Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 5
Текст из файла (страница 5)
По свойству взаимной ортогональности осей координат будет !!, если т =1, соз(х,', х') =ама.д =~ ' (! 1) 10, если яда(. Аналогично, выражая косинус угла между осями Ох, и Ох„через косинусы углов с осями системы Ох,'х,'х,', получим !1, если яд=(, соз (хь х, ) = амад (О, если дпФ1. Учитывая (11), получим доказывающее инвариангносгь скалярного произведения а Ь равенство адЬд = асЬ~ = !пч.
(13) (12) Полагая в нем Ь=а, убедимся в инвариантности суммы квадратов проекций адад = а~а, = щч, (14) т. е. квадрата длины (модуля) вектора, а следовательно, и самой длины (модуля) вектора. Имея в виду, что адЬд= а Ь=аЬсоз(а, Ь), где а и Ь вЂ” инварианты, и задаваясь различными векторами Ь, убедимся также в инвариантности расположения вектора а относительно точек пространства.
Роль формул (9) как условий физической объективности аналитического определения вектора очевидна. Что касается формул (7) и (8) перехода от одной системы координат к другой, то они представляют собой частный случай формул (9) применительно к вектор-радиусу г точки М и, следовательно, устанавливают физическую объективность ана- 1 с тензое втового глнгл. дилдл и тензог повоготл литического определения вектор-радиуса точки при помощи ее координат. Обратив внимание на идентичность формул перехода от одной системы координат к другой для самих декартовых координат (7), (8) и для проекций векторов (9), можем сформулировать условия физической объективности аналитического представления векторов: проекции физического вектора при переходе от одной прямоугольной декартовой системы координат к другой должны преобразовываться так же, как координаты.
3 4. Тензор второго ранга. Условия физической объективности его аналитического задания. Днада н тензор поворота Наряду со скалярными величинами, поле которых определяется одной числовой функцией, и векторными величинами с полем, задаваемым тремя числовыми функциями — проекциями вектора на оси координат, в механике сплошных сред используются и более сложные по математической структуре физические величины — тензоры второго ранга. Определение тензора второго ранга можно ввести двумя независимыми друг от друга, приводящими к идентичным результатам способами.
Обобщая понятия скаляра и вектора и условий физической их объективности, определим тензор второго ранга Т в каждой точке трехмерного пространства как совокупность девяти величин Т„(р, у=1,2,3)— компонент тензора, заданных в некоторой прямоугольной декартовой системе координат и преобразующихся при переходе к другой системе координат по формулам (г, з — немые индексы) Тлв алгам7~~ Тгн а~рам7п (р 4 1 2 3) (15) Эти равенства можно трактовать как формулы перехода от одной прямоугольной декартовой системы координат к другой произведения двух координат.
Действительно, хлхд — — ал,х,амх, = ал,амх,»„ хлх, = а,рх,амх, = а„,а„х,х„ что совпадает с (15). Таким образом, согласно первому определению, тензор второго ранга представляет совокупность девяти величин — компонент тензора— преобразующихся при переходе от одной системы координат к другой как произведение двух координат. Второе определение тензора исходит из понятий линейной вектор- функции или линейного преобразования вектора.
Аналитическим выражением того и другого являются равенства (1 — немой индекс, й — свободный) Ь,=Т„,а, (А=1, 2, 3), (16) где а, и Ь,— координаты векторов а и Ь; ҄— коэффициенты линейной вектор-функции или линейного преобразования. Второе определение тензора второго ранга гласит: если в линейном преобразовании (линейной вектор-функции) (16) физическому вектору а сопоставляется также физический вектор Ь, то совокупность коэффициентов преобразования Ти (й, 1= 1, 2, 3) представляет в свою очередь физически объективную величину — тензор второго ранга. В дальнейшем опустим упоминания о ранге тензора, так как тензоры выше второго ранга, как правило, встречаться не будут. Единствен- 16 ГЛ. Ь ПОЛЕ ФИЗИЧЕСКОП ВЕЛИЧИНЫ ным исключением будет тензор третьего ранга Л е в и-Ч и вита (34).
Тензоры обозначаются заглавными курсивными буквами (Р, Я, О и т. д.), а их компоненты теми же, а иногда и строчными буквами с двумя индексами. Так, тензор, представляющий совокупность коэффициентов линейного преобразования (16), может быть обозначен заглавной буквой Т, а для его компонент принимается обозначение Т„. Тензору Т соответствует его матрица (таблица), в которой первым индексом принято обозначать номер строки таблицы, вторым — столбца, Тензор, матрица которого образована транспонированием — изменением порядка индексов на противоположный — матрицы исходного тензора Т, называют сопряженным, или транспонированным, по отношению к тензору Т и обозначают Т". Приведем эти две матрицы: (т ти т1~, ~т, т т, м м м э м 22 м (17) (,тз1 т„т.3 ~,тм т„т„) Условия физической объективности аналитического задания тензора входят в оба его определения. Согласно первому определению требуется, чтобы компоненты тензора прн переходе от одной системы координат к другой преобразовывались как произведения координат.
Согласно второму определению (!6) компоненты тензора должны быть коэффициентами линейного преобразования физического вектора в физический. Покажем, что этн требования вытекают одно из другого. Согласно (9) и (16) имеем Ь,=а,ьйх=а„Тма,=а„Тмаыа, =ама 1Тма„ но по тому же равенству (16), примененному теперь в системе со штрихами, будет Ь, =Т,рар; сравнивая с предыдущим выражением, получим Т,р — — амамТВ1, т. е. соотношение (15). Таким образом, исходя из второго определения тензора Т (16) и условий физической объективности векторов а и Ь (9), мы пришли к первому определению тензора (15), что и доказывает эквивалентность обоих определений.
Принятое определение тензора является физическим, чему н соответствуют условия его физической объективности. Существует также определение тензора как математического объекта с заданныыи свойствами относительно либо преобразования координат, либо выражения линейной вектор-функции. В настоящем курсе тензоры рассматриваются только в прямоугольных декартовой или криволинейной системах координат, что позволяет пользоваться лишь одними нижними индексами в обозначении компонент тензора.
Рассмотрим два характерных примера для каждого из указанных только что определений. Составим нз проекций а, (й= 1, 2, 3) и Ь, (1= 1, 2, 3) двух физических векторов а и Ь совокупность девяти величин с(„,=а„ЬЛ Пользуясь формулами (7), легко показать физическую объективность этих произведений попарно взятых проекций векторов. Действительно, согласно этим формулам с(ы = аьЬ1 = ал а а1лЬл — — алыа1.атйл — — аь.аыг(~.
Полученные равенства совпадают сусловнями Физической объективности тензора Р, аналитически заданного своими компонентами а„„= Ь 4. тензОР ВТОРОГО РАНГА. ДнАДА н тензОР НОВОРОГА !7 =а Ь„. Тензор 0 носит наименование диадьз, илв мультипликативного тензора, образованного из двух физических векторов а и Ь; образова- ние диады обозначают следующим образом: 0 =аЬ. (18) Таблицы (матрицы) тензора 0 н сопряженного с ним тензора 0' будут /азьз азЬз азьз'! !'азьз азьз авьз'! (19) азЬз авЬз азЬв азьв азЬз азЬв Выражение, стоящее в правой части (18), называют еще иногда диадным произведением двух векторов; напомним, что скалярное про- изведение а.Ь=Ь а является скаляром, векторное произведение аХ Ь= = — ЬХа — вектором, диадное произведение аЬ вЂ” тензором, причем 0'= (аЬ) '= Ьа. (20) Простейшими примерами диады могут служить координатные диа- ды, представляющие диадные произведения единичных координатных векторов — ортов з'„, зь Подобно тому, как вектор а может быть пред- ставлен разложением а=а,з„, так же и тензор Т разлагается по коор- динатным диадам Т=Т„(з(ь в чем легко убедиться, выписывая компо- ненты обеих частей этого равенства и замечая, например, что (О 1 О'з С11в ~О о о), О О О Т,з= (ТзФз11) зз= Тзз н т.
и. Таково, например, разложение диады общего вила по координатным диадам. В качестве другого примера, иллюстрирующего второй способ опре- деления тензора, рассмотрим тензор 6 с матрицей, составленной из ко- синусов углов между двумя различными системами координат /азз азз авз'! (21) ап авз азз Нет необходимостидоказывать физическуюобъективность аналити- ческого задания тензора 6 его компонентами а„, так как они являются коэффициентами преобразований (7) и (8) физического вектора г в другой также физический вектор т', или же преобразований (9) любого физического вектора а в физический вектор а'.
Систему координат Ох,'х,'х,' можно рассматривать как результат такого поворота системы Ох,х,х„при котором одноименные «старые» и «новые» оси совпадают. При этом любой вектор, закрепленный в си- стеме Ох,х,х„совершит вместе с нею поворот в пространстве. Покажем, что произведение тензора 6 (21) на произвольный вектор а, жестко свя- занный с Ох,х,х„выражает поворот этого вектора в пространстве вме- сте с системой Ох,х,х,.
Имеем по (21) (определение произведения тен- зора на вектор см. далее в 9 5) (6а),=6ча,=а„ай или, согласно первому равенству (9), (6а) з — — а,'. Полученное равенство, содержащее в левой части 1-ю проекцию преобразованного умножением на 6 вектора а в системе Ох,х,х„а в пра- 18 гл. ь поле ьнзическои величины вой — одноименную проекцию а,' исходного вектора а в системе координат Ох,'х,'х,', говорит о том, что результат умножения вектора а справа на тензор 6 представляет собой тот же вектор а, но повернутый в пространстве как одно целое с системой координат Ох,х,х,. Такая ин терпретация вектора 6а позволяет дать физическому тензору 6 наименование тензора поворота. В дальнейшем мы встретимся с различными тензорами, причем в большинстве случаев определение их будет связано с понятием линейной вектор-функции (или линейного преобразования) двух физических векторов друг в друга, иными словами, соответствовать второму способу определения физического тензора.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
