Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 24
Текст из файла (страница 24)
ния такого состояния газа, когда р/рь = сопя! Как будет показано далее, для рас. сматриваемого случая идеального совершенного газа зги два определения эквивалентны друг другу. 8 8Ь МОЩНОСТЬ ВНУТРЕННИХ СИЛ. УРАВНЕНИЕ БАЛАНСА ЭНЕРГИИ 97 (Р= — рЕ) и совершенности газа (р/р=йТ, (/=С.Т). Будем иметь р — ~(/+ — ) = р — ~ с„Т + — )=рР ° У вЂ” д(У(РУ). (36) ан 2) дГ 2) Введем наряду с внутренней энергией еще одну тепловую функцию— удельную знтальпию /4= СРТ, (37) Напомним вывод основной термодинамнческой формулы с,— с.=/г, (38) связывающей коэффициенты теплоемкости газа при постоянном давлении с, н при постоянном объеме с„с газовой постоянной Тт.
Определяя коэффициенты теплоемкости как величины, характеризующие быстроту изменения количества тепла с ростом температуры, соответственно в условиях сохранения давления или объема: сР=( — ), с„=~ — ), нз первого начала термодинамики, написанного в форме (о=1/р) Г/Я= с,г/Т+ р 4/о, получим ( ) с+р( ), (39) апоформуле Клапейрона Равенство (39) при этом приводится к (38). Из формулы (38) найдем связь между внутренней энергией и энталь- пней (42) р — /й+ — ) =рР У+ —. в Г *448 '1 дР дГ ~ 2) дГ 4-9487 (/ = с Т = — с Т вЂ” КТ = /4 — — . (40) Р Подставляя это выражение внутренней энергии в уравнение баланса (36), получим р — 1Й+ — ) =рР У вЂ” д(у(РУ)+ р — 1 — ) . 44 г 'ап1 48 грт (41) аГ ~ 2) ан ~Р) Последнее слагаемое в правой части, если вычислить индивидуаль- ную производную и воспользоваться уравнением неразрывности в форме (6) гл.
1П, преобразуется так: — ' " — "' + ' р д(У У = — "' + рб1У У а8'Тр) аи р си д1 р 4ТГ Подставляя это выражение в (41) и производя простые преобразования, получим уравнение баланса энергии в одном из следующих видов (= — = — +У йга4(р): ЛР др 84 дГ р — ~ й + — )=-рР. У вЂ” У йта4(р+ —, Л Г 148, 44Р ан 2 й З 3! МОЩНОСТЬ ВНУТРЕННИХ СИЛ. УРАВНЕНИЕ БАЛАНСА ЭНЕРГИИ 99 абсолютной температурой Т и да|влением р /г-1 ,Т= — ' ~ И вЂ” ') ' — 11+ м .1 =- — 'ЯТ, И вЂ” ') ' — 1~~+.,Т„ влп по (46) А-1 А ж=( —,'.) ' —,'. =( —:.)"' (48) Заменяя здесь р на р по (46), получим адиабатические соотношения между температурой и плотностью 1 (49) — /й+ — ) =1т дгаб (й+ — 1, — Р =О, Р.)г= — У-йгабП; п второе из равенств (42) приводится к виду 'У .
дгаб (й+ — + П) = О. уп 2 Заяечая, что скалярное произведение вектора скорости на градиент скалярной функции пропорционально производной от этой функции по напрзвлеппю траектории или линии тока, получим равенство 1н/2+й+П=сопз( (вдоль траектории или линии тока). (50) Комбинируя равенство (50) с (47), вновь получим уравнение Вернул- лп (20), ранее выведенное нз допущения о баротропности движения. ( Только что приведенный вывод отличается тем, что в нем баротропность процесса заранее не предполагалась, а вытекала из условия адиабатич- ппстп движения газа. В дальнейшем при изучении движений газа будем пренебрегать влиянием объемных сил (в частности, весом). Это влияние существенно сказывается лишь при движениях газа в пределах больших разниц вы- сот над поверхностью Земли, например в динамической метеорологии, Прп отсутствии объемных сил (П=О) равенство (50) приводится к более простому й + — = ср7 + — = сопз1, у' (51) 2 2 утверждающему, что при адиабатическом движении идеального газа его абсолютная температура и скорость движения находятся вдоль траекторвп в определенном соотношении: с возрастанием скорости газ охлапкдагтся,с убыванием скорости, наоборот, разогревается.
Определим постоянную в равенстве (51) через параметры адиабатиикки заторможенного газа (У'=О, ГГ=й„ Т=Тр); тогда будем иметь освпвпую для дальнейшего формулу И+ — =й. 'У'* 2 (52) Простая связь между термодинамическими элементами газа р, р, Т п величиной скорости его движения У' может быть выведена из уравнеппя баланса энергии при условии стационарности движения и консерва! тпености объемных сил. В этом случае будет гл. ч динамика идвкльнои севды Стоящая слева сумма удельной энтальпии и удельной кинетической энергии, сохраняющаяся при адиабатическом движении частиц газа вдоль их траекторий (линий тока), носит наименование полной энтальпии, или энтальпии торможения. Не будем сейчас выписывать соотношения между скоростью и давлением или скоростью и плотностью, так как далее, в $33, те же формулы получат более симметричную и удобную для запоминания форму.
Введем наряду с функциями состояния — энтальпией й и функцией давления У вЂ” еще одну функцию состояния, а именно удельную энгра. пию з, определяемую дифференциальным соотношением аз=Щ~Т, (53) где ЙЯ вЂ” элементарный приток тепла, отнесенный к единице массы газа и удовлетворяющий, согласно первому началу термодинамики, соотно- шению аЦ = с„йТ + р йо = с„йТ вЂ” ! ир.
рЗ Подставляя это выражение в (53), получим йз= с, — — — — = с„— Р— = Й вЂ” Ы 1п ( — ) — й1пр|, ет р ер в (рФ) вр ' т рт р "р!р р (р (р) илн, замечая еще, что по (45) с„ ь — 1' наидем аз= — й!п( — ) . (54) Отсюда интегрированием получим следующее выражение удельной энтропии в конечной форме; 3 = !и ! — ) + сопз!. й /р! ~р) Значение константы несущественно, так как приходится иметь дело лишь с приращениями энтропии, а не с абсолютными ее значениями.
Если вдоль траектории движения выполняется равенство аз=О, т. е. энтропия сохраняет свою величину, то такое движение называется изэнтропическим. Из уравнения (54) вытекает, что адиабатическое движение идеального газа, подчиняющееся соотношению (46), является изэнтропическим, Соотношение (46) можно было бы назвать изэнтропической адиабатой нли, короче, изэнтропой, Ранее выведенные формулы (51), (52) также носят наименование изэнтропических. Согласно второму началу термодинамики в замкнутой (адиабати.
ческой) материальной системе энтропия является неубывающей функцией времени. Возрастание энтропии в адиабатической системе показывает, что внутри этой системы происходят необратимые процессы преобразования механической энергии в тепло, сопровождаемые потерями механической энергии. Примером образования таких механических потерь могут служить потери на внутреннее трение в неидеальных жидкостях и газах. В следующей главе мы встретимся с явлением потери механической энергии газа при прохождении его сквозь скачок уплотнения— поверхность разрыва непрерывности кинематических и термодинамических величин. В этом случае движение, будучи адиабатическим, окажется неизэнтропическим.
зоз зза СКОРОСТЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ МАЧЫХ ВОЗМРЕЧЕНИЙ й 32. Скорость распространения малых возмущеннй в идеальном газе. Скорость звука Для выяснения особенностей движения газа очень важно сравнить скорость его движения с характерной для данного газа н зависящей от его термодинамнческого состояния величиной — скоростью распространения малых возмущений (например, малых сжатий) по газу или, что все равно, скоростью распространения звука. С этой целью рассмотрим для простоты баротропный поток идеального совершенного газа, все линии тока которого параллельны оси х, а составляющая скорости и, так же как давление р, плотность р и температура Т, являются функциями только х и 1; при этом будем пренебрегать действием объемных сил, Уравнения Эйлера (4) и уравнение неразрывности (7) гл.
1И сводятся в этом случае к нелинейной системе дифференциальных уравнеикй первого порядка в частных производных (используем буквенное обозначение проекции скорости и= 1',) ди ди 1 др — +и — = — — —, д~ дх р дх (55) — + — (ри) = 0 др д д1 дх стремя неизвестными функциями и, р, р. Чтобы сделать систему определенной, необходимо в случае баротропного движения добавить еще ураввевие связи между р и р илн, в более общем случае, уравнение Клапейрона в уравнение баланса энергии. Интегралы таким образом составленвой сястемы уравнений должны, конечно, еще удовлетворять заданным начальным н граничным условиям.
Обратимся к решению простейшей задачи о распространении в газе малых возмущений, которая может быть сформулирована так: в покоящемся идеальном н совершенном газе создаются весьма малые возмущения скоростей, давлений нли плотностн, причем возникающее вследствие этого движение является одномерным параллельным осн х баротропвым движением, зависящим лишь от координаты х и времени 1; требуется разыскать элементы возмущенного движения, Обозначим через и, р н р скорость, давление и плотность возмущенного движения, через р, н р, †давлен н плотность в покоящемся газе, причем отвлечемся от действия объемных сил; тогда, вводя обозначения и', р', р' для малых возмущений скорости, давления н плотности, будем иметь и=и', р=р,+р', р=р,+р', Подставим этн значения возмущенных элементов в систему уравневай (55) и откинем в них произведения малых величин н нх производных ко координатам как малые высших порядков.
Тогда, замечая, что с точаостью до малых величин первого порядка малости при баротропном хвижении будет получим вместо нелинейной системы (55) следующую линейную систему двух уравнений с двумя неизвестными и' н р', (56) — + р.— =О. др' ди' дз дх ГЛ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
