Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 25
Текст из файла (страница 25)
'о'. ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОИ СРЕДЫ 1оз Система уравнений (58) может быть сведена к одному уравнению. Дифференцируя обе части первого уравнения системы (58) по времени 1, а второго — по х, умножая обе части второго уравнения на а,' и вычитая его почленно из первого, получим линейное уравнение гиперболического типа дги' г д'и' — — а,— =О. дп дхг (59) Аналогичное уравнение найдем для определения р'. др .др — — а,— =О, дР дхг а замечая, что /др'г г, Р =Р Ро= ~ ) (р — ро)=вор др ~о и для р' дгр' г дгр' — — =О. др дхг Общее решение любого из этих уравнений можно представить в виде суммы, в яастности, и =го (Х+ вот) +7г(Х вЂ” аот); (60) вид функций )г и ), зависит от начальных условий задачи. Введем новые координаты 5, и 5„связанные со старыми при помощи равенств (6! ) $г=х+а,г, 5г=х — а,г.
Такое преобразование координат имеет простой кинематический смысл. Ось координат ОД, расположена вдоль оси Ох и движется поступательно в сторону отрицательного направления оси Ох со скоростью а„точно так же ось 0,$г движется поступательно в сторону положительного направления оси Ох с той же скоростью а.. Решение (60) принимает при этом вид и'=7,(5,) +7,(~,). (62) Рассмотрим каждое слагаемое по отдельности, т. е. следующие два частных решения уравнения (59): и'=1г($,) =1,(х+аог), и'=Г,(5г) =),(х — а,().
(63) Функция гг(5,) представляет в подвижной системе ОД, не зависящее от времени распределение возмущений скорости. Эта фиксированная форма одномерного возмущения, заданная начальным его распределением, перемещается, согласно первому из равенств (63), как одно о(елое вдоль отрицательного направления неподвижной оси Ох со скоро- Система (56) может быть названа линеаризованной по сравнению с нелинейной системой (55), так как она получена из иее путем линеаризации, заключающейся в откидывании малых второго и высших порядков. Замечая, что величина ар/йр существенно положительна, так как плотность совершенного газа растет с давлением, введем обозначение ( р) =а', (57) и перепишем систему (56) в форме р — = — а,—, р — = — —. ди', др' ди' др' (58) д~ дх дх д~ $ 32 СКОРОСТЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ МАЛЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ 1оз стью а,.
Аналогично этому функция ~,(я,), характеризующая распределение возмущений в подвижной системе ОД„представляет вторую фиксированную форму возмущения, отличную, вообще говоря, по своему виду от первой и распространяющуюся также как одно целое в положительную сторону неподвижной оси Ох с той же скоростью а,. Полагая в этих решениях $,=сонэ( или й,=сопзс, получим две системы плоских волн: х+ а,с = сопз(, х — а,с = сопз(, (64) представляющих две движущиеся в противоположные стороны со скоростью а, перпендикулярные оси Ох плоскости, каждая из которых несет постоянные, заданные начальными условиями значения возмущений скорости, давления, плотности или температуры; такие волны называют простыми. Общее решение уравнения (59), а следовательно, и аналогичных уравнений для возмущений давления и плотности складывается, таким образом, из решений, соответствующих двум распространяющимся в противоположньсе стороны простым волнам; само уравнение (59), так же как и однотипные уравнения для плотности и давления, являются одномерными волновыми уравнениями, С геометрической стороны полученное решение можно интерпретировать как наличие в плоскости (х, 1) двух семейств прямых (64) с угловыми коэффициентами Ра„обладающих тем свойством, что вдоль каждой из этих прямых сохраняются постоянные значения заданных начальными условиями возмущений скорости или других параметров газа.
Эти два семейства прямых представляют в рассматриваемом случае два семейства характеристик волнового уравнения (59). Физически две такие простые волны можно создать перемещениями с малой амплитудой поршня около некоторого первоначального положения. Общая для обеих волн скорость а, называется скоростью распространения малых возмущений в газе и определяется, согласно (57), формулой (65) В последней формуле подстрочный индекс нуль, характеризующий рассматриваемое невозмущенное состояние газа, опущен, так как формула (65) верна и в случае как угодно движущегося газа, если только под величиной а понимать местную скорость распространения малых возмущений относительно движущегося газа в данной точке потока.
К числу наиболее широко наблюдаемых явлений распространения малых возмущений в жидкостях и газах относится распространение звука, заключающееся, как известно, в распространении волн слабого сжатия и разрежения. В связи с этим величину а называют скоростью звука. Скорость звука, согласно формуле (65), зависит от характера баротропности процесса распространения малых возмущений. Если предположить, что жидкость несжимаема (р=сопз1), то по (65) а=Со. Это означает, что в модели несжимаемой жидкости возмусцгния распространяются с бесконечной скоростью, т. е. всякое изменение давления в данном месте потока должно мгновенно сказаться в любом другом месте.
В ряде случаев такое предположение может с достаточным для практики приближением приниматься для расчетов, в других, как далее будет показано, от него приходится отказываться и аальзоваться схемой сжимаемой среды, имеющей конечную скорость распространения звука. ГЛ Ч ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ СРЕДЫ Принимая процесс распространения звука изотермическим и вспоминая, что прн нзотермнческом процессе (С вЂ” постоянная) с/Р Р р=СР, — =С= —, ар Р' получим изотермическую скорость звука ч/ /' ака =~~ Р (66) получим а =- 1к/ ~ у' Т м/с. ' ° Т 848/се Р Для воздуха й=1,4, !4=29; принимая а=9,81 м/с*, получим, что скорость распространения звука в воздухе равна а = 20,1 1/Т м/с; в частности, при Т=273 К (ОаС) скорость звука достигает величины 332 м/с.
Скорость звука в воздушной атмосфере меняется с высотой над уровнем моря. Применяя стандартную атмосферу, получим табл. 1 стандартных скоростей звука в зависимости от высоты над уровнем моря. Таблмиа 1 и. км а, м/с т,к И,км т,к а. м/с Н. км т.к а, м/с — 1,0 о,'о 1,0 2,0 294,5 288,0 281,5 275,0 345 341 337 333 268,5 262,0 255,5 249,0 з,о 4,0 5,0 6,0 329 326 322 317 7,0 8,0 9,0 1О,*О 313 309 306 зоо 242,,5 236,0 229,5 223,0 Если предположить, что процесс распространения звука происходит настолько быстро, что можно пренебречь влиянием сравнительно медленного процесса отвода тепла и считать процесс распространения звука адиабатическим, то будем иметь р=СР, — Р=йср- =й —; мр Р ар Р адиабатическая скорость звука будет равна а =~~~ .
Формула изотермического распространения звука была предложена Ньютоном, а формула (66) — Лапласом;экспериментыподтверднлн правильность формулы Лапласа (66). Под скоростью звука в дальнейшем будет всегда подразумеваться адиабатическая скорость звука (66). Применяя формулу Клапейрона, перепишем равенство (66) в виде а ЯВТ. (67) Отсюда следует, что скорость распространения звука в совершенном газе зависит лишь от абсолютной температуры и физических свойств газа. Замечая, что газовая постоянная /т может быть выражена через молекулярный вес газа !А и ускорение силы тяжести й по формуле 848Е ма Я= р са ° К 1 м скорость распространения малых возмгшкнип 105 и, =- ')/зЯт.
Сравнивая с (67), получим а= 1 — пс, 3 *' где, напоминаем, /г = с,/с.. Для воздуха (й=1,4) скорость звука составляет примерно 70% от средней квадратичной скорости свободного пробега молекул. Скорость звука существенно зависит от молекулярного веса; так, скорость звука в аргоне прн нормальных условиях меньше, чем в воздухе, опа равна 308 м/с, еще меньше эта скорость в двуокиси углерода— 258 м/с, в газообразном фреоне-12 скорость звука прн 15 'С снижается до 120 м/с. Гораздо сложнее описание явления распространения малых возмущеннй в неоднородных средах, таких как, например, газожндкостные свеся'). Остановимся на распространении звуковых волн в воде, насыщенной пузырьками воздуха.
Процесс образования такой смеси носит наименование барботажп. Введем обозначения а и (1 — а) соответственно для объемных концентраций газа и жидкости; плотности газожндкостпой смеси, газа и жидкости по отдельности обозначим через р, р, и р, а соответствующие нм скорости звука — через а, а„н а . Тогда для плотности смеси получим р=ар„+(1 — а)р . (68) Считая, что соотношение масс газа и жидкости в элементарном объеме смеси сохраняется, будем иметь 1 — а р,= сопз! р . (69) Примем для простоты, что пузырьки газа полностью увлекаются жидкостью и что прн этом давление в пузырьке рг совпадает с давлением жидкости, а следовательно, и смеси в соответствующей точке. Кроме того, будем считать, что температура в газовом пузырьке постоянна, а следовательно, давление р пропорционально плотности р,; тогда по (69) будет 1 — сс Р = СОПвт ' Рг = СОП51 ' — Рж. а (70) Предполагая, что распространение малых возмущений в газожндкостной смеси происходит баротролно, возьмем от обеих частей (68) проавводную по р и в полученном результате йр с!Рг "Рж йа — = а — + (! — а) — + (р, — рж)— йр йр 4 4 произведем замену йр ! йрг 1 йр ав йр дв ' г йр йр а' ж ') См.
обзор ч а п %!!и я а аг йеп 1.. Опейппепв!опа! Иож о1 1!Чи!йв соп!а1п!пя вазИ Пав ЬиЬЫев.— Апппа! жеч1есч о1 и!и!й Месьап!св, !972, ч. 4, р. 370. В кинетической теории газов показано, что скорость звука имеет тот же порядок, что и средняя квадратичная скорость свободного пробега молекул газа и,= 1/ос, которая также пропорциональна корню квадратному нз абсолютной температуры и определяется формулой гл у. динамика идвальнои среды 166 вместе с тем заметим, что из (70) следует оа а (1 — сс) а (1 — а) + с(Р Р Ржож Тогда будем иметь 1 а 1 — а + а (1 — а) Р а (1 — а) Р„а (! — а) Рж а (1 — а) '1-, "+ Р Ржож Р ож аз оа г В третьем слагаемом справа используем изотермичность сжатия газового пузырька и заменим р на Р„а,з, Тогда предыдущее равенство можно переписать в форме 1 а а(! — а)/ Ргог ~ 1 — а а(1 — а) а(! а)рж + оз з 3 3 3 з Р Ос ас Рж"ж "ж Ж или, замечая, что Р„«Р, а„«а и р,а'„((р о', окончательно получим формулу Вуда ') ! аз (1 — а)а а (1 — а) Рж +, + ож Р аа аз г Первые два слагаемых в правой части сравнительно малы и могут быть опущены; на практике можно пользоваться следующей приближенной формулой для скорости распространения малых возмущений (скорости звука) в газожидкостной смеси аз= Р а(1 — а) р $33.
Числа М и ) . Изэнтропические формулы Скорость распространения малых возмущений или скорость звука является важной характеристикой потока сжимаемой среды. В зависимости от того, будут ли скорости движения частиц меньше или больше скорости звука, принципиально различными будут и происходящие в среде явления. Это может быть продемонстрировано на следующем простом и наглядном примере. Предположим, что из баллона большой емкости через сужающийся патрубок происходит истечение газа в некоторую камеру.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
