Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 14
Текст из файла (страница 14)
на величину скорости. Согласно формуле (78) гл. 1 получим (У=У!У) 1)'„,„, = '— " — "' = (У . У) УУ = 1' —" . У) УУ = (У.У) У. (42) д! д! Суммируя локальную и конвектнвную составляющие ускорения, получим выражение полного ускорения У= — +(У 7)У, (43) д! или, в проекциях на оси координат, У 11У ! д! дх, +У вЂ” + У»в ду! ду, дх, дхк дх, ' дхк дхк дхз дн, дх', У = — '+!', — ' д! дх, (44) д! дх! или дк! др! Уг= — + Уь — (! =1, 2 3). д! дхь Локальное ускорение равно нулю, если поле скоростей стационарно, Конвективное ускорение отсутствует, если поле скоростей однородно.
Например, в случае удара тела о поверхность воды вначале возникает локальное ускорение жидкости, а конвективное ускорение мож- В лагранжевом представлении движения (1) вектор скорости У определится как У =- — г (а, Ь, с; 1), (39) д! а вектор ускорения У вЂ” как У= — г(а, Ь,с;!) дк (40) д!к з и.
зсконвиив члстицы сыды 55 но считать в начальный момент равным нулю; неоднородность поля скорости и конвективное ускорение появляются лишь затем. Аналогичное положение имеет место и при начале движения тела, погруженного в неподвижную жидкость. Оператор У Ч называют конвекгивной производной, производную д/д/ — локальной производной, а полную производную а/д/, равную — = — +()' 7), (48) ~й дг учитывающую полное изменение некоторой физической величины, связанной с движением индивидуальной частицы среды в поле этой величины — или, в более общем случае, в поле любой субстанции,— называют индивидуальной (лагранжевой) или субстанциональной производной.
Полное ускорение частицы в эйлеровом представлении ее движения, равное сумме локального и конвективного ускорений, определяется как индивидуальная (субстанциональная) производная от вектора скорости по времени. Сохраним для индивидуальной производной обозначение а/ай Символическую формулу (42) конвективного ускорения можно заменить другой, не содержащей символического оператора Ч. Приведем сначала вывод одной важной формулы векторного анализа, выражающей конвективное ускорение через пространственные производные йтад и го(.
Вспомним формулу двойного векторного произведения ах(ЬХс)=Ь(а с) — с(а Ь)=Ь(а с) — (а Ь)с. Положив в ней Ь=7, будем иметь 7 (а с) = (а 7) с+аХ (7Хс) н, поменяв местами а и с, 7(с.а) = (с 7)а+сХ (7 Ха). В первом из этих равенств операция дифференцирования 7 относнтся только к с при постоянном а, во втором, наоборот, к а при постоянном с. По правилу символического составления пространственных производных от сложных векторных выражений (см. конец $8 гл. 1) объединим эти два выражения для одной и той же величины Ч(а с) н получим Ч(а с)=(а 7)с+ (с.7)а+аХ (ЧХс)+сХ(ЧХа). Переходя частично от символических обозначений к операциям ягад н го(, получим формулу векторного анализа йтад (а с)=(а Ч)с+ (с 7)а+аХго( с+сХго(а, (47) ранее ((88) гл.
1] приведенную без вывода. Положим в этом равенстве а=с, а с=а'. Тогда из векторного соотношения (47) будет непосредственно следовать дгаб (а') =2(а 7) а+2аХго1 а. (48) Отсюда вытекает равенство (а 7) а = ягаб — + го( а х а, (49) 2 которое при а=У приведет к не содержащему символических операторов выражению конвективной составляющей ускорения через операция ГЛ.
Н. КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ дгаб и го1 У =(У у) У =дгаб — +го1УхУ. уа 2 (50) Последнее выражение У „будет полезным |в динамике при выводе уравнения Г р о м е к а — Л а м б а. Большую помошь может оказать это равенство и для вывода проекций ускорения в ортогональной криволинейной системе координат. Прямой подход к этому выводу заключался бы в использовании разложения вектора скорости по ортам (единичным векторам) 1, осей координат в криволинейной системе 1 вг~! + 1 вэба+ 1 вг~а 1 вг1г с последующим его дифференцированием по времени, которое потребовало бы вычисления индивидуальных производных аУ9/с(Г и а1,/аг, что само по себе достаточно трудоемко. Удовольствуемся приведением выражений проекций ускорения на оси наиболее употребительных систем криволинейных координат: цилиндрической (в том числе полярной) и сферической: цилиндрическая система (т, е, е): дУ, дУ, гг дУ, дгг, У' г+у г+ в г+1.
г д! дг г да дг г дУ, дУ Ув др ду У,У У, = — '+ У, — '+ — ' — '+ У, — '+ — '' д! дг г де дг (52) дУг дУ Ув д1гг дрг у г+у г+ в г+у г д! дг г да дг сферическая система ()7, 8, е): У = — +Уя дУя дУя Ув дУя Ув дУя д! дй й д8 йз!п О да Ув !т дУв дув Ув дрв !гв дУв !'я!'а Уи = — + Уя — ' + — ' — + — ' — ' + — а — — ' с 18 8, (53) д! дй й д8 йз!пО да й й дУв дрг Ув дрг Уа дуг !'ярв УвУг д! дй й д8 йз!п О дг й гт 8 17.
Кинематическая теорема Кельвина До сих пор изучались свойства вихревых трубок или эквивалентных им по теореме Стоке а циркуляций скорости по опоясывающим вихревые трубки контурам в данный момент времени. Излагаемая ниже теорема К ел ь в н н а позволяет с чисто кинематнческой стороны предсказать поведение вихревой трубки во времени '). Формулировка теоремы такова: индивидуальная производная по времени от циркуляции скорости по замкнутому жидкому (т. е. состоящему во все время движения из одних и тех же частиц жидкости) контуру равна циркуляции ускорения по тому же контуру. Рассмотрим сначала несколько более общий случай — изменение во времени циркуляции скорости по разомкнутому жидкому контуру С (рис. !8).
') В связи с чисто кинематическим характером этой теоремы, не связанной с физическими свойствами жидкости нли какими бы то нн было силовыми воздействиями, ес называют кинемотической теоремой К ел ь а н н а, отличая от динамической теоремы К е л ь а и н а, которая будет рассмотрена далее и динамике жидкости. Ь <Г КИНЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА КЕЛЬВИНА ( У'бг= ( У'бг+ (Ув УА).
А А (54) <с< <с< Соединяя точки В и А, замкнем кривую лучам Си по- (55) А — <~ У бг =<~< У бг, <с< <с< нли, в ранее введенных обозначениях для циркуляции, — "Г,(У) = Г,(У'). (56) <<< Рис. Рв Формула Кельвин а (55) или (56) выражает общий закон изнеиекня со временем циркуляции скорости по замкнутому жидкому контуру н тем самым по теореме Стокса ($15), интенсивности вихревой трубки, причем связывает это изменение с циркуляцией ускорения, т. е. с циркуляцией объемной силы, которая, очевидно, равна работе силы по замкнутому контуру. В этом заключается особое значение теоремы Кельвин а для динамики жидкости и газа, о чем будет речь в последующем (см. гл. Ч11).
Вычислим индивидуальную производную по времени от циркуляции вектора скорости У по разомкнутому контуру С между точками А и В. Согласно определению интеграла как предела суммы имеем в в в в — У бг=~ — (У бг) ~ — бг+ ~ У' ° — (бг). «« и ш <<< А А А А <с< <с< <с< <с< В силу независимости операций д/Ж и б их можно поменять местами, придав последнему интегралу в предыдущем равенстве вид в в в в 1' — '"=1 "(" — ') =1' "=1'~ — ) А А А А <с< <с< <с< <с< Интеграл от дифференциала равен разности значений первообразной функции на верхнем и нижнем пределах.
Таким образом, будем иметь ГЛАВА П1 РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАССЫ И СИЛЫ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ. РАВЕНСТВА КОШИ. ТЕОРЕМА О ВЗАИМНОСТИ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ 5 18. Плотность распределения массы в сплошной среде. Закон сохранения массы. Уравнение неразрывности В динамике дискретной системы материальных точек динамические характеристики, в том числе и инерционные, приписывались отдельным точкам системы (массы материальных точек системы, приложенные к ним силы).
В случае абсолютно твердого тела рассматривались как суммарные, но относящиеся к резко очерченным областям твердого тела характеристики (моменты инерции, зависящие от размеров, внешней формы тела и распределения в нем масс, векторы количества движения и момента количества движения), так и сосредоточенные в конкретных точках твердого тела силы (нагрузки), моменты сил. В динамике сплошных сред (жидкостей, газов, упругих и других «твердых» деформируемых тел) такой подход заменяется заданием непрерывных распределений динамических и, вообще, физических величин по сплошной среде, характеризуемых плотностью распределения этих величин. Первым примером такого задания может служить плотность распределения массы в виде предела отношения массы Лш малого объема Лт, заключающего в себе данную точку М, к объему Ат, когда последний стремится к нулю, стягиваясь к точке М. Отношение Агп/Ат называют средней плотностью в объеме Ат, а предел этого отношения при Ат-~-Π— плотностью среды в данной точке М и обозначают буквой р, так что Лт Ьл р =1пп — =— ь«ьа« 6« Отсюда непосредственно следуют выражения массы элементарного объема бпг через плотность р бт=р бт (2) и массы ~п выделенного в среде конечного объема т ю=) рб .
« Плотность характеризует инерционные свойства среды и образует скалярное поле р=р(х„х„х,; 1), которое может быть как стационарным, так и нестационарным. Поверхности уровня в поле плотности называют изостерсьии. Плотность выражают в Международной системе единиц (СИ) в кг/м'. Числовые значения плотности жидкостей и газов приведены в таблицах физических величин. В дальнейшем по-прежнему используем обозначение 6 для бесконечно малого приращения в пространстве, а букву с/ сохраним как символ приращения во времени. В ньютоновской механике масса жидкого, т. е. состоящего во все время движения из одних и тех же частиц, объема, сохраняет постоянную величину, так что, согласно формуле (2) (с//Ю вЂ” символ 'индиви- $!8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
