемого тела пограничный слой отрывается от поверхности тела и значительно искажает картину непрерывного обтекания тела идеальной средой.
Основные дифференциальные уравнения динамики идеальной среды непосредственно вытекают из общих уравнений движения, выведенных в гл. 1Ч, путем упрощения их на основании (1) или очевидного в этом случае равенства нля в проекциях на оси декартовых прямоугольных координат +Уг +1г +Уз дУг дУ, дУд дУг ! др д! дх, дх, дх р дх, д! дхг дхз дхз р дха (4) +Уг +" г +(з =Рз > дрз дУа дУз д!'з ! др д! дхг дхз дхз р дхз дУ! дУг 1 др — + У» — = Р! — — — (! = 1, 2, 3).
д! дхв р дхз Используя выражения проекций ускорения на осн цилиндрических н сферических координат (формулы (52), (53) гл. 11), запишем уравнения Эйлера в этих двух системах: цилиндрические координаты; д! дг г де дг г р дг дУа д!"в Уа дУв дУе УгУз ! Ор — в+ У, — '+ — ' — '+ Уз — '+ — ''= Ра — — — Р (4а) д! дг г де дг г рг де д!, дУ, !а д!, д!з — *+ У, — '+ — ' — '+ 1г, — ' = Р, — — — Р; д! дг г де дз р дз сферические координаты: дУЕ дУЕ ггв дрн $га дУЛ вЂ” + Ук д! дй !в дО йз!и О де У'+ У"" Р ! др л ю !в р д!в ' с!дО =Рв — — — Р,(46) гх р!е дв дУв дУв Ув дУ, !г дУ д! дй й дв Яв!и О де дуз д!га ! в д! в Уа дгга УЕУа Ф дй !х дО !'! в!и О де !! "в!а !7 с!йО =- Р, ! др рй з!и О дс Р(у Р= — афтаб р, (2) Уравнение неразрывности 1(5), (7) гл.
П1), как не содержащее напряжений, сохранит тот же вид, что и в общем случае. Уравнение динамики в напряжениях 1(6), (8) предыдущей главы) значительно упростится и примет форму уравнения Эйлера Л' дУ вЂ” = — + (У Ч) К =à — — ягаб р, (3) Ш д! р гл ч динхмикв нлелльнои сггды Уравнение Эйлера (3) можно освободить от символической комби- нации (У Ч) У и вместе с тем выделить в левой части градиентное сла- гаемое. Вспомним для этого установленное ранее выражение конвективной составляющей ускорения (50) гл. 11. Подставляя его в левую часть урав- нения (3), получим следующую модификацию уравнения Э й л е р а, предложенную Громека и Л ам бом д — + ассад ~ — ) + го(У х У = Р— — ассад р.
1 дз ~ 2) Р Для дальнейшего наибольший интерес представляет случай, когда объемные силы имеют потенциал П, т. е. Г= — ассад П, (6) и существует функция давления (двнженне баротропно) д (р)=~ — "', (7) Ра введенная ранее в $28. Прн этом уравнение Громека — Ламба (5) пе- рейдет в следующее: дР тУг — + дгаг( ~ — + 9з + П) + го1 У к У = О. (8) д1 ~ 2 Введем обозначения: уг +У+П=В, 2 (5) (9) (10) го1У=И. Тогда уравнение (8) может быть представлено в форме дУ вЂ” + вагаб В + 1) х У = О, дз (12) или, в проекциях на декартовы осн, — '+ — +1)У вЂ” ПУ =0 дУз дВ дз дх гз -зг э дз дх, — '+ — +ПУ вЂ” 1)У =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
