Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 6
Текст из файла (страница 6)
8 5. Основные операции тензорной алгебры Простейшими операциями над тензорами являются: сложение (вычитание), умножение на скаляр и умножение на вектор. Сложение (вычнтание) и умножение на скаляр определяются равенствами (22) (ХР) .=(РЛ)„.=ХР .. Несколько сложнее вводится операция умножения тенэора на вектор и отличная от нее в случае произвольного тензора операция умножения вектора на тензор.
Операции эти определяют соответственно векторы Ра и аР с проекциями (и — немой индекс) (Ра) = Р„„а„, (аР) „=а„Р„„(гп= 1, 2, 3). (23) Вспоминая введенное в предыдущем параграфе определение линейной векторной функции (линейного преобразования) (!6) и сравнивая правые части равенства (16) с первой системой равенств (23), убедимся в эквивалентности операции умножения тензора на вектор Ра линейному преобразованию физического вектора а в другой физический вектор. Очевидно, что умножение вектора на тензор аР эквивалентно линейному преобразованию физического вектора а по формуле (16) посредством тензора Р'. Операцию умножения тензора на вектор, определенную первым равенством (23), называют еще иначе умножением тензора на вектор справа, а второе равенство (23) †умножени тензора на вектор слева.
Отметим, что при любом порядке расположения сомножителей немые индексы у тензора и вектора всегда являются смежными. Полезно еще отметить тождества Ра=аР', Р'а=аР. (24) Тензор, компоненты которого не зависят от порядка индексов, так что 5„„=5„„(т, и=1, 2, 3), (25) называется симметричным. В его таблице [см. далее (29) ) компоненты, зеркально расположенные относительно главной диагонали, идущей от левого верхнего угла к правому нижнему, одинаковы. Симметричный тензор имеет только шесть отличных друг от друга компонент. Простейшим примером симметричного тензора может служить так называемая «тензорная единица» Е с компонентами, представляющими собой уже встречавшиеся !см.
равенства (5)) символы Кро пеке ра т9 з Б. ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ ТЕНЗОРНОП АЛГЕБРЫ б„„и имеющая одну и ту же таблицу в<о (26) во всех системах координат. В самом деле, из определения тензора по первому способу (!5) следует, что если считать таблицу (26) выраженной в старых координатах, то в новых компоненты Е примут вид бэд =ад а,„б „=ад а,, или, вспоминая (12) (т — немой индекс), 1, если 1=я, О, если 1Фй, что совпадает с (5) (б'дв=бдд). Название тензорной единицы связано с очевидным соотношением Еа= а.
(27) Тензор А, компоненты которого при изменении порядка индексов изменяют свой знак на противоположный, называют антисимметричным, или кососим,иетричным. Имеем А*= — А, А „= — А„, А „=0 (т, н=1, 2, 3). (28) У антисимметричного тензора различных по абсолютной величине компонент только три.
Приводим таблицы симметричного и антисимметричного тензоров; 5дэ = Хзддв ~вз = ~эв Озэ с Одд З = ~зд 5зд = Здз «вв Хзд = хдз Хвв = Звз (29) Авд Адэ = — Аздд, Аэз = Азв Авз О О Ад,— —— < А А„= — Адэ О Азд = — Адэ Азв =— (30) По определению операций умножения тензора на вектор для симметричного тензора 5 и антисимметричного тензора А имеем 5а = а5 = 5'а = а5*, (3!) Аа = аА'= — аА. заметим, что в принятом определении сопутствующего вектора значения индексов в левой и правой частях каждого из этих равенств подчиняются правилу круговой перестановки (1- 2- 3-»1 и т. д.). Название «сопутствующий» подчеркивает, что хотя компоненты вектора с совпадают с тремя из девяти компонент тензора А (включая и нулевые значения А„), но, конечно, ни о каком равенстве вектора с и тензора А не может бьдть и речи: это величины разного рода.
Равенства (32) можно заменить одним с,=е„,А„ (33) Рассмотрим детальнее операцию умножения антнсимметричного тензора А на вектор а справа. Докажем, что из совокупности трех компонент антисимметричного тензора, если их взять в определенном порядке, можно составить так называемый сопутствующий тензору А вектор с с компонентами с,=Азз, с,=АБО с,=А„; (32) ГЛ. Е ПОЛЕ ФИЗИЧЕСКОИ ВЕЛИЧИНЫ го (г-«-з-»4 по правилу круговой перестановки; г, з, 1=1, 2, 3; по индексам в и 1 не суммировать!), если ввести в рассмотрение символы Л е в и - Ч ив и т а, составляющие в совокупности тензор третьего ранга, е„,=с,. (1,Х1,), где 1„1„1, — орты прямоугольных координатных осей, Согласно определению (34) е„„равны нулю, если в числе индексов имеются хоть дви одинаковых, +1, если индексы образуют круговую перестановку, и — 1, если круговая перестановка нарушена.
Примером применения символов Л е в и - Ч и в и т а может служить общая формула для компонент векторного произведения двух векторов (а Х Ь), = е„са,ЬО (35) предполагающая суммирование по повторяющимся «немым» индексам. Имеем (и ХЬ),=е„,а Ь,=е„,а,Ь, + е„,п Ь,=аЬ, — а Ь, и т. д. Докажем, что три величины с, (Ь=1, 2, 3), выраженные через компоненты физического антнсимметричного тензора А по формулам (32) или (33), образуют физический вектор с.
Иными словами, докажем, что если компоненты А,„(1, и=1, 2, 3) удовлетворяют условиям физической объективности тензора, то величины с, (й=1,2,3) удовлетворяют условиям физической объективности вектора (9). Согласно (15) в системе со штрихами имеет место равенство А,, = с, = ае,а„А„ (35) или, в развернутом виде, с,=А,» — (а а, — а„а„)А„+(а,ас — ае,а„)А„+(а а, — а ам)А,е= = (сада»е — а а„) с, + (а„а„— а„а„) с, + (ассам — а„сс„) с,. (37) Возводя определитель таблицы косинусов (1) по правилам умножения определителей') в квадрат и пользуясь соотношениями (12), убедимся в том, что квадрат определителя (с[е1 — символ определителя) равен единице: 1 О О [с[е1 (а»1)[е = с)е1 (6,) = [ о 1 о = 1, [о о а, следовательно, сам определитель равен с[е1 (ам) = +.1, (38) где плюс соответствует случаю сонаправленных систем координат (обе системы правые или обе левые), а минус — разнонаправленным системам (одна — правая, другая — левая). Полагая в (11) последовательно 1=1, 2, 3 при пс=1, получим систему равенств (условия ортогональности систем координат): а„ам + а„сс,е + а„ам = 1, ама11+ ае аде+ ае,агл — — О, (39) сс„а„+ сс„а„+ сс„а„= О, которую можно рассматривать как линейную неоднородную систему уравнений относительно неизвестных аеи ааи аие Замечая, что определитель этой системы, согласно (38), равен единице (знак минус опускаем, так как в дальнейшем будем пользоваться только сонаправлен- ') Ее((аи) с)е1(Ь„) =ее1(с„,), с „=ае,еь»».
5 3 ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ ТЕНЗОРНОЕ АЛГЕБРЫ ными, а именно правыми системами), найдем ее решение: Я11 !233!'233 Яйзайз !'212 !'123!'131 Я 21ЯЗ3 Я12 = ззм Язз — Сзййазм (40) Справа стоят алгебраические дополнения элементов определителя таблицы косинусов я!и янп япп Аналогично можно было бы показать, что любой из элементов опрелелителя таблицы косинусов бе1(яз!) углов между двумя осями координат равен своему алгебраическому дополнению.
Определители, обладающие этим свойством, называют взаимпьсми. Возвращаясь к равенству (37),перепишем его, согласно (40),ввиде С! =Я„С,+Я!зсз+Ядс . (41) Аналогично, пользуясь доказанным свойством взаимности определите- ля таблицы косинусов, выразим остальные проекции с,' н с,' с, = я„с, + я„с, + я,зс„ Сз = Яззсз + Яззсй + Сзззсз (41') или, переходя к векторному представлению, Аа=аХС. (42) Это означает, что при умножении антисимметричного тензора А на вектор а справа совокупность его компонент (32) ведет себя как сопутствующий вектор с в том смысле, что в,результате получается векторное произведение вектора а на сопутствующий вектор с.
Такая эквивалентность антисимметричного тензора сопутствующему вектору при проведении операции умножения, конечно, как уже упоминалось, не означает равенства тензора А вектору с. К формуле (42) можно присоединить аналогичную формулу для произведения антисимметричного тензора на вектор слева аА=СХа. (42') Если ввести в рассмотрение сопряженный, т. е. сопутствующий сопряженному тензору А*= — А вектор с'= — с, то формулы (32) перейдут в следующие: * ° сз = Айз — — Айз сз = А31 = — А31 сз = Ам = — А13 с сохранением круговой перестановки индексов, но с переменой знака чри тензоре А.
Справедливы формулы А'а=сХа, аА'=аХС. Совокупность равенств (4!) и (41'), очевидно, и доказывает физически объективный характер сопутствующего антисимметричному тензору А вектора с. Чтобы показать основное применение сопутствующего тензору А вектора с, составим произведение тензора А на какой-нибудь вектор а, например, справа. Будем иметь по (32) (Аа), = А„а, + А„а, + А„а, = а,с, — а,с, = (а х с)„ (Аа), = А„а, + А„а, + А„в, = а,с, — а,с, = (а х с)„ (Аа),=А31а,+А„а,+А„а,=а,с,— а,с,=(а Хс), ГЛ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
