Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 4
Текст из файла (страница 4)
ао ВВЕДЕНИЕ й 2. Краткие сведения о молекулярной структуре вещества В зависимости от количественного соотношения между кинетической энергией движения молекул и потенциальной энергией межмолекулярного силового взаимодействия возникают различные молекулярные структуры и разновидности внутреннего движения молекул. В твердыхтелпх основное значение приобретает молекулярнаяэнергия взаимодействия молекул, вследствие чего молекулы располагаются в правильные кристаллические решетки с положениями устойчивого равновесия в узлах этой решетки. Тепловые движения в твердом теле представляют собой малые колебания молекул относительно узлов решетки с высокой частотой (порядка 10" Гц) и амплитудой, пропорциональной расстояниям между узлами решетки.
В молекулярной структуре твердого тела обеспечиваются как «ближний», так и «дальний» порядки. К твердым телам относятся также вещества в аморфном состоянии, не имеющие кристаллической структуры, но обладающие «ближним» порядком, во многом схожим с таковым в жидкостях (см. далее). Аморфные состояния мало устойчивы и легко переходят в кристаллические. В противоположность твердому телу, в газах отсутствуют как ближний, так и дальний порядки. Молекулы газа совершают беспорядочное движение, причем взаимодействие их сводится только к столкновениям. В промежутках между столкновениями взаимодействием между молекулами пренебрегают, что соответствует малости потенциальной энергии силового взаимодействия молекул по сравнению с кинетической энергией их хаотического движения. Среднее расстояние между двумя последовательными столкновениями молекул определяет «длину свободного пробега».
Скорость «пробега» молекул сравнима со скоростью распространения малых возмущений (скоростью звука) в данном состоянии газа. Жидкие тела по своей молекулярной структуре и тепловому движению занимают промежуточное положение между твердыми и газообразными телами. По существующим воззрениям вокруг некоторой, приобретающей роль центральной, молекулы группируются соседние молекулы, совершающие малые колебания с частотой, близкой к указанной ранее для колебаний молекул твердого тела в решетке, и амплитудой порядка среднего расстояния между молекулами.
Центральная молекула либо (при покое жидкости) остается неподвижной, либо мигрирует со скоростью, по величине и направлению совпадающей с местной средней скоростью макроскопического движения жидкости. В молекулярной структуре жидкости потенциальная энергия взаимодействия молекул сравнима по порядку с кинетической энергией их теплового движения; при этом обнаруживается ближний порядок, но отсутствует дальний. Доказательством наличия колебаний молекул в жидкостях служит известное «броуновское движение» мельчайших твердых частиц, внесенных в жидкость.
Колебания этих частиц легко наблюдаются в поле микраскопа и могут рассматриваться как результат соударения твердых частиц с молекулами жидкости. Различие в молекулярной структуре и тепловых движениях твердых, жидких и газообразных тел наглядно обнаруживается в явлении диффузии, заключающейся в распространении одного вещества (включения) в другое (носитель). Диффузия одного газа в другом (например, распространение запаха в воздухе) благодаря интенсивному молекулярному движению приводит к быстрому проникновению запаха в самые удаленные уголки помещения. Наоборот, диффузия жидкости в жидкости из-за слабой миграции центральных молекул, связывающих группы молекул, происходит значительно медленнее. Ярким примером 4 2.
КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ О МОЛЕКУЛЯРНОЙ СТРУКТУРЕ ВЕЩЕСТВА 14 может служить исторический опыт Р е й н о л ь д с а, вводившего в спокойно движущийся (ламинарный) поток воды сквозь цилиндрическую грубу тонкую струйку красящего вещества. Струйка вдоль почти всего рабочего участка трубы не меняла заметно свою толщину, что говорит о медленной молекулярной диффузии, присущей ламинарному движению воды. При переходе к турбулентному режиму течения, когда молекулярный механизм диффузии заменяется турбулентным перемешиванием конечных макрообъемов жидкости, возникает интенсивная турбулентная диффузия, и красящее вещество быстро заполняет весь поток. Заметим, что явление диффузии, хотя значительно более слабое, чем в жидкостях, имеет место и в твердых телах. Два плотно притертых друг к другу образца из разных металлов спустя длительное время обнаруживают взаимное проникновение молекул.
Задачи астрофизики, связанные с изучением ионосферы, «звездных облаков» и других астрономических объектов, и особенно разнообразные физико-технические проблемы создания термоядерных реакторов, магнитогидродинамических генераторов для прямого преобразования тепловой энергии в электрическую заметно повысили интерес к вопросам динамики ионизованных газов (плазмы). В отличие от обычных электронейтральных газов, в которых силовое взаимодействие хаотически движущихся молекул проявляется лишь при их взаимных соударениях, в плазме благодаря высокой концентрации заряженных частиц возникают гораздо более существенные кулоновские взаимодействия. Это придает плазме особые свойства, в частности повышенную электропроводность, наиболее заметно проявляющиеся при воздействии на плазменные потоки внешних электрических и магнитных полей.
Исключительные по своему физическому значению и прикладным возможностям и вместе с тем весьма специфические свойства, которыми обладает плазма, привели к представлению о ней как о четвертом (после твердого, жидкого и газообразного) агрегатном состоянии вещества '). ') Подробный очерк о свойствах плазмы и явлениях в ней можно найти в статье Б. Б. Кадомцева «Плазма» (Физ. знцнкл.
слов. Т. 4.— Мл Сов. энциклопедия, 1985, с. !5 — 24). См. также разделы 1.3 и 1.4 в монографии; Л у кь я н о в Г. А. Сверхзвуковые струи плазмы.— Лл Машиностроение, 1985, с. 18 — 21 и приведенный в ней список литературы. ГЛАВА! ПОЛЕ ФИЗИЧЕСКОЙ ВЕЛИЧИНЫ. УСЛОВИЯ ФИЗИЧЕСКОЙ ОБЪЕКТИВНОСТИ ВЕЛИЧИН, 3АДАННЪ|Х АНАЛИТИЧЕСКИ. ОСНОВНЪ|Е ОПЕРАЦИИ ПОЛЯ $3. Скалярные н векторные поля. Условия физической объектнвностн заданных аналитически скалярных и векторных величин Полем физической величины (скорости, ускорения, давления, плотности, температуры и т.
д.) называют совокупность значений этой величины, однозначно определенных в каждой точке некоторой части пространства. Могут существовать скалярные, векторные и, как мы далее увидим, тензорные поля в зависимости от рода той величины, распределение которой задается полем. Если во всех точках поля скалярные, векторные или тензорные величины имеют одно и то же значение, то поле называется однородным, в противном случае — неоднородным. Поля физических величин могут не изменяться с течением времени — быть стационарными, а могут изменяться — быть нестационарными. Поле скалярной величины ф (например, температуры, давления, плотности) аналитически задается в виде функции координат точек поля и времени (» †текущ вектор-радиус точки М пространства) ф=ф(х, у, г; 1) =ф(М; 1) ф(»; 1).
(1) Время здесь рассматривается как параметр, отмечающий отдельные моменты, к которым относятся поля, если они нестационарны, и может быть опущено, если поля стационарны. Поле векторной величины а (скорости, ускорения, силы и т.п.) задается векторной функцией координат точек М и времени а = а (х, у, г; 1) = а (А(; () = а (»; 1) (2) или тремя проекциями вектора а а„=а.(х, у, г; 1), а„=а„(х, у, г; 1), а,=а,(х, у, г; (). (3) Для сокращения объема записи будем часто пользоваться, взамен буквенной, числовой индексацией координат и проекций векторов, полагая у=ха а=ха, а„=а„а„=а„а,=а„ и писать вместо (3) а,=а,(х„х„х,; 1) (1=1, 2, 3). Кроме того, следуя приему, указанному Эйнштейном, будем опускать знак суммы 'Я перед суммируемымн одночленамн, если индекс, по ко- торому производится суммирование, повторяется в одночлене два раза.
Так, например, з с,=~ч' а,ум=а,йм (й=1, 2, 3), з з ~~,='Я ',~~~ амй,„с,„=аый,„с, (р, а=1, 2, 3). 1=1 го=1 Повторяющиеся два раза индексы, по которым производится суммиро- !з 3 3. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ наине, называют «немыми»; их обозначения можно в процессе вычисле- ния менять: с«=а,Ьз,=а„Ь„, (й=1, 2, 3). Остальные индексы (как, например, к в предыдущей формуле) сохраняются в каждом данном процессе вычисления неизменными — их называют «свободными».
Напомним необходимые для дальнейшего формулы аналитической геометрии, выражая их в принятых только что обозначениях. Рассмотрим две системы прямоугольных декартовых координат: Ох,х,х, и Ох,'х,'х,' (рис. 1), имеющих общее начало в точке О, ио как угодно повернутых друг по отношению к другу.
Обозначим косинусы углов между «новыми> (штрихованными) и «старыми» осями через а„согласно таблице «з хз хз а11 азз аюз х,' азю аа азз (1) хз азз азз азз Каждой системе координат сопоставим свою совокупность единичньюх векторов, направленных по осям координат и называемых базисом коорди- Рис. ! натиой системы. Таких базисов в данном случае два: ю'„1„ю, и ю',', 1«', ю,'. Вектор-радиус Г точки М можно разложить по этим базисам, положив Г =хю1ю+ хз1»+ хз1з =х«1з + хз1з+ хз1з (4) Умножая скалярно обе части этого равенства последовательно на 1ь ю„ю, нли на 1,', ю',', 1,', вспоминая, что 11, й=1, 1,-1,=1,' 1,'=б„,:=~1 10, й+1, н замечая еще, что, согласно таблице (1), (5) 1» ° 1ю = азг, (б) получим следующие формулы преобразования «старых» координат х„ х„х, в «новые» х,', х,', х,': хз=ссз,х, + аззх, + аззх,=амхю (Й=1, 2, 3) или, наоборот, «новых» х,', х,', хз' в сстарые» х„х,, х,: хз = ссых, + а,зх, + а,зх, = амхг (1г = 1, 2, 3).
(3) Учитывая, что проекции вектора а на оси координат а„а„а, или а,', а,', а,' определяются разностями координат конца и начала отрезка. изображающего вектор, заключим, что формулы для проекций вектора при переходе от одной системы координат к другой будут иметь аналогичный вид аз=ссыпь аз=а,заг (1г=1, 2, 3).
(9) Заметим, что формулы (9) справедливы только в ортогональных системах координат, которые за редким исключением и используются ниже. ГЛ. Ь ПОЛЕ ФИЗИЧЕСКОЙ ВЕЛИЧИНЫ Условимся называть физически объективными величины, в силу своей физической сущности не зависящие ог выбора системы координат, в которой они аналитически представляются. Так, например, физический скаляр (температура, давление, плотность идр.), заданный своим полем, т. е. функцией координат гр(х„х„х,), должен быть инвариантом, удовлетворяющим равенству ф (Хп Хд, Хд) =' т' (Хд Х Хд) = УЪЧ в котором подразумевается, что наборы «старых» и «новых» координат соответствуют одной и той же точке пространства.
Аналогично, вектор, заданный тремя своими проекциями а„(х„х„х,) (Ь=!, 2, 3) или в другой системе координат проекциями а„'(х,', х,', х,') (Ь= 1, 2, 3), чтобы представлять физическую величину, должен не зависеть от выбора осей координат. Чтобы найти условия физической объективности векторной функции а, докажем сначала, что скалярное произведение а Ь=а,Ь„где а, и Ь„ удовлетворяют формулам перехода (9), не зависит от выбора направления осей координат, в которых эти сомножители определены, т.е. является инвариангом. Согласно (9) имеем (й — немой индекс) адйд = а,да~а дЬ = а~да да~Ь . (10) Стоящее справа сомножителем выражение сида „представляет собой, согласно известной теореме аналитической геометрии, выражение коси- нуса угла между осями Ох,' и Ох ' через косинусы углов этих осей с осями системы Ох,х,х,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
