Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Теорему Бернулли формулируют так: при стаеионарном движении идеальной несжимаемой жидкости в отсутствие объемных сил полный напор, равный сумме пьезометрического и скоростного напора, сохраняет свою величину вдоль линии тока (траектории) или вихревой линии. Припоминая выражения функций давления й (73) и (74), помещенные в $28 гл. 1А7, получим следующие формы теоремы Бернулли: а) для изотермического движения (Т=сопз(, р(р=р»(р., Р!Ро=р!Р») 2 — + — 1п — = — + — 1и — = сопз1 = —; Р.
Р 1" Рь (27) 2 Рь Ро 2 Ро Р« б) для адиабатического движения (Р!Р»= (рlр»)~, рlро=(Р(ро)'м) ~-1 (29) 2 ь — 1 Р»1 АР»/ .1 2 Здесь индекс нуль, относящийся к произвольно выбранной на линии тока (траектории) илн вихревой линии точке в дальнейшем будет применен для параметров покоящегося газа. Если на данной линии тока (траектории) или вихревой линии нет точки, где у'=О, то всегда можно себе мысленно представить некоторое непрерывное адиабатическое движение идеального газа (далее будет показано, что оно также и иззнтрояаческое), переводящее его из данного положения в «котел» (ресивер) бесконечно большого объема, в котором газ становится неподвижным, иля, как принято говорить, адиабатически и изэнтропически заторможенная.
Параметры газа в этом его состоянии называют адиабатически и езэнтропически заторможенными, нлн параметрами торможения, и соответственно обозначают ЄЄТ,. Уравнения Бернулли (28) и (29) прицут при этом один нз следующих видов (первое равенство носит имена Сен-Венана и Вантцеля); ~-1 '= —.'-' —:: ~'-( —:.)'1 '- —.'-" й~'-~ —,'.)"1 В приложениях, в частности, при расчетах турбомашин, приходится вцеть дело с относительным движением жидкости в некоторой равно- (28) г — нивелирной высотами, Сумма этих высот Н называется гидравлической высотой. Формула (25) приводит к классической формулировке теоремы Бернулли: при стационарном движении тяжелой идеальной несжимаемом жидкости гидравлическая высота, равная сумме скоростной, пьезометрической и нивелирной высот, сохраняет постоянное значение вдоль линии тока (траектории) или вихревой линии.
Эта форма теоремы Бернулли имеет основное значение в гидравлике и называется уравнением Бернулли. Предположим в дальнейшем, что объемными силами по сравнению с поверхностными (давлением) можно пренебречь; тогда уравнение Бернулли (24) примет более простой вид р+ =сопз1= р,. РР» (26) 2 ГЛ. и. ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ СРЕДЫ мерно вращающейся вокруг неподвижной оси системе координат. Так, при обтекании вращающегося с постоянной угловой скоростью рабочего колеса абсолютный поток, т. е. поток по отношению к фундаменту турбины, будет, очевидно, нестационарным, и теорему Бернулли к нему применять нельзя. В относительной системе координат, связанной с вращаю. щимся колесом, поток стационарен, и теорема Бернулли в относительном движении справедлива. Обозначая через У, относительную скорость и присоединяя к приложенным объемным силам центробежную силу инерции с плотностью расетределения Р"=сват и потенциалом П'"' — '/ат'от*, где т — расстояние ат оси вращения, и кориолисову силу с плотностью распределения тчм — 2соХУ, (исчезающую при скалярном умножении на У,), получим уа таыа — '+ 3ь + П вЂ” — = сопз( (3!) 2 2 (сопз( только вдоль относительных линий тона или траекторий).
Замечая, что ген=У, представляет собой переноснрю (окружную) скорость, будем иметь окончательную форму теоремы Бернулли в относительном движении ' + У + П = сопз(. 2 Теорема Бернулли обычно широко иллюстрируется примерами в курсах гидравлики и прикладной гидромеханики. Для ознакомления с сов. местным применением теорем количеств движения и кинетической энергии в форме теоремы Бернулли полезно рассмотреть вывод теоремы Борда об ударе при внезапном расширении потока'). Теорема Бернулли широко используется в следующих главах настоящего курса. Интересной иллюстрацией применения теоремы Бернулли к движению идеальной несжимаемой жидкости может служить общепринятый в аэродинамических лабораториях метод измерения скоростей при помощи так называемой скоростной трубки, нли трубки П р а н д т л я.
(32) Рис. 28 Рассмотрим схематический чертеж трубки Прандтля (рис. 28), при. меняемой для измерения скоростей газа (воздуха) в условиях, допуска- 1) Сме ранее цитированный чцурс теоретической механикиж Т. П, с. 249 — 25Б Там же описаны некоторые приложении теоремы Бернулли. 5 30. ТЕОРЕМА БЕРНУЛЛИ 95 1 о р .
+ — РУ„= сопз1 = р„ 2 где р,— полный напор (полное давление), замеряемое отверстием Р трубки, р„ †давлен в отверстии 5. Отсюда следует формула для выражения искомой скорости 2(ро — р, ) Оо= Р Если теперь рассмотреть трубку Прандтля в неоднородном потоке, однако считать, что размер носика гораздо меньше характерного размера неоднородности, то можно повторить прежние рассуждения и прийти к подобной формуле 2 (ро — р) Р (33) где р и )Г имеют смысл местных параметров невозмущенного трубкой потоха.
Измеряя разность давлений р,— р при помощи дифференциального нанометра и зная плотность движущейся среды, найдем ее скорость в данном месте потока. Ка самом деле, в результате неточностей изготовления трубки измеренные величины разности давлений могут несколько отличаться от действительных; для учета необходимых поправок в формулу (33) вводят близкий к единице коэффициент, который определяют калибровкой трубки, сравнивая в потоке данную трубку с некоторой образцовой. ющих пренебрежение эффектом сжимаемости; аналогичного рода трубки применяют и для измерения скоростей в потоках жидкости. Поток набегает вдоль оси трубки на ее носик, где имеется так называемое диналыческое отверстие Р (рис.
28, а), и омывает боковую поверхность трубки с расположенным на ней статическим отверстием (щелью) 5. При достаточном удалении ножки трубки г" и носика Р от статического отверстия (обычно принятые размеры показаны на рис. 28, б) можно считать, что вблизи отверстия Р давление равно (рис. 28, а) давлению заторможенного газа р„а вблизи статической щели — давлению р проходящего мимо трубки газа. Вероятно, поэтому давление р необоснованно яазывают статическим, хотя подобный термин в гидродинамике отсутствует. Прн изложении теории вязкого движения жидкости в пограничном слое на поверхности обтекаемого тела (гл.
ХП) будет показано, что дав' ление в любой точке сечения пограничного слоя, в том числе и иа поверхности, совпадает с давлением среды на внешней границе пограничного слоя, т. е. в потоке, проносящемся мимо статического отверстия трубки. :; Таким образом, если трубка вблизи щели 5 имеет цилиндрическую фор- 1 ну, а сама щель 5 располагается заподлицо к стенкам трубки так, что ; жидкость проходит мимо щели, не подвергаясь подпору со стороны вы; ступающих стенок этой щели, то давление в щели будет равно давлению , в невозмущенной трубкой жидкости вдали от трубки. Обозначим через р и )У давление и скорость набегающего однородного потока и будем иметь в виду, что возмущающее влияние носика ,' яа поле параметров потока идеальной среды заканчивается до статиче' ского отверстия.
Таким образом, У„ является измеряемой трубкой вели: чниой. По теореме Бернулли, выражаемой в случае несжимаемой жидкости равенством (26), будет ГЛ. Ч. ДИНАМИКА ИДЬАЛЬНОИ СРЕДЫ Теоремы Гельмгольца и Бе рнулл и — два существенных результата, выводимых из уравнения Э йл е р а, т. е. из закона количеств движения идеальной сплошной среды.
Закон моментов количеств движения при отсутствии в идеальной среде касательных напряжений выполняется автоматически в силу условия Р= — рЕ. Следуя принятой по. следовательности изложения, обратимся к рассмотрению дальнейших по порядку законов механики и термодинамики сплошных сред.
в 31. Мощность внутренних сил. Уравнение баланса энергии Уравнение баланса кинетической энергии (16) гл. 1!!' в случае идеальной среды несколько упростится, поскольку напряжения сведутся к давлению. Однако и в этом виде уравнение не имеет самостоятельного значения, так как его с успехом заменяет интеграл Бернулли, выражающий закон сохранения полной механической энергии. Обратимся к рассмотрению выражения мощности внутренних сил в движущейся идеальной среде, В случае идеального газа эта мощность соответствует работе сил давления, затрачиваемой иа сжатие газа.
Замечая, что в рассматриваемом случае (суммирование по повторяющимся индексам) Р= — рЕ; Р.В= — рЕч8ч= — РБи= — р й!ч У, получим, согласно (!9) гл. 1У, следующее выражение искомой мощности: Ф„= — Р Я = р й1ч У. (34) Заметим, что по уравнению неразрывности (5) гл. 111 будет ! !гр в !'!'! с)о Йзч У вЂ” — — — — р— р й! си '!р) ж где о — удельный объем, равный 1/р, так что равенство (34) эквивалентно следующему: )Чзв = РР ло (35) л! Если обе части этого равенства разделить на р и умножить на й1, то получится известное из термодинамики выражение р да удельной элементарной работы внутренних сил давления в идеальном газе.
Внутреннее трение (вязкость) в газе и теплопроводность представляют собой две стороны одного и того же процесса молекулярного пере. носа. Трение обусловлено переносом количества движения, теплопроводность — переносом кинетической энергии молекул. Приняв в настоящей главе схему идеального, т. е. лишенного внутреннего трения, газа, естественно отвлечься и от теплопроводности. Пренебрегая также лучеиспусканием, примем, что движущийся газ изолирован от притока тепла из.
вне. Такое движение называется адиабатическим'). Кроме того, заметим, что удельная внутренняя энергия термодинамически совершенного газа пропорциональна его абсолютной температуре и равна (У=с„Т, где с. — коэффициент геплоемности газа при постоянном объеме. Перейдем к рассмотрению уравнения баланса полной энергии (2!) гл. 1!!' в предположениях: адиабатичности движения (д=О), идеальности ') В й 28 уже употреблялось понятие иоиобогического состояния для обозначе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
