Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Таким образом, только что сформулированная в терминах динамики сплошных сред теорема об изменении количеств движения приводит к равенству —" ( РУбт=~рРбт+~рбо. ю д В левой части выполним преобразование — ~ рУбт=~ — (рУбт) =~ р — бт+ ~ У вЂ” (рбт). и,),) .) и Последний интеграл по условию сохранения массы (4) гл. 1П равен Гл. Нл ОБщие теоремы динАмики сплошнОИ сРеды нулю; следовательно, — 1 р)х бт = 1 р — бт. [4) В последнем члене правой части (3) произведем замену р„его выражениями (17) или (28) гл.
П1. Будем иметь, согласно теореме Гаусса — Остроградского, эквивалентные друг другу результаты р,бо=~(п»р,+п,р,+п,р,)бо=)1 р» + р'-1- р»1бт, (5) д (дх, дх, дх,) 0 ь Г~р,бо = ') пРбо=- ~ г7Рбт= ~РЪ Рбт. р р т Возвращаясь к равенству (3), подставим в него приведенные к объемным интегралам члены и объединим их, перенеся в левую часть уравнения. Получим Л~ др, др, др»' Ж дх» дх» дхт ) ~(р — — рР— ЖТР) бт=О, откуда, в силу произвольности объема интегрирования т, придем к следующим двум возможным выражениям уравнения динамики сплошной среды в напряжениях; р — = рР+ — '+ — '+ — = рр+ —, дР др, др, др др» Ф дх» дх, дх» дх (6) р — =рр+ О1РР. ди ~И Векторы — = — + — '+ — = Г»»ТР, др» др, др др» дх» дх» дх» дх» стоящие в правых частях уравнений (6), согласно равенствам (5), мож- но рассматривать как пределы 1ип — ~ р„бо=!пп — ~ пРбо 1 Г .
1 г ьт ьат ьт»ат ьь ьь 7 ду~ дУ 'т др»~ р ~ — + $'» — ~ = рр» + — (1 = 1, 2, 3; суммирование по я) ~, д» дх» ) дх» отношения главного вектора поверхностных сил, приложенных к поверхности Ло, которая ограничивает объем Лт, заключающий внутри себя данную точку М, к этому объему, т. е. как объемную плотность распределения главного вектора поверхностных сил. Эту плотность будем называть объемным действием поверхностных сил.
В декартовой системе прямоугольных координат уравнения (6) приобретут вид $22. ТЕОРЕМА МОМЕНТОВ 69 или, в развернутом виде, Р~ — +У.— +Ус — +У.—,1=рР,+ — + — + —, ( дУт дут дУт дУт т дри др,т драт дт дхт дхе дха ) дх дх дха ~ дт дх, дх, дха 1 дх, дха дха К этой системе уравнений присоединяется уравнение неразрывности (7) гл. 1П, имеющее в указанных координатах вид — + — (рУ ) + — (рУ.) + — (рУ.) = О. др д д д (9) дт дхх дхе дха Как будет показано далее, уравнения (8) вместе с уравнением (9) являются основой динамики сплошных сред. В них содержатся как частные случаи различные виды уравнений, отвечающие тем или иным дополнительным допущениям относительно физических свойств определенных моделей сплошных сред (идеальная, вязкая жидкости и др.). Предыдущий вывод уравнения в напряжениях относился к случаю отсутствия внутренних источников притока массы, т.
е. (согласно концу $18) соответствовал условию 1=0. При наличии такого рода источников (1ФО) и в условиях нх неподвижности в левой части уравнений (6) появится дополнительный член 1У, учитывающий изменение количества движения со временем за счет наличия этих источников; будем иметь, например, вместо второго уравнения (6) р — + 1У = рР+ П!ч Р йГ си вли, перенося член 1У в правую часть, р — = рР+ ь)(УР— 1)х. дУ си (1О) Это уравнение можно рассматривать как уравнение динамики сплоишой среды переменной массы'), а последний член справа трактовать как реактивную силу, отнесенную к единице объема, или ллотность распределения реактивных сил. $22.
Теорема моментов и вывод из нее теорем о взаимности касательных напряжений Закон изменения главного момента количеств движения системы иатериальных точек гласит: производная по времени от главного момента количеств движения системы материальных точек равна главному моменту внешних снл, приложенных к системе. В динамике сплошной среды этот закон формулируется так: индивидуальная производная от главного момента количеств движения конечного жидкого объема равна главному моменту внешних объемных и поверхностных сил, приложенных к этому объему и ограничивающей его поверхности. Пользуясь тем же рис.
22, найдем моменты указанных там векторов относительно произвольного центра О, на рис. 22 не показанного. Обозначая через т текущий вектор-радиус точек объема т и ограничивающей его поверхности о, выразим только что сформулированную ') Л ой ни н с к и й Л. Г., Л у р ь е А. И. Курс теоретической механики. Т. 11.— Мл Наука, !983, с. !1Π— 1!4. ГЛ. НА ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ СПЛОН!НОЙ СРЕДЫ то теорему следующим равенством: «г — ~ гХРУбт= ~ гХррбт+ ~гХр„бо.
3 О Стоящий в левой части интеграл преобразуется так: и Гдг — г х РУ бт = ~ — х РУ бт + 1 г х р — бт + ( г х У вЂ” (р бт). Ж,1 Ж 3 Т Первый нз интегралов в правой части равен нулю, так как д« вЂ” хрУ= УхрУ вЂ” О, третий также равен нулю, так как по закону сохранения массы — (р бт) =О, и мы приходим к равенству д (' ш — г ХРУбт= ( г Хр — бт. ш Об братимся к преобразованию поверхностного интеграла правой части (11) в объемный. Перепишем его, согласно формуле Коши (17) гл.
Н1, в виде ~ г х р„бо = ~ г х (п,р, + п,р, + л,р,) ба = Ю Ф = ) (п,(гхр )+п3(гхр )+ п (гхр )) бт3 в или, используя интегральное соотношение Гаусса — Остроградского, 1 ~Г д гхр.бо = г1 [ — (гхр,) + — (гхр,)+ — (гхр)1бт =- =йгх( — "'+' — '+ — "')+( — "х')+( — "")+( — "")1". (12) Подставляя полученные выражения в (11) и группируя члены, п идем к выражению члены, придем ~ [г Х (р — — р)Π— — — — — — )— я дг дг дг — — хр,— хр, — — хр3~бг=О. (13) Отсюда, имея в виду первое равенство (6) и произвольность объема интегрирования т, получим соотношение между векторами напряжений Р Рь Р3 дг дг дг — хр, + — хР, + — хр,=о, д«3 дх3 дх3 которое, замечая, что дг д — = — (Х«13+ Х333+ Х313) = 13, — = 33$ — =33, «3 дх, дх, Э 23.
ТЕОРЕМА ОБ ИЭМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ $23. Теорема об изменении кинетической энергии и общий закон сохранения энергии Напомним общую формулировку закона изменения кинетической энергии системы материальных точек: производная по времени от кинетической энергии системы материальных точек равна сумме мощностей как внешних сил, приложенных к системе, так и сил внутренних взаимодействий между точками системы. Подчеркнем разницу в формулировках теоремы об изменении кинетической энергии и теорем количеств и момента количеств движения: в только что приведенной формулировке, наряду с внешними силами, учитываются и внутренние. Интегральное выражение теоремы об изменении кинетической энергия движущегося индивидуального объема сплошной среды составим, пользуясь только что приведенной формулировкой для динамики материальных систем, в форме и Р— "* б = ['РР.Убт+ ['р„.Убо+ ['й1мбт, Ф,! 2 (15) где под й!ы подразумевается отнесенная к единице объема мощность внутренних сил, называемая иначе плотностью распределения мощности внутренних сил.
Переходя от поверхностного интеграла к объемному при помощи преобразования ,) Рн Убо= ~(пР) У ба= — 1 и (РУ)бо= ~ й!Е(РУ)бт ь ь 0 % можно записать в виде 7,ХР,+1.Хр,+ь',ХР,=О. (!4) Последнее равенство совпадает с равенством (26) гл. П1, которое, как было показано, приводит к теореме о взаимности касательных напряжений и симметричности тензора напряжений (формула (27) той же главы).- Отметим, что соотношение (14) справедливо для любой сплошной среды независимо от характера приложенных к ней сил и наличия илн отсутствия притока массы извне, если только в этой среде нет распределенных пар сил. Иными словами, существование распределенных источников (стоков) массы не нарушило бы симметричности тензора напряжений. Очевидно, что если считать свойство взаимности касательных нанряженнй уже известным на основании геометрического вывода гл. 1П, подставить соответствующую формулу (27) гл.
П1 в равенство (1!) и учесть уравнение количеств движения (6), то уравнение моментов (11) просто обратится в тождество и не даст никакой новой информации Если же не основываться на геометрическом выводе теоремы о взаимности касательных напряжений, а независимо проделать преобразования, приводящие уравнение баланса моментов к виду (14), то это будет второе доказательство той же теоремы. Наконец, опираясь на определение операции векторного умножения двух тензоров [(7О) гл. 1], можно было бы осуществить еще третье, тензорное доказательство снмметркчности тензора напряжений в форме равенства (75) гл. 1: РХЕ=О, которое полностью не зависит от выбора координатной системы.
Однако поскольку подобные тензорные операции в дальнейшем не понадобятся, опустим этот вариант доказательства и перейдем к следующему по порядку закону изменения кинетической энергии, 72 гл. ~ч. овшив твоьвмы дипкмики сплошнон сьвды в котором использованы легко проверяемое тождество (пР) У=п (РУ) и формула Гаусса — Остроградского [(1! 1) гл. 1) 1, и освобождаясь тем же путем, что и в предыдуших параграфах, от интегралов, получим выражение теоремы об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме р — рР У+ 61ч(РУ)+ )Чь,. (16) си 12/ Сравним это уравнение с равенством р — У=р — ~ — '1=рР У+У.1)!чр, ь'!т ь' гЧ ь составленным из второго уравнения (6) путем скалярного умножения обеих его частей на вектор скорости У. Почленное вычитание последних двух уравнений дает выражение для плотности распределения мошности внутренних сил (17) Ф„=У Г)!ч Р— а!ч(РУ) Это выражение можно еще упростить, если использовать следующий ряд дифференциальных преобразований с оператором Ч: о!ч(РУ) =Ч ° (РУ) =(ЧР) ° У+Р (ЧУ) =У РАчР+Р (ЧУ).
(18) Здесь последнее выражение справа представляет собой скалярное произведение тензора напряжений на диаду поля скоростей (см. формулы (18), (19) и (69) гл. 1). Используя предыдущее равенство, найдем, согласно (17), И„= — Р. (ЧУ) или, разлагая диаду поля скоростей ЧУ на симметричную Ю и антисимметричную А части и замечая, что в силу симметричности тензора Р будет Р А=О, перейдем к следующему выражению мощности внутренних сил как взятого с противоположным знаком скалярного произведения тензора напряжений на тензор скоростей деформаций: М„= — Р 3.
(19) Правая часть (19), выражающая плотность распределения мощности внутренних сил, по своей структуре напоминает формулу мощности силы. Разница, однако, в том, что в случае дискретной силы мощность определяется как скалярное произведение векторов силы и скорости, а в сплошной среде плотность распределения мощности внутренних сил равна скалярному произведению тензоров напряжений и скоростей деформаций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
