Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Изложенных в этой главе основных понятий и формул векторного и тензорного анализа достаточно для усвоения содержания настоящего курса. Для более подробного ознакомления с основами векторного и 5 ГХ ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ ПОЛЯ 39 тензорного исчислений рекомендуем следующие специальные учебные пособия: 1) К о ч и н Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления.— Мл Наука, 1965; 2) Седов Л. И. Механика сплошной среды, Ч.
1.— Мл Наука, 1983; 3) Лурье А. И. Теория упругости.— Мл Наука, 1970. Приложения 1, П, П1 (с. 799 — 870); 4) Мейз Дж. Теория и задачи механики сплошных сред.— Мл Мир, 1974. В предыдущем (пятом) издании (Мл Наука, 1978) настоящего учебника на с.
14 — 30 приведена сводка наиболее употребительных формул векторного и тензорного исчислений. ГЛАВА 11 КИ Н ЕМАТИ КА СИЛ ОШ НО И СРЕДЫ й 11. Задание положения и движения сплошной среды. Линии тока и траектории. Трубки тока и струи Для задания положения и движения сплошной среды, в частности жидкости или газа, существуют два способа. Первый, связанный с именем Л а г р а н ж а, заключается в задании текущих значений координат частиц среды х„х„х, как функций времени, т. е, совпадает с применяемым в кинематике системы материальных точек.
Необходимость индивидуализации этих частиц требует дополнительного задания значений координат каждой из них а„а„а, в некоторый начальный момент времени 1=1„причем эти координаты могут быть не только прямоугольными декартовыми, но и любыми криволинейными. Поскольку частиц сплошной среды бесконечно много, то сами величины а„составляют непрерывное поле.
Величины а„и 1 называют лаеранжевьзми переменными. Кннематическне уравнения движения запишутся прн этом в векторной или координатной форме так: хг хг (аг» аг аз» 1) х,=хг(а„а„аз' 1) (1) х,=х, (а„а„а,; 1), илн х,=-х,(а„а„а,; 1) (1=1, 2, 3), нлн г=г(а„а„а,; 1) =г(а, 1). Другой способ, принадлежащий Э й л е р у и значительно шире распространенный, чем способ Л агранжа, заключается в аналитическом нли векторном задании поля скоростей вектора скорости У с проекциями У„У„У,: У, У, (х„х„х,; 1), У,=У,(х„х„х,; 1), Уз 1 з (хг, хг, хз'» 1)» (2) нли У<= У, (х„х„х,; 1) (1=1, 2, 3), У У (х„х„х,; 1) У(г, 1).
или Переменные х„х„х„1 в этом случае называют эйлеровыми переменными. Подчеркнем, что в лагранжевом задании координаты х„х„х. относятся к движущимся частицам среды, а в эйлеровом — к точкам пространства, с которыми в данный момент времени совпадают эти частицы, что позволяет переписать систему уравнений (2) в виде одного векторного илн системы трех обыкновенных дифференциальных урав- $!!. 3Адхние положения и движения сплошнои сыды 4з пений первого порядка ах! 1'з = — ' = 1', (х„х,, х,; /), в! йхз Р = — ' = 1' (х„хз, х,; /), ап (3) ахз 1з= 1з(хз~ хы хз !) и! или )я,=дх/й/= К(х„х„хз', 1) (!'=1. 2, 3), или У=Нг/й/=У(хь х„х,; /) относительно неизвестных г(1) или х, (1), х,(1), х,(1).
Три постоянных интегрирования фффкоторые при этом по- явятся и войдут в интегралы системы (3) х,=х,(ффС,; 1), х,=х,(ффС,; 1), (4) х, х,(ффС,; 1) могут быть исключены при помощи начальных условий при 1 1, а,=х,(ффС,; 1,), а,=х,(ффС,; 1,), (5) а,=х,(ффС,; /,). Это приведет в конечном счете к лагранжеву заданию (1). В дальней- шем будет удобнее пользоваться эйлеровыми переменными и задавать движение в форме (2). Поле скоростей является однородным, если векторы скорости во всех точках поля одинаковьс.
Поле скоростей называют стационарнылз, если оно не меняется с течением времени (дУ/д/=0), в противном слу- иае — несгационарным. В разделе кинематики сплошной среды поле скоростей считается задан- У ~"' иым. Юг Поля физических величин трудно обозримы Линия !иана непосредственно. Для упорядочения представле- ния о них разработаны специальные приемы. Скалярное поле разбивается поверхностями У уровня скалярной функции. Таковы, например, изотермы — поверхности одинаковой температу- л рм и изопотенциальные поверхности в динамике, Рис. 7 иа которых сохраняются постоянными значения потенциала силового поля. В векторных полях рассматривают векторные линии, в каждой точ- ка которых вектор направлен по касательной к этой линии.
В дальней- шем прежде всего встретятся линии тока (рис. 7), т. е. линии, в каж- дой точке которых вектор скорости среды направлен по касательной к иим. В определении линий тока время играет роль фиксированного па- раметра. В дальнейшем будем отличать линии тока от других вектор- ных линий, нанося на них стрелки, показывающие, в какую сторону происходит движение, Через каждую точку поля скоростей в данный момент времени мож- по, вообще говоря, провести линию тока и притом только одну.
Суще- ствуют, однако, и такие — их называют особыми — точки поля скоро- стеП, через которые проходят две или бесчисленное множество линий ГЛ.!Г. КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЯ СРЕДЫ тока, а иногда н такие, через которые не проходит нн одна линия тока. Примеры таких особых точек будут даны в 5 50 гл. ЧП. Течение жидкости можно визуализировать, т. е. сделать видимым, если, например, ввести в жидкость мелкие твердые частицы (порошкн ликоподня, алюминия нлн полнстнроловые шарики) нлн мелкие пузырькн газа (обычно водорода), а затем сфотографировать в отраженном свете с малой выдержкой илн снять на киноленту.
При этом лнннн тока наглядно показывают общий характер движения. Такие образы движения жидкости называются спектрами потока. Аналогичные, например, дагмовьге спектры осуществляют н в воздушных потоках. Проф. М. Ва н-Д ай к (Стэнфордскнй университет, США) составил замечательный по содержанию и оформлению атлас спектров водяных н воздушных потоков, а также оптических картин до- н сверхзвуковых течений, представляющий ценное учебное пособие по курсу механики жидкости н газа ').
Записав условие, что вектор скорости У в данной точке, направленный по касательной к линии тока, н дифференциал бг (рнс. 7) вектор- радиуса г этой точки имеют общее направление, получим векторное равенство, выражающее условие параллельности этих двух векторов: УХбг О, (6) нлн, в проекциях, бх, 8», 8»з (7) Уз(»,, х,, х,; Г) У,(х,, х,, х,; Г) У,(х,, х„хы Г) Подчеркнем, что использование греческой буквы б в обозначениях днфференцналов указывает на бесконечно малое приращение величины в пространстве, когда поле данной величины зафиксировано в данный момент времени. Латинская буква а' сохранена для обозначения днфференцналов величин как бесконечно малых приращений во времени прн двнженнн среды.
В равенствах (7) У„У,, У, — заданные функции координат н временн. Считая 1 параметром, принимающим любые фиксированные значення, можем рассматривать совокупность равенств (7) как систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений (третье — следствне остальных). Интегралы этих уравнений представят конечные связи между координатами, являющиеся уравнениями двух поверхностей; в пересечении нх получится искомая линия тока. Таким непосредственным, но излишне трудоемким методом получения линий тока в дальнейшем пользоваться не будем. От линий тока следует отличать траектории движения частиц сплошной среды, определяемые как геометрическое место точек последовательных положений отдельных частиц в пространстве в следующие друг за другом моменты времени. В каждый данный момент времени 1 дифференциал агг вектор-раднуса г движущейся частицы будет совпадать по направлению с вектором скорости, так что дифференциальные уравнения траекторий будут аналогичны уравнениям (7) линий тока, но с тем принципиальным отличием, что теперь уже время ~ будет таким же независимым переменным, как х„х„х„н уравнение траектории должно быть записано в виде ахз оха оха»1 (В) Ут (хт, ха, ха' Г) Ув (хг, ха, »3,' Г) 1'з (»ь хт, х»1 Г) ') з)а п-)У у1се М.
Ап а!Ьшп о1 Пны гпоОоп.— 81ап1огб, Са!1)огп)а, 1)8А: ТЬе РагаЬонс Ргезз, 1982. Имеется и русский перевод: Альбом течений жидкости и газа/Поз ред. М. Ваи-дайна.— Мл Мир, 1988, $ Н ЗАДАНИЕ ПОЛОЖЕНИЯ И ДВИЖЕНИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ 48 Если поле скоростей стационарно, то время 1 не будет входить в проекции скоростей, исчезнет оно и из уравнений (8), и они совпадут с (7). Отсюда следует, что в стационарных полях скоростей траектории и линии тока в любой момент времени совладают. К тому же результату можно прийти и из следующих простых геометрических соображений.
Для построения линии тока, проходящей через точку М (рис. 8), отложим вдоль вектора скорости произвольный малый отрезок ММ,. В тот же момент времени г (~ — фиксированный параметр) в точке М, скорость в силу неоднородности поля скоростей будет уже иной, скажем, У,. Откладывая вдоль направления У, отрезок М,МН получим следующую точку М, и т. д. На рисунке показан полигон ММ,М,М,... Прн бесконечной малости отрезков этот полигон превратится в непрерывную кривую — линию тока. Иначе будет строиться траектория точки.
По прошествии малого промежутка времени ас точка М совершит перемещение ММ' УЛг и перейдет в точку М', которую выбором пг можно совместить с М,. Отсюда по вектору скорости У', соответствующему точке М' н моменту времени 1+аг, за новый промежуток времени а( точка М' переместится в точку М", а затем по вектору скорости У" в точку М"' и т. д. Рие 8 Рис. 9 Очевидно, что полигон ММ'М"М"' .
в общем случае нестационарного поля скоростей будет отличен от полигона ММ,М,... Предельное положение точек полигона ММ'М"... при М-~-О определит траекторию движущейся точки М среды, которая в случае нестационарного поля скоростей не совпадет с линией тока. У линии тока и траектории, проходящих через данную точку М, в этой точке будет общей касательная, направленная по вектору скорости У. В случае стационарного потока, выбирая произвольные точки М„М„... совпадающими с М', М", ... и замечая, что векторы скоро- стеН У„У,, ... в любой момент времени по условию стационарности совпадут с У', У",...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
