Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Пусть ориентация оси и одновременно ,'вх положительное направление на ней определяются единичным вектором (((„(„(,), где (,, 1„.т'--в------ ),— направляющие косинусы оси в данной си- .'Лх стеме координат (рис. 2). Ао! В дальнейшем часто придется иметь дело с понятием производной от скалярной, векторной или тензорной функций. Этому понятию можно придать легко запоминаемый вид, если ввести в рассмотрение символический вектор-оператор Ч! («Иабла») ! д д д ) д — — — 71 =!»в ! ( дх, ' дхо дхо,) дхо Операция производной от величины Ч' по направлению вдоль оси ! в данной точке М будет определяться, как обычная производная, пределом — !Ип, = Иш —.
о)Ч' . Ч' (М') — Ч' (М) . ЛЧ' мм.. о ММ' м-о а! где Ч" — любая скалярная, векторная или тензорная функция, для которой этот предел существует. Производная йЧ"7й! может быть вычислена по формуле производной от сложной функции: оГК дЧ' вх, дЧ дхо дЧ' дхо д) дхо о)! дх Ш дхо й! или, если учесть, что — '=соз((, Хо)=(м — '=соз(), Хо)=(8, — =с05(С, Хо) =78, по формуле (8+ (8+ оо дч' дЧ' дЧ' дЧ" д! дхо ' дхо дхо Так как для самого способа вычисления производной вид функции Ч' несуществен, получим, опуская Ч', следующую символическую формулу: д д д — = — ! ° )7 = (т — + (8 — + )»в д! дхо дхо дхо (76) Из последнего равенства заключаем, что условие симметричности тен.
лора Р=Б можно записать в следующей не зависящей от координат форме РХЕ=О. (78) ГЛ Е ПОЛЕ ФИЗИЧЕСКОЙ ВЕЛИЧИНЫ 28 Применение операции производной по направлению к скаляру 1р, вектору а, тензору Т дает следующие выражения: лф дф — =(1. Р)ср=1 йгабф=-11 —, и ах! ' (77) Ла да ЛТ дТ вЂ” = (1 . Р) а = 1! —, — = (1. Т) Т = 1;— Л! дх ат дх! Примером может служить часто встречающаяся в дальнейшем про- изводная вектора Ь по направлению вектора а: (а ч)Ь=- — (а ч)Ь, а (78) где а=а/а — единичный вектор, направленный по вектору и. Среди всевозможных направлений в поле скалярной величины гр отметим одно характерное направление — норл1али к поверхности уровня функции 1р (рис. 3) ф(х1 хь хз) =С=сопзт и зададим его единичным вектором и, направив в сторону возрастания 1р, так что дф1дп)0.
Как видно из рис. 3, для одного и того же приращения ЛС функции ф при переходе от одной поверхноРис. 3 стн уровня (1Р=С) к другой (1р=С+ ЛС, ЛС)0) разным направлениям 1соответствуют разные приращения Л!=ЛП/соз а, так что Л1)Лп и лф нл лф лф — = — — = — соза ( — . л! лл л! лл (лл Градиент скалярной функции гр определяется как вектор ягадф= Тф= — и, вф лл равный по величине производной от скалярной функции 1р по нормали к поверхности уровня и направленный в сторону наибольшего изменения гр в данной точке.
Общая пространственная производная от скалярной, векторной или тензорной функций определяется как предельная интегральная операция (существование предела постулируется) Иш — (п...бо=ч ..., (79) .-о 1„! где т — объем, заключающий внутри себя данную точку поля, о — ограничивающая объем поверхность, пбо — ориентированный элемент поверхности о( и — орт внешней нормали к поверхности о), а многоточие в формуле (79) указывает место интегрируемого скаляра, вектора илн тензора с соответствующими символами произведений и на интегрируемые величины. Такими пространственными производными являются ! )пп — ~ агрба = ягад 1р, ь т ь Е е производная по злдлнномм направлению !нп — 1 и а бо=1]!ч а, 1 е т о Т, а !пп — ~ их а бо= го! а, 1Г т о'е о (80) 1]т — ~ иа бо = оагаб а, 1 е о О Т о 1!т — ~ иТбо=Р!чТ, ! г о 1! щ — ~ и х Т бо = Ро1 Т.
1 Т О Т, а дао дао дао (го! а),=ер„— ' — — — ' — — ' (р-о. д- г- р...); дхо дхр дх, да,. (гзгай а)и = — ', дхг (81) (Р!чТ), == —, дх,. (Йо!Т)„,„=ее,„' — ' [сравнить с (46)]. дх, К тем же результатам можно прийти, пользуясь символическими выражениями операций с вектором Ч: йга1] ф = "ч ф = — ~ ем дф дхо дар г]!ч а = о а = —., дх,' 1, го го го!а =7Ха = д,дх, дгдх, д!дхо а, а, ао да оагаг[ а = 7а = 1ое~ —, дхе дТ1 Р!чТ = ТТ = — ' гы дх.
(82) дт, гсо! Т= ч хТ = гог„емо — [сравнить с (46)]. дхх Используя в качестве о поверхность координатного прямоугольного параллелепипеда и применяя указанный предельный переход, получим аналитические выражения перечисленных операций пространственного дифференцирования (суммирование по дважды повторяющимся индексам): д, даг (8гаг] ф), =- — (1 = 1, 2, 3); г[]ч а = — '; дхр дх,. ГЛ ! ПОЛЕ ФИЗИЧЕСКОП ВЕЛИЧИНЫ зо Аналогичные выражения в системе ортогональных криволинейных координат выглядят более сложно.
Введем так называемые коэффициенты Л я м е (1)1 — криволинейные координаты): (83) Нз= где конкретный вид системы криволинейных координат 1)„з)„з), определяется равенствами хз=хз(з)„з)„з)з) ()!=1, 2, 3). Заметим, что каждйя из величин Н, имеет смысл коэффициента пропорциональности в равенстве, выражающем связь между элементарным приращением аз, длины отрезка вдоль г-й координатной линии и приращением соответствующей криволинейной координаты г(з),: г)з,= Н,г)г)1 (по 1 не суммировать). Тогда аналитические выражения пространственных производных в криволинейных координатах будут иметь следующий вид (по повторяющимся индексам не суммировать!): (Игаб !р) 1= — — ~ (1 = 1, 2, 3), ! дзГ и, ар! р))у а = ~ (а„Н,Нз) + — (ад,Н,Н,) + — (а„Н,Н,) ) ннн!ар, ' ' ' ар, ' ' ' .ар.
го1„а— НН, ~ ар, ар, ~ д(а Н,) д(а Н,) ~ го1„ а— нн, ад, ар, у з р = Йу итар) зр = (84) (Р!У7)я = ~ — (НЗН17 рв) + — (НзН17др) + — (НЗНЗ7рдз)1+ н,н,н,) ар, ' ' "' ар, ' ' '*" аез д,р, дН, р„з, дН1 днь дНЗ дрь дН, Т Т Н,НЗ д!)з НЗНз ддз Нзцз дд1 НЗНз аЧ1 4Р1У 7)д, — — ~ — (НЗНЗ7ри~ + — (Н,Н,7д,р,) + — (НЗНЗ7д,р,)1„+ Н,Н,Н, !дрз ' ' д!)з ' '' дрз Т Т дзд дНЗ рада дНЗ д д дН1 д рз днз Т Т з Н Н, ддз НЗНз ддз НЗНЗ ддз Нзцз аез 4Р1У 7)р, = ~ — (НЗНЗ7рза) + — (НзН17д,д,) + — (НЗНЗ7дздз)1 + НЗНЗНЗ 1 дрз ' ' "" джаз 3 1 ~™ дчз Т, дц Т дцэ Трав дц, Т, дц + — ' — +— Нзнз дрз НЗНз Рз Нзнз дрз Нзцз дрз д Приведем для справки формулы в наиболее употребительных системах криволинейных координат: цилиндрической и сферической. зт % 8 ПРОИЗВОДНАЯ ПО ЗАДАННОМУ НАПРАВЛЕНИЮ д (га,) ! да да, с(!ча — ' + ' + г дг г дя дя (85) да да го1,а = — ' — ' — — ' г дя дя 1 Г д (пгя) да, го1,а = — [ дг де да, да, го1.
а = — ' — — ', де дг дср д(г — ) Тяф =. с) )ч вегас) ср — — + — — + дг 1 д ср двф г дг гв дяв дгв дТ ! дТ, д҄҄— Твв (ОсчТ), = — "+ — + — + дг г дя дг Г дтгв ! ОТве дтгв Тгв + Тег ((.)(ч Т), — — + — — + — + дг г дя дя Г дТд ! дТ дТ Тд (О~чу), — — + — — + + дг г дя дя г Сферическая система й, О, е: Х=й 5!П О с05 е, у=й 51П О 51П е, х=й сое 6 (0<й<оо, 0«0<п, 0<е<2п), Нв 1г Не й Не йе(ПО, асяс с(йв+йвг(Ов ! йв51пвО с(е с(о,=й' яп О с(О с(е, с(ос=й яп О с(гс(е, с)о,=й с(й с(О, Йт= й'51 и 8 с(й с(О с(е, аррас)е ср = — —, аррас(е ср = др дО дгас)н ср = —, дй дф йяпО дя д(ссваа) ! д(а Мпа) + 1 дссв йя!пО дя 1 с)1ч а —.— ов дг йапО дО д (ае 8)п О) дае ~ го1н дая "яспО дя дя д(йав) ~ дй го1е (86) д (свае) да!с а— го1, дй дО Цилиндрическая (в том числе и полярная) система г, е, г: х=гсоее, у=гяпе, г=е, г=1~х+у',1де=у/х (0<с<оп, 0<е<2п, — оо<г<оо), Н,=1, Н,=г, Н,=1, С(58= С(Гв+ Гвг(Ее+С(гв 11о,=гс(е с(х, с(о,=й с(х, с(о,=гдгс(е, с(с=гс1гс(е с(х, аррас(, ср = —, пгас)в ср = — —, атас), ср = —, др дг г де дг ГЛ.
!. ПОЛЕ ФИЗИЧЕСКОИ ВЕЛИЧИНЫ д (йе — ) д (з!В — ) д!1 з!и 0 дз йп'0 де' ~ е в- — '[ дТяя ! дТвя ! дТ я (Рзч Т)я — — + — — + + дй Я д0 ййпВ де ! + — (2ТЛЛ + Твя с1я 8 — Тве — Тев), й дТяв ! д! вв ! ВТзв (Р[ч Т)е — — + — — + + дй !е дв !! з!и В де + — [2Тяв+ Тея+ (Тве 7 вз) с188[, ! й дй !е дВ ййпВ де + [2Тяе + Тея + (Тве + Тев) с(н 8[. й Символический оператор 7 был задан в прямолинейной ортого- нальной системе координат своими проекциями д/дх, (1=1, 2, 3).
Заме- тим, что этот оператор может быть обобщен и на любую ортогональную криволинейную систему. Общие выражения различных пространствен- ных производных (80) от скалярных, векторных и тензорных функций через символический оператор 7 были приведены выше и раскрыты для случая прямолинейной ортогональной системы координат. Целесооб- разность применения оператора 7 не ограничивается очевидными удоб- ствами запоминания соответствующих формул; он может быть исполь- зован и для вывода выражений пространственных производных от сложных скалярных, векторных и тензорных функций. Вспоминая обычное правило дифференцирования произведения двух функций (фф) '=фф'+фф' (87) обобщим его на скалярные, векторные и тензорные операции с симво- лическим вектором Ч.
Для этого будем составлять но правилам вектор- ной алгебры различные комбинации 7 и дифференцируемых величин, включая лишь те комбинации, которые имеют оператор Ч слева от этих величин или могут быть к такому виду сведены, а затем сложим эти комбинации.
Пользуясь этим приемом, найдем йтай(фф) =7 ()рф) =фЧвр+фЧф=ф йтай ф+зр йтаз[ ф, о[ч(фа) =7 (фа) =ф(7 а)+а Чф=фй[ча+а нгаг[ф, го1(вра) =ЧХ (фа) =вр(7 Ха) + (7!р) Ха=ф го1 а+ пгай фХа, Йч(аХЬ)=7. (аХЬ)=Ь (ЧХа) — а. (ЧХЬ)=Ь го1а — а го! Ь, го1(аХЬ)=ЧХ(ахЬ)=(Ь 7)а — (а ° 7)Ь+а(7 Ь) — Ь(Ч а)= =(Ь Ч)а — (а 7)Ь+ай[чЬ вЂ” Ьй(ча, цгаб(а Ь) = (а.Ч)Ь+(Ь 7)а+аХ (7ХЬ)+Ь(ЧХа) = (88) = (а.
Ч ) Ь+ (Ь Ч ) а+ а Х го1 Ь+ ЬХго1 а, птай(ае) =2(а Ч)а+2аХго1а, з[[ч йтап ф=Чеф (лапласнан ф), го1 нгай фезаО, 6!ч го1 авжО, йтайй[ча 7(Ч а)=ЧХ(ЧХа)+Чеа=го1го1а+Ч*а. з з. мвел иводноеодности вектогного поля Аналитические координатные выражения формул (88) приводить нецелесообразно, так как они слишком громоздки и далее не потребуются. й 9. Мера неоднородности векторного поля — дифференциальная диада и ее составляющие: деформация и ротация векторного поля Дифференциальная диада )4=ха, которая была введена в предыдущем параграфе, с компонентами Оа — — »за,=да,/дхз и таблицей да, даз даз дхз дх, дх, да, да, даз дхз дх, дх, (89) да, даз да, дхз дхз дхз может служить мерой неоднородности векторного ноля. Только равенство ее нулю во всех точках указывает на однородность векторного поля. Сопряженная диада зх' с компонентами Он )х„имеет таблицу да 4 даз даз дх, дхз дхз даз да, даз дхз дхз дхз (90) даз даз даз дх, дхз дхз Простым, но полезным для дальнейшего примером может служ~ть дифференциальная диада вектор-радиусов г(х„х„х,) точек ноля здт с таблицей дх, дх дхз д», д.зз д», =О2О ° дх, дхз дхз дх дх дхз дх, дх, дхз дхз дхз дхз выражающей справедливость равенства 7»=Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
