Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Т. В!ооб Пом.— Апина! Йеч1етч о! Р!цм Мескапша, 1969, ч. 1, р 223, 224. У! Среди общих руководств по реологнн можно рекомендовать следующие: Ас т акга Дж., Марр учи Дж. Основы гидромеханики неньютоновских жидкостей.— Мл , кр, 1973; Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных ,уса,— Мс Мир, 1975; Р е й н е р М. Деформация и течение. Введение в реологию.— Мл !пуп аефт, и горно-топлив. литературы, 1963; В! о11 %. А ша1ьещапса1 йеогу оу Спе песчап!са1 Ьепач!ог ог сопппоца гпед!а — Агап ма1. Месть Апа!., 1958, ч. 2, № 3, р.
197— Пй а также ранее цитированную монографию Уилкинсона. к! См., например, Шульман 3. П., Хуана Б. М. Нестациоиарные процессы какаективного переноса в наследственных средах.— Минск: Наука и техника, 1983 и пюаещевиую там обширную библиографию. 8 случае твердой примеси следует положить 14=по; тогда предыдущая формула приводится к более простой, справедливой для твердых суспензий сферических частиц: Р'=Р (1+ — а) . 3 случаях примесей месферических частиц вязкость смеси возрастает.
ум, для твердых частиц, имеющих форму эллнпсоидов вращения с откюшеиием полуосей б: 1, будет ук'= ух(1+ба). (27) Заметим, что поправка Эйнштейна весьма существенна. Например. ыя крови, состоящей нз ньютоновской несущей фазы — ллазмьк с динахкческнм коэффициентом вязкости ус=0,015 П вЂ” и переносимых плазмой кровяных телец с объемной концентрацией а-40оУо, если рассматривать кти тельца как твердые эллипсоиды вращения ') с относительной толщиной 1:6 (что близко к действительности), будем иметь 1к'=Зуа. реология неньютоновских жидкостей представляет в настоящее врек!а большую самостоятельную область механики сплошных сред'). В ее современном развитии большая роль принадлежит известной советской школе, группирующейся под руководством 3.
П. Ш ульм а на в Институте тепломассообмена (ИТМО ЛН БССР) в Минске' ). ГЛ. Х. ДИНАМИКА НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 370 получим для первого уравнения системы (28) дрп дрзт дрм др дзУ» д / дУ, дУз ~ — + — + — = — — + 2р — + р — ( — + — ) + дхз дхз дхз дх дхз дх, 1 дхз дх, ) 1 +р — ~ — + — ) =- — +Р' —,+ — '+ — '+ д 7 дУ» 'дУт Х др ! дЧ', д»У, дзУ»' дхз ~ дхз дх, дхз 1 дхз дх' дх' ) 1 з 3 +р 11 '+ '+ ) — — + р47ЧУ, + р — 01чУ. д /'дУ, дУз дрз т др д дх, 1 дхз дхз дхз ) дхз дх, В несжимаемой жидкости СВч У=О, а следовательно, и последнею слагаемое справа равно нулю.
Повторяя подобные действия применительно к остальным двум уран. пениям системы (28), деля обе части на р, раскрывая выражение произ. водной с(У</с(Г и присоединяя еще уравнение несжимаемости (10) гл. П1, получим следующую систему уравнений Н а в ь е — С т о к с а: дт дхз дх, дхз р дх, дт дх, дхз дхз р дте (29) — +У вЂ” +Уз — + д1'з дУ» дуз дС дх» ,дхз дУ, дУ, — '+ — ' дх, дхз ' дхз р дхз + — =0 дУ» дхз или кратко дУ» дчт з д, — + У» — =хе — — — + дз дх» Р дхт дУ» чрзУп — — — 0 (1, й= 1, 2, 3). дх» Впервые на основании соображений о взаимодействии молекул зтв уравнения были получены Н а вь е в 1822 г.
и Пуассоном в 1829 г,, а затем близким к только что изложенному путем С е н-В е н а н ом в 1843 г. и затем Стоксом в 1845 г.'). В векторной форме уравнения (29) имеют вид — + (У У) У'=Р— — дгайр+чЧ»У, дс р (30) ОВч У=О, где символ А7*У вЂ” лапласиан У вЂ” обозначает вектор с проекциями з(7»У, (1=1, 2, 3).
В приложениях приходится иметь дело с уравнениями Н а вье— С то к с а в проекциях на оси ортогональных криволинейных координат. Для составления такой формы уравнений полезно учесть тождество (50) гл. 11 (У . Р) У=дгаб( — ) + го1УхУ, 12/ а также следующее из последней строки системы (88) гл. 1 при условна несжимаемости (йч У=О) равенство з7»У = — го1го1У, (31) в силу чего уравнения Н а в ь е — С т о к с а при условии потенциальности ') 11итируем по фундаментальному курсу: Л а м о Г. Гилролинамнка.— М.: Гостеа. издат, 1947, с.
723. ! я. уРАВнения нАВье — стоксА динАмики ньютОнОВскОЙ сРеды 321 вдмииых сил могут быть приведены к форме, аналогичной уравнениям Громека — Ламба [(8) гл. 1(] для идеальной жидкости, ду — + го( У Х У = — Нгаб ( — + П + — ) — т го1 го1 У, г )гз !г 1 д! 2 Р (32) б(чУ=О. Пользуясь проекциямн на криволинейные оси операторов го(, пгаб и 4(т, получим следующие выражения уравнений Навье — Стокса в циАпндрических и сферических координатах (объемные силы опушены): цишндрические координаты (г, е, я): !Уг дуг 1е д1г д)г )з г+ е «+! ° !! дг г де де !Гз д) е 1 е дуе дуе Уг)ге — '+ У. — '+ — ' — '+ У.
— '+ — '' = 7! дг г де дг г = — — — — + (УЧУ,+ — — ' — — ), (33) 1 1 др у в 2 д«, Уе '1 р г де гз де гз г' ду, ду, у, ду, ду, 1 др — +У + +У +ту у д! дг г де дг р дг д (туг) дуе д (гуе) де +! д+ 1 д'+ д дг' г дг ге де' дг' сферические координаты (Я, 8, е): дул Ув дуя У дуя Узв + У' !! д)! )2 дО гс яп 0 де 1 др Г 2уи 2 дув 2увс!ОО = — — — + т Узун р д)! )сз Йе 00 дгв дув Ув дув 1'е дув Унув У', с!я 0 — +Уя — + — — + —.
— + —— а д)! )! дО ЯяпО де 1 1 др 1 в 2 дул 1'е + я (Рву Р )1 дО Яз 00 Нзз!пзВ дуе Ув дуе Уе дуе Узун Увуе с!я 0 — '+Уа — '+ ' '+ .' '+ — ''+ '' д! д)! Я дО Вяпв де )! )! )!з з!п О 2 с050 Яе япе 0 (34) дув ) ! 1 др ! е 1'е 2 дун 2 созО =- — — — +т (7еу, — + + р Вз!и О де 1 йеяпзО )сеяпв де )!ее!из О д .
д . д(вг,) д)! — (Нвун з!п О) + — (ЯУв ыпО) + ' = О, дО де Совокупность уравнений (29) представляет собой нелинейную еисгену четырех уравнений в частных производных второго порядка с четнрьия неизвестными функциями У„У„У, и р; величины р и т являются гл. х. динамика несжимлвмои вязкои жидкости 372 заданными постоянными, а проекции объемной силы г"„га, г", (силы тяжести, инерционные, центробежные или кориолисовы силы) — заданными функциями координат и скоростей.
Нелинейность системы обуслоз. лена наличием конвгктивной составляющей ускорения в левой части уравнений (29). Для получения конкретных решений при интегрировании системы уравнений (29) должны быть использованы граничные, а в случае нгстационарного движения и начальные условия. Вспомним, что в идеаль. ной жидкости основное граничное условие на омываемой жидкостьютвер. дой поверхности заключалось в непроницаемости поверхности и в связи с этим в совпадении нормальных к поверхности составляющих скоростей частиц жидкости и точек самой поверхности. В случае вязкой жидкости это граничное условие заменяется условием «прилипания» частиц жидкости к твердой стенке.
Это означает отсутствие как нормальной к твгрдои поверхности относительной скорости между частицами жидкости и близлежащими точками поверхности, так и касательных составляющих атно. витальной скорости, т. г. отсутствие скорости скольжения жидкости по поверхности. Не следует связывать указанное только что допущение об отсутствии скольжения частиц жидкости по твердой поверхности («прилипание») с явлением «смачиваемости» жидкостью (или отсутствия смачиваемостк) твердой поверхности, которое характеризует так называемый «краевой эффект» (образование мениска) на границе трех фаз (твердая, жидкая, газообразная), или твердой поверхности и двух жидкостей разной плотности.
Ртуть не смачивает внутреннюю поверхность стеклянной трубки, по которой течет, но «прилипает» к ней. Таким образом, в отличие от идеальной жидкости, при обтекания твердых поверхностей вязкой жидкостью должно выполняться граничное условие равенства нулю скорости жидкости на неподвижной обтекаемой поверхности или совпадения скоростей частиц жидкости со скоростями точек движущейся твердой поверхности, с которыми жидкие частицы со. прикасаются. Это граничное условие даже в конце Х)Х века оспаривалось отдельными авторами, но в настоящее время уже полностью оправ.
дано'). Исключением нз этого общего положения являются граничные условия в сильно разреженных газах, где возможно скольжение газа по твердой поверхности, пропорциональное производной по нормали к по. верхности от касательной составляющей скорости. В число граничных условий входит также задание скорости вдалеке от обтекаемого тела в случае внешнего обтекания или расхода в случае протекания жидкости сквозь канал, а также задание давления в какой- нибудь одной точке потока, в частности, в бесконечном удалении от об. текаемого тела. Начальные условия фигурируют в задачах нестационарных двнже. ний и представляют задания распределения скоростей в области течения в некоторый начальный момент, изменения во времени давления в дак.
ной точке пространства и т. д. Для частных классов задач о движении вязкой жидкости существуют строгие доказательства теорем о существовании и единственности решений. Эти теоремы, помимо своего общего математического содержания, важны еще потому, что указывают, каковы должны быть присоединенные к дифференциальным уравнениям граничные и начальные условия, а так.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
