Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Ь а, ае Но, по только что доказанному, скорость возмущения У' имеет при балмпвх 1ч', порядок 1ггчь', тогда как элемент интегрирования до,— порядок )Р,а. Устремляя 7Р, к бесконечности, убедимся, что главный вектор р сил давления потока на тело стремится к нулю. Но г' не может зависеть от произвольного радиуса гча мысленно проведенной сферы; следовательво, главный вектор г' равен нулю, что и доказывает парадокс даламбера: при безвихревом стационарном обтекании тела конечного размера идеальной несжимаемой хидкостью и отсутствии вокруг тела источников либо стоков главный вектор сил давления потока на тело равен нулю.
Парадокс Даламбера справедлвв для тел конечных размеров, агрввиченных замкнутой поверх- нытью. Главный вектор сил давле- Рис. 123 ввв потока на тело, распространявптееся до бесконечности, например иа полутело (рнс. 123), зависит от закона возрастания ширины сХ сечения этого полутела с увеличением расстояния г до бесконечности.
Так, сопротивление полутела с поперечным размером сечения, стремяяпися к конечной величине прн удалении на бесконечность, например у палутела, образованного наложением однородного потока на источник, равно нулю. Параболоид вращения дает пример полутела бесконечно большого сопротивления. Среди полутел, ширина которых возрастает медленнее, чеи у параболоида, могут быть тела конечного сопротивления '). 9 74. Уравнение продольного осесимметрнчного движения. Течение сквозь каналы Одним из наиболее распространенных видов пространственных темввй является движение, симметричное относительно некоторой оси (папрнмер, оси Ох), называемое осесимметричным.
Сюда относятся движения в соплах круглого сечеК ния, в конфузорах и диффузорах, осевое обтекание тел вращения, дирнжабельных и других форм. Составим общее уравнение проа дального осесимметричного движе- ния, происходящего в меридианных х плоскостях (рис. 124), образующих г с плоскостью хОу угол е, и выберем в ннх некоторую, не зависящую от Рис. 124 угла е систему ортогональных криволинейных координат ао с),. Тогда будем иметь в каждой из меридианных плоскостей г=г(й„д,), х=х(!7„474) !) Специальное исследование вопроса о влиянии формы яолутела иа его сопротивление проведено в статье: Гуревич М.
И. Обтекание осесимметричиого полутела коненааго сопротивлеиия.— Прикл. л!ат. и мех., 1947, т. 11, № 1, е Ф Ф Г ГЛ. 1Х ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ 294 и вообще для любой точки М у=г(йь е)е) созе, е=г(у„д,) з(па, х=х(д„де); отсюда по формулам (83) гл. 1 легко найти коэффициенты Ляме (44) Не =Не = =г(Ч1 Че) Уравнение Лапласа для определения потенциала скоростей будет, согласно шестому равенству (84) гл. 1, иметь вид (45) так как третин член этого равенства, содержащий производную по ко. ординате е, в силу принятой симметрии движения обращается в нуль. Подчеркнем, что уравнение осесимметричного движения (45), со.
ставленное в координатах де и д„ не совпадает с уравнением плоского движения в тех же координатах. Выберем в меридианных плоскостях в качестве криволинейных коор. дииат прямоугольные координаты х, г; будем иметь Н„=!, Н,=1 и, следовательно, уравнение движения приведется к виду — (г ~)+ — (г — ~)=0, (46) где «р,(х+1гсозе) — аналитическая функция комплексного переменного 1=х+(гсозее (48) соответствующему уравнению Лапласа в цилиндрических координатах при отсутствии зависимости движения от е. Остановимся на решении задачи об осесимметричном протекании несжимаемой жидкости сквозь канал, поверхность которого представляет собой поверхность вращения, причем будем полагать, что вращательное движение жидкости вокруг оси канала отсутствует. Рассмотрии лишь сравнительно простую, «обратную» задачу об определении формы поверхности канала и поля скоростей в канале по заданному закону изменения скорости вдоль оси канала.
Задача эта представляет практический интерес для проектирования формы каналов по заданным их общим габаритам. Такого рода задачи встают, например, при проектировании конфузоров и диффузоров аэродинамических труб, вентиляционных и других каналов, ограниченных по своим размерам объемом отведенных поме. щеннй. Аналогичный метод может быть с успехом применен также пре расчете по возможности малых по длине патрубков, соединяющих две цилиндрические трубы разных диаметров, и в других вопросах.
Докажем сначала, что решение уравнения (46), обращающееся в заданную на оси симметрии функцию ер,(х), может быть представлено в виде определенного интеграла 1Р (х, 1') = — ) 91е (х + 1Г с 05 еэ) ЙВ, 1 г (47) е $ то. уРАВнение пРОдольнОГО ОсесимметРичнОГО ДВижения 395 а некоторой области плоскости 1, заключающей внутри себя начало координат(=0'). Составляя производные л Л ДР 1 Г дзр !à — =-) ~~о(1)созв,(в, — ' — — - ~,ро(1)соз а«в Дг л ) о дгз и,) к применяя интегрирование по частям, найдем второе слагаемое в уравкенки (46) — г — ) =г д + '~ = — г ( <р,"(1)соз ада+.
1 ~~Чз,'(1)созвда= Дг дг ) дго дг л,) -'~ г о о = — — ( гр (1) сОзз айо + — (гр'(1) вша) — г ( гр" (1) з1пза с(а ил л 1 о о (', = — — 1 гр" (1) с(а. л ) о о Первое слагаемое уравнения (46), равное л -'( ~-) = — "= -'~'р.'(1) (, о отличается от второго только знаком, Таким образом, убеждаемся, что действительно выражение (47) дает интегральное представление решеакк уравнения (46). Исследуем это решение. Подставляя в правую часть (47) г=О, непосредственно убеждаемся, что функция гр,(х) представляет распределение потенциала скоростей ср(х, г) вдоль оси симметрия движения Ох. Перейдем к скоростям; найдем по формуле (47) л л )г,= ~ = — ) гро'(1)ойдо, )гг= ~ = — ~ оро'(1)созвг(в.
(49) д<р 1 Г д~р 1 Г Дх ч ) о ' Дг л ) о о о Прв г= 0 будем иметь (г =гр,'(х), (г,= — в,'(х) ( созвсйо=О, о Введем в рассмотрение вместо функции сро(1) функцию го(Г) =ср,(Г). Вид этой функции зависит от распределения скорости $о вдоль оси Ох, так как, по определению, 1о(х) =оР.'(Х) = ()г ), , Будем в дальнейшем считать это распределение заданным. Тогда формулы (49) представятся так: )г = — ~У (1)с(~, )г,= — ~1 Ясо г( (60) о о Введем еще функцию тока ор(х, г). По (29) и (БО) имеем, учитывая, что осевая координата г в формуле (29) теперь соответствует х, дф г (".
— = г(гз = — "то (1) с(во д к 1 о о '] Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа. Ч. 11.— М.: Фззиаттиз, 1963, с. 250, 251. 296 Гл. !х, НРОСТРАнстВенное БеэВихРВВое движение откуда интегрированием по г получим ф = — ) гг(г ') ге (х+ (г со5 о>) ды; 1 (5Ц 0 е появляющаяся при этом частном интегрировании по г функция каор. динаты х равна нулю, так как ось Ох(г=О) может быть принята в силу симметрии потока за нулевую линию тока (ф=О при г=О н любом х), Полученные выражения (47), (50) и (51) можно рассматривать как решение задачи о безвихревом осесимметричном протекании идеальной несжимаемой жидкости сквозь канал, границей которого служат по.
верхности вращения получим У„(х, г) = ',~~ ( галГа ">(х), д 2мг(л))э 2э" (л!)з (53) л=г 2ал (л1)' Пользуясь разложениями (53), можно строить различные формы конфузоров, диффузоров и других каналов. Так, например, положим*) х 1 «э Ге (х) = 0,55+ 0,90 ! Ф (х) г(х, Ф (х) = — е х — (') Ф (х) г(х = — Ег( 1 — 1, Ег( (~ оо) = ~ 1, 'ч У2 г' что дает изменение У„вдоль оси Ох от 0,1 при х= — оо до ! прн х=оо, показанное на рис. 125. Последовательные производные функции 7.(х) ') По этому поводу см. С апоян В. Г. Движение жидкости в осесимметричнон канале заданного профиля и расчет действительных давлений.— Труды Ленингр, иолитехн, ин-та им. Калинина, 1955, № !76, с.
160 — 174. э) Т51еп Н. 5. Оп 15е йезгяп о1 (Ье соп)гасноп соле 1ог а алий 1нппе1.— Лопгп, легоп. Яс!., !943, ч, !О, № 2, р. 68 — 70 ф(х, г) =сонэ!, (52) а закон изменения продольной скорости У„вдоль оси канала Ох задан функцией 1,(х). Такого типа решение не позволяет непосредственно находить течение жидкости в канале произвольного заданного наперед профиля'); можно, однако, проектировать разнообразные каналы н от. бирать среди них те, которые наилучшим образом удовлетворяют поставленным условиям, например требуемой степени однородности поля скоростей в данном сечении канала. С этой целью составим разложение в ряд Го(х+(гсоз ь>) =)е(х) + ггсо5 о>)е (х) +... и подставим его в формулы (50) и (51). Замечая, что л л 1 Р— созна о>г(го —, — созга г о>с(о> = О, (2л)! 1 Р о о $75, ОсесимметРичнОе пРОдольное ОБтекАние тел БРАщения 297 определяются очевидным равенством 7л ~и (х) = 0,90Ф'"' (х), причем 1 ° лл — — а' гй'"'(х) = — — (е * ).
Р 2н лгл Вспоминая определение полиномов Эрмита ') л ы лл лв 1 1 Нл(х)=( — 1) е* ~ (е ' ), будем иметь такое выражение для последовательных производных заданной функции 7,(х): 1 га"+и(х) = ( — 1)" 0,90 — е '- Нл(х). 1' 2л Пользуясь таблицами полиномов Эрмита и производя указанные в системе (53) суммирования, найдем искомые значения продольной и радиальной скоростей, а приравнивая различным константам выраже.
нне функции тока, определим возможные формы каналов. На рис, 126 приводятся линии тока и распределения продольных скоростей, соответствующие рассматриваемому осеснмметричному потоку в конфузоре. !!! !!! 1у !у г,е 52 е Рис. 125 Рис. 126 Римскими цифрами отмечены сечения трубок тока, а римскими цифраии со штрихами — соответствуюшне этим сечениям эпюры скоростей. Принимая линию тока за твердую стенку, получим профиль конфузора, причем эпюры покажут, насколько однородно поле скоростей в различных сечениях конфузора.
Так, например, видно, что профиль конфуаора, показанный на рис. 126 штриховкой, имеет достаточно хорошую фориу; неизбежное повышение скорости у стенок конфузора не вредит делу, так как подтормаживание жидкости из-за вязкости вблизи стенок дцажио выправить поле. 2 75. Осесимметричиое продольное обтекание тел вращения При исследовании пространственных течений приходится пользоааться различными криволинейными системами координат: цилиндринеског), сферической, эллиптической и др.
Такой подход не только упрощает описание картины движения, но иногда просто неизбежен: от удачного выбора системы координат зависит возможность разделения пере- ') Янке Е., Энде Ф., Леш Ф. Специальные функции: Формулы, графики, саблины.— Мп Наука, 1977, с. !49. гл. ~х. пгостехнстввннов ввзвнхеввов движения менных в дифференциальных уравнениях, простота приемов удовлетворения граничных условий. В плоском безвихревом движении переход от физической плоскости г=х+(у к вспомогательной плоскости 1 5+(а был эквивалентен пользованию в физической плоскости криволинейнм.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
