Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 7
Текст из файла (страница 7)
!. ПОЛЕ ФИЗИЧЕСКОИ ВЕЛИЧИНЫ Принятая операция умножения вектора на тензор аТ или тензора нв вектор Та не исчерпывает многообразия возможных операций такого рода. В несколько других обозначениях, чем принятые у нас, рассматривают следующие операции: 1) внешнее произведение аТ, приводящее к тензору третьего ранга, представляемому разложением по координатным «триадам» (,1,1„ (далее сохраняется правило суммирования по дважды повторяющимся в одночленах индексам от ! до 3): (44) аТ= (зз,з„азТ,„; 2) внутреннее произведение а Т, дающее вектор, разложение которого по единичным векторам з„ имеет вид а Т=а„Т,„з„, (45) совпадающий с принятым у нас ранее аТ; 3) векторное произведение ах Т, приводящее к тензору второго ранга со следующим разложением по координатным диадам: аХ Т= (йзХ1) 1„а,Т,„=з„(„е„„азТ,„, $6.
Разложение тензора на симметричную и антнсимметричную части. Инварианты. Разложение тензора на сферическую и девиаторную части Пользуясь приведенными в предыдущем параграфе простейшими операциями над тензорами, покажем, что тензор Р второго ранга общего вида может быть разложен на симметричную и антисимметричную части. Это непосредственно вытекает из тождества Р вв — (Р + Р') + — (Р— Р') = Я + А, (47) 2 2 1ДЕ 3= — (Р+ Р') = — (Р'+ Р) =Я' (48) представляет симметричную, а А = — (Р— Р ) = — — (Р' — Р) = — А' 1 1 2 2 (49) 1 ! 2 — (Ри -!- Р„! — (Рзз + Ри) 2 Ри 1 2 ! 2 Рзз ! 2 — !Рзз+ Р«з) 1 2 (Рзз + Рзз) ! ! 2 — (Рзз — Рзз) — (Рм — Рзй 2 1 2 — (Є— Р„) 1 „(Рзз Рзз) 1 2 — (Рзз — Рзз! 1 2 — (Рзз — Рм! — антисимметричную части тензора Р.
Запишем матрицы симметричной и антсимметричной частей тензора Р: 23 3 6 РАзлОжение тензОРА Сопутствующие антисимметричной части тензора Р векторы с и с' будут иметь компоненты 1 ! с! = — Е„1 (Р,! — Ри), с„= — е„1 (Р1, — Ри) или, в развернутом виде, ! 1 1 с1 (У 21 Р32) с2 (У 31 1 12) ЕЗ (~ 12 Р21) 2 2 2 ! 1 ! С (~ 32 Р21)! с1 (У 13 Р31) 13 (~ 21 Р12) 2 2 ' 2 Если тензор Р представляет диаду аЬ (а этот случай в дальнейшем встретится), то проекции сопутствующего вектора с для антисимметрич- ной части в разложении диады аЬ будут равны с„=е„,а3Ь, (! =1, 2, 3), 1 1 1 с, = — (а,Ь, — а,Ь,), с, = — (О,Ь, — а,Ь,), с, = — (а,Ь, — а,Ь,), откуда следует, что с=- — (а ЖЬ), 1 2 (50) Доказательство инвариантности не составляет труда.
Имеем в новой системе координат У1=РАА=амаь Р1 =б! Рь«=Уи здесь применено известное по предыдущему равенство (1, если т=1, аман =б!3= ! О, если т~й Вторым инвариантом У, тензора Р называют скалярное произведение тензора на сал1ого себя, обозначаемое условно как квадрат теизора, и равное сумме квадратов всех компонент тензора 2 У,=Р „Р „=Р', (52) Третьим инварпантом У, тензора является определитель его матрицы Р11 Р12 Р13 У,= ЄРР=г(е1(Р.„). Р31 Р32 Р33 Пользуясь первым инвариантом, можно составить тождество Р— = У,Е+(Р— У,Е) =Роч+ Р'", (53) представляющ е разложение тензора Р на сферическую Р"=У,Е т.
е. сопутствующий вектор антисимметричной части диады равен половине векторного произведения векторов, образующих диаду. Из компонент любого тензора Р можно составить три скалярных выражения, пнвариантных к преобразованию координат. Их называют инвариангами тензора. Первый инвариант У, («след») представляет сумму диагональных элементов матрицы тензора У! У !!+1 23+~ 33 ГЛ.
Ь ПОЛЕ ФИЗИЧЕСКОЙ ВЕЛИЧИНЫ н девиагорную Р'"=Р— 7,Е части. Матрицы этих частей имеют вид Р" о,гд 0 чв ( Ри — уд Рм Рдз Р' Рм Рзз — Хд Рзз Рзд Рзз Рзз — уд/ (54) (55) Тензор Р", обладающий сферической снмметрчей (нзотропней), называют сферическим, нлн шаровым, тензором. Из изложенных двух способов разложения тензора на составляющие наибольший интерес для последующего представляет разложение тензора на симметричную и антнснмметрнчную части, причем (вспомнить (42) н (42') ] произведение вектора на антнснмметричнуючастьтензора справа нли слева выражается векторным произведением этого тензора на сопутствующий антисимметрнчному тензору вектор с, так что Ра =5а+Аа =5а+ а хе, (56) ар = а5+ аА =5а + сх а. $7.
Главные осн н главные значення снмметрнчного тензора Среди всевозможных осей систем координат существуют такие — их называют главньдми осями симметричного тензора,— что после линейного преобразования, соответствующего данному тензору, векторы, расположенные по этим главным осям, сохранят свои направления в пространстве. Обозначим через е единичный вектор какой-нибудь главной осн заданного симметричного тензора 5 и подчиним его условию сохранения направления после преобразования (Л вЂ” скаляр, Š— тензорная единица). Это условие можно записать в виде любого нз двух эквивалентных равенств 5е=Лв, (5 — ЛЕ) в=О, (57) что в раскрытом виде приводит к системе уравнений относительно е„ е„ез (5„— Л) е, + 5„е, + 5„е, = О, 5дзг, + (5зз — Л)ез+ 5з,е,=О, (58) 5дзгд + 5ззгз + (5зз " Л) гз = О.
Система эта с неизвестными е„в„е, однородна н имеет тривиальное нулевое решение, не согласующееся с очевидным условием г, + е', + езз=1. (59) Для существования нетривиальных решений системы уравнений (58) должно, как известно, выполняться условие равенства нулю определителя этой системы ьдд — Л ьдз ьдз (60) ьдз ьдз ьзз — Л Кубическсе уравнение (60) называется характеристическим, а его корни — собственными числами матрицы 5. В общем случае оно имеет три не равных между собой корня Л'", Л"', Л"', и каждому из этих корней соответствуют свои значения единичных векторов: е<", е"', в'". $ е ГлАВные Оси и ГААВны~ знАчения симметРичнОГО тензОРА 25 Докажем сначала, что эти векторы взаимно ортогональны.
Воспользовавшись (67), будем иметь равенства (5 — Л«'Е)е'О=О, (5 — Л"'Е)е'"=О, (5 — Л'"Е)е'"=О, (6!) Умножив скалярно обе части первых двух из этих равенств соответственно на еил и е«', найдем е"' (5е«)) =Л«)е'О еич е<о. (5егм) =Л"'е«) е«), (62) Замечая, что в силу симметрии тензора 5 и вычитая почленно друг из друга левые и правые части равенств (62), получим О=(Л Л')е Отсюда, в силу принятого условия неравенства корней характеристического уравнения Л«' и Л«', следует оргогональносгь векторов е«' и е'". Аналогично показывается ортогональность еги и е'", а тем самым и взаимная ортогональность всех трех векторов е'", е"', е'". Докажем теперь, что все не равные корни вещественны.
Пусть, например, Лгн и Л«' — комплексные и при этом сопряженные числа. Тогда и соответствующие нм проекции е "' и е„'", где я=1, 2, 3, должны были бы иметь вид сопряженных комплексных чисел )н «) е =р„+т ), е =р„— а сумма их произведений (суммирование по т) «) «) е,„е =р,„р,„+А„р, (5е""') еьч=-Л' )е) ) . еы) =Л' '6 „, где, напоминаем, 6 „— компоненты тензорной единицы. Если штрихом обозначить компоненты симметричного тензора 5 в главных осях, то на основании последнего равенства будет Л, если н=)п, ) О7) „=л О, если п4=7п, (66) что и доказывает высказанное положение о равенстве нулю недиагональных членов, а главным значениям — диагональных членов.
Матрица симметричного тензора в главных осях имеет вид 5' О Л)и 0 (64) как сумма квадратов, была бы больше нуля; однако эта сумма представляет собой не что иное, как скалярное произведение ец) е'", которое, по только что доказанному, равно нулю. Таким образом, доказана вещественность всех трех корней Л«', Л«), Л"'. Покажем, наконец, что если принять за оси координат три главные оси, соответствующие ортам е«', е"', е«', то недиагональные компоненты симметричного тензора 5 будут равны нулю, а диагональные — корням характеристического уравнения Л'", Л«', Л"', которые называются главными значениями симметричного тензора 5.
Из равенств (67) следует (по н) не суммировать!) 5е)т)=Л< )ео") > Гл !. Поле Физичкскои Величины В случае кратности корней характеристического уравнения, например Х!о=ко!, только третья главная ось, соответствующая единичному вектору е"', будет иметь определенное направление в пространстве, остальные две будут расположены в плоскости, перпендикулярной к третьей оси, и положение их будет определено в пространстве с точностью до произвольного поворота вокруг третьей оси.
В случае равенства между собой всех трех корней (Хо! =Х"! = =Х"'=к) симметричный тензор' 5 будет обладать свойством изотропии диагональных компонент, т. е. независимостью их от направлений осей координат. Такой тензор, как уже упоминалось, называют шаровым,или сферическим. Он определяется как произведение Х на тензорную единицу, а его матрица имеет вид око=)о1о=АЕ. (65) Выражение первого инварианта симметричного тензора 5 в главных осях будет У! =1 о'+ки'+ ).и!, У Р !!!) ! + ()„[а!) ! 1 Р <з!) ! (66) второго— (67) третьего— Х =)РЪ!!!)!"! 3 2) векторное произведение двух тензоров: (РХЯ)!=е, „Р Й,„=РЯ,„— Р„Д„.; (70) здесь пт, и, з — «немые» индексы; 1 и й следуют за ! в порядке круговой перестановки ! — 1' — й 1- ...; 3) тензорное произведение двух тензоров: (Ра) ч=р!Д.
(в — «немой» индекс, !, 1=1, 2, 3). (71) Отметим некоторые частные случаи и, прежде всего, формулу Р. Е = Е Р = Р„= Р„+Р„+ Р«ь (72) Правая часть является первым инвариантом тензора Р. При скалярном умножении тензора Р на самого себя получим Р Р=Р-Р =Р'= ~Р~' (73) т. е. квадрат тензора Р. Это — второй инвариант тензора Р. Из второй операции следует (!-»1-+4~-...; суммирование по индексу в): (РХЕ),= Рнń— Р„Ев —— Рм — Рек (74) (68) Наряду с широко распространенными операциями сложения (вычитания) тензоров, умножения их на скалярную величину или на вектор справа или слева, нам придется, хотя и реже, встречаться с операциями умножения друг на друга двух тензоров; последние операции мы отделили от предыдущих и поместили в конец настоящего, заключающего тензорную алгебру, параграфа.
Эти операции — их три — в соответствии с родом получаемого результата (скаляра, вектора или тензора) определяются и именуются так: 1) скалярное произведение (свертка) двух тензоров: Р Я =РЯ,! (!, / — «немые» индексы); (69) 27 $8. ПРОИЗВОДНАЯ ПО ЗАДАННОМУ НАПРАВЛЕНИЮ й 8. Производная по заданному направлению. Пространственные производные в скалярном, векторном и тензорном полях Поскольку подробное изложение основ векторного анализа преду. смотрено рядом общих курсов, приведем здесь лишь некоторые наиболее необходимые для дальнейшего сведения. В первую очередь дадим опре. деление производной по заданному направлению, а затем и общей пространственной произ- Хо водной. ~8 Зададим в пространстве некоторую ось ! и $ введем прямоугольную декартову систему координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
