Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 34
Текст из файла (страница 34)
хп Оопгпнеп, 1860 (русский перепоя: Раман Б, Сочинения. О распространен~ и плоских носи г.онечнон амплитуды.— М. Гостехиадат, 1948, гл. ХХ1). рит о сохранении величины т.+и в точке, движущейся со скоростью и+ +а, и величины Ух — и в точке, движущейся со скоростью и — а. Величины «=гр+и, э=У вЂ” и (86) Гл.
Гн ОдномеРный пОтОк идеАльнОГО ГАЗА 146 ния общего характера процессов, описываемых уравнениями (84), так и для интегрирования этих уравнений. Кривые С, и С, представляют собой так называемые характеристики системы (84), а направления касательных к ним (88) — характеристические направления.
Напомним, что в случае линеаризованной (а ас Рис. 42 Рис. 43 задачи ($ 32) уравнения характеристик были известны в конечной форме; это были семейства прямых х+а(=сонэ(, х — ас =сонэ(. Математическому понятию характеристик в плоскости (х, () как раз и соответствуют введенные ранее понятия волн как плоскостей, движущихся со скоростями и+а н и — а н несущих значения инварнантов Римана г н з. Предположим, что нам задано некоторое начальное распределение скорости и(з) и параметров газа р(з), р(з), а(з), а следовательно, н У(е) вдоль некоторой кривой 5 (рис.
43), направление касательных к которой не совпадает с характеристическими направлениями. В част. ном случае это может быть заданием начальных условий при Г=О, т.е. на оси Ох, илн граничных условий на прямых, параллельных оси Об Определив по (88) угловые коэффициенты кривой С, в точке А и кривой С, в близкой точке В по формулам (Яй,л= ~ — ) =ил+ил. 408~в= ~ — ) =ив — ав, слет с нет ГА ) проведем через эти точки соответствующие характеристические направления и построим малый треугольник АА,В. На отрезке АА, характеристики С, сохраняется первый инвариант Г, т.
е. УА~ + ил~ = Ул + иА, а на отрезке А,В характеристики С,— второй инвариант з, так что УА, — ил, = Ув — ив. Из полученной системы равенств находим 1 УА, — — (З А + Г4А + Саа ии). 2 4 43. НЕСТАЦИОНАРНОЕ ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА 447 ! ссл, = — (о л + ил — УВ + ив), (89) Прн этом второе уравнение системы (84) выполнится тождественно, а первое, переписанное в виде — +(и+ а) — =О, ди ди дС дх (90) показывает, что волны семейства С, несут постоянные значения скорости и.
Согласно (89) постоянными будут также значения функции У, а следовательно, и параметров газа р, р и а. Отсюда следует, что абсолютная скорость распространения волны и+а и скорость ее по отношснию к газу а сохраняют постоянные значения в данной волне, т. е вол- ка простая. Из принятого условия и)0 н равенства (89) заключим, что У)0, а по (83) р)р„т. е. возмущения, переносимые волнами первого семейства, соответствуют сжатию газа, а сами волны можно назвать волнсслси сжатия. Точно так же, сделав предположение о сохранении во всей области течения н во времени инварианта с=У+ и, т.
е. положив У+ и= сопз(= О, (91) где константа выбрана равной нулю из тех же соображений, что и в предыдущем случае, убедимся, что при этом второе уравнение системы (84) перейдет в следующее: ди ди — + (сс — а) — = О, дС дх (92) а следовательно, и р„и р.„, алс Повторяя такое же рассуждение относительно треугольника ВВ,С, построенного по значениям угловых коэффициентов характеристики С, в точке В и характеристики С, в точке С, найдем значения и,, и А, в точке В„а следовательно, и р,„р,, и а,, Это позволит наметить направления характеристик в точках А, и В„построить треугольник А,А, В, и, по предыдущему, определить значения и и .У в точке А,, а затем в точках А„В, и т.
д. Задаваясь достаточно густым делением кривой 5 в точках А, В, С и т. д., найдем значения неизвестных функций и, р, р, а в сколь угодно близких друг к другу точках плоскости (х, Г). Обратимся теперь к более детальному рассмотрению вопроса об одномерном распространении в идеальном газе возмущений конечной интенсивности. Покажем, что, подобно тому как это имело место в случае малых возмущений, распространение конечных по величине возмущений также может происходить при помощи простых волн (9 32), т. е. волн, бегущих с постоянной скоростью и несущих с собой постоянные значения параметров газа. Такого рода распространение возмущений конечной интенсивности будет иметь место, если один из инвариантов Римана постоянен во всей области течения, для чего, очевидно, достаточно, чтобы этот инвариант был постоянным в начальный момент времени (прн 1=0, вдоль оси Ох).
Возможность такого рода допущения будет вскоре пояснена и проиллюстрирована примером. Пусть для определенности постоянен второй инвариант В=У вЂ . Полагая р=р, при и=О и вспоминая определение 9', данное последней из формул (83), будем иметь во всей области течения и в любой момент времени ГЛ. Рь ОДНОМЕРНЪ|я ПОТОК ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА с другой стороны, а'=й Р =сопз1 р» ', Р н, вычисляя логарифмический дифференциал, найдем а'Р 2 аа р я — а так что »(ок = — |(а, У = — (а — а,), 2 2 Л-1 ' » — 1 (94) где значок нуль, как и ранее, относится к параметрам покоящегося газа (и=О), а постоянная интегрирования выбрана в согласии с определением У (83). Подставляя полученное значение У в (89), найдем а — ! а+1 а=а, + — и, и+а=а + — и.
2 2 Из этих равенств непосредственно следует, что для волн первого семейства С, чем больше скорость и возмущенного движения газа, тем больше скорости и+а абсолютного и а относительного распространения волны. Но, согласно (89), большей скорости движения соответствуют н большие значения У, а вместе с тем давления р н плотности р возмущенного газа, так как по определению функции У вЂ” '=р >9, — "= — >О. аР вР а'9' аэ' Таким образом, абсолютная и относительная скорости распространения волн первого семейства (волн сжатия) тем больше, чем больше переносимые имн интенсивности возмущений. Для волн второго семейства С, — волн разрежения — будем иметь, согласно (91) и (94), »-~- ! и — а= — а»+в 2 а †! а=а — — и, 0 2 (96) т. е.
в волнах второго семейства С„так же как и в волнах первого семейства, скорость и сохраняет свое значение, а по (91) сохраняются У, р, р и а. Итак, при выполнении условия (91) второе семейство С, также представляет собой совокупность простых волн с абсолютной скоростью распространения и — а и со скоростью а по отношению к газу, направленной в сторону, противоположную движению газа.
Согласно (91) и условию и)0 заключим, что волны второго семейства представляют собой волны разрежения. В отличие от случая малых возмущений, рассмотренного в $32, где все простые волны имели одну и ту же по величине скорость распространения, равную скорости звука в невозмущенном газе, в разбираемом сейчас случае простых волн, несущих конечные по интенсивности возмущения, скорости распространения по отношению к газу, равные по абсолютной величине местной скорости звука, не одинаковы для различных волн данного семейства.
Легко убедиться в том, что в случае возмущений конечной интенсивности абсолютная и относительная скорости распространения простых волн первого семейства С, тем больше, чем интенсивнее переноси. мые ими возмущения. Для этого выразим У через а, предполагая для определенности движение изэнгроп|»ческим. Имеем в этом случае Г(У = — »(У = — |(р = — — — = а —; 1 ! ! арар ар (93) а Ра аарр Р 4 ЛЗ. НЕСТАЦИОНАРНОЕ ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА 149 С увеличением разрежения, т. е. абсолютной величины разности р — р„ будет, согласно (83), увеличиваться и абсолютное значение функции У, так что по (91) увеличится и скорость движения газа и. Из первого равенства системы (96) заключим, что при этом скорость а распространения волн разрежения относительно газа будет уменьшаться, а абсолютная скорость увеличиваться.
Отсюда следует основное отличие явления распространения конечных возмущений от распространения л1алых возмущений: начальная форма распределения возмущений не сохраняется. Рис 44 (и,+а)(Г,— 1,)=(аь+ ~ и,)(1,— 1,) (97) н, следовательно, тем большие, чем больше ординаты и, кривой и,(х). С течением времени уклон кривой будет продолжать возрастать, пока в некоторый момент времени Г=г„в одной из точек кривой касательная не станет перпендикулярной к оси Ох, а производная и„'(х) бесконечной. В дальнейшем при 1)1 верхние точки кривой распределения скоростей должны были бы обогнать нижние, а кривая — приобрести фориу, показанную ца рис. 44 крайней справа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
