Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 88
Текст из файла (страница 88)
М„, (60) где показатели степеней аи называют размерностями величин х, по отношению к выбранным основным единицам М, (1=1, 2,..., гп). Следуя Г е р т л е р у '), введем матрицу А Пас!! (г'=1, 2,..., п; / 1, 2,..., пг; гп(п), киша тепломассопереиоса.— Мс Высшая школа, 1974; О вся в пиков Л. В. Введевие з иехаавку сплошвых сред. Ч. 11.— Новосибирский Гос. ув-т, 1976; Л о й и я и с к и й Л. Г. ймолм подобия и размервостей в механике жидкости и газа, Сб. метод. статей по тео. угг.
иетвввке, вып. 11.— Мл Высшая школа, 1981. ') бог11ег Н. Лог Сезстпсще без П-ТЬеогешз.— ке11зсутг. 1. апяеш. Мабк и. ймй, 1978 Вб, 88, 8. 3-8. Гл. х. динАмикА несжимАемОЙ вязкОЙ жидкОсти называемую матрицей размерностей, а ее ранг, равный максимальному Порядку не равного нулю минора, обозначим буквой г.
Рассмотрим совокупность степенных одночленов 211 222 Ьлл П,=х, х, ...Хл (з=!,2, ...,р), (51) размерность которых в системе единиц М, (!'=1, 2,..., пт) определится в результате подстановки в (5!) размерностей х; по (50) и будет равна (з 1,2,...,р) [ 2) 1 2 ' Л1 ° П М~п 21М~12 12 М1 ЬЛ2 82 (5 ) ( 2) где в показателях степеней подразумевается суммирование по повторя.
ющемуся индексу ! от 1=1 до (=и. Если все показатели степеней в (52) окажутся порознь равными нулю, т. е. йи будут удовлетворять однород. ной системе линейных алгебраических уравнений (суммирование по й) а„й1,=0, а1,й1,=0, ..., а1„й1,=0, (53) то все П, (з 1,2,..., р) станут безразмерными. Тогда, по терминологии теории подобия, П, смогут выражать числа подобия, но при условии, что все П, являются независимыми, т. е. нн одно из них не может быть выражено в виде произведения других. Если система степенных одночленов П„ П„ ..., П, удовлетворяет условиям независимости и безразмерности н, кроме того, такова, что любая степенная одночленная зависимость П от х„х„..., х„может быть выражена степенным одночленом, составленным из П„то такая системз П, (з 1, 2,..., р) образует фундал1ентальную систему безразмерных степенных одночленов.
Легко убедиться в том, что число р фундаментальных комплексов П, (з 1, 2,..., р) равно разности общего числа рассматриваемых физических величин л и ранга г матрицы размерностей А, т. е. (54) р=н — Г, Действительно, система линейных алгебраических уравнений (53) при ранге матрицы коэффициентов А, равном г(тп, может быть заменена системой г неоднородных уравнений с определителем, не равнин нулю. Уравнения эти будут содержать в качестве неизвестных величивн в левой части й„, й„, ..., й„ числом г, а в правой — й,+с,й,л „ ..., е„ числом л — г. Этн последниеостаются произвольными и образуют саво.
купность показателей степени у фундаментальных комплексов П„ П„.„ ..., П„, причем, по только что доказанному, р,=л — г. Функция 1(х„х„..., х„) действительных переменных х„х,, ..., х„, определенная в некоторой области 0 значений этих переменных, пазы. вается размернооднородной функцией этих переменных, если существу.
ет такая совокупность действительных чисел Ьл (й=!, 2,..., Йт), чтю имеет место равенство ал ал аиа ЛЛ1 ЛИЛ1 Ь~ Ь, ЬЛ2 ~(а,'а, ... а х„...,а, ... а хл)=а,а, ... а ~(х„х„..., х„), справедливое для всех ал (й=1,2,...,лх) и х, (1=1,2,...,н) в облхстн .О. Переходя от системы единиц М, (1=1, 2, ..., и) к единицам, в а2 раз меньшим, тем самым заменим систему переменных х, на систему переменных аи '1 122 Х1= а, ... а,„ХЬ. 385 4 вз ОснОВы теОРии РАзмеРностел. и-теОРемА Еслтт функция у=[(х„х„..., х„) виражает некоторую физическую связь между переменными хь, то она „озжиа обладать свойством размернооднороднььх функций, так что ве,тичииа у имеет размерность [у] = М';М',* ...
М'„. Для любой, не обращающейся в нуль размернооднородной функции иремеиных х„х„..., х„существует по крайней мере один степенной миочлен этих переменных Аю М В» х,х, ...х„, такой, что [х,'х,* ... х„"] = [у], ь ыедовательно, размерность отношения т(хь, хв, ..., х„) А~~'Х~ °... Х„" й)лот нулевой. Отсюда следует основная теорема теории размерностей, ииеиуемая П-теоремой и приписываемая обычно Беки иге м у'). Как показало исследование Г е р т л е р а, на статью которого была ранее с!елани ссылка, теорема эта за четыре года до появления публикации йеииигем а была доказана преподавателем С.-Петербургского политииичесиого института А.
Феде р м а но м'), работа которого не по,лучила широкой известности. ][-теорема формулируется так; если х„х„...,х„— численные зна;ения и физических величин, А=Ца»Ц (1=1,..., п; )'=1,, т) — матраца их размерностей по отношению к единицам измерения М„М,, ... ,М„, ! — произвольная размернооднородная функция переменных с„хь,..,х„, а П„..., П, (р=п — г, г — ранг магрицьь А) — фундаментоаььнал система степенных одночленов переменных х„х„..., х„, то при ероизоольных действительных числах А„й„..., й„имеет место равен- ство А, А, а» 7(х„х„..., «,) = х,'х,' ... «» 0(П„П„..., П,). (55) Если равенство )(х„х„..., х„) =0 выражает некоторую физическую июь между переменными х„х„...,х„, то П-теорема утверждает, что зтз связь может быть выражена в форме зависимости сг'(П,, П,,..., П,) =О (р=п — г) (56) между фундаментальными безразмерными степенными одночленами в физических переменных х„х„..., х„, Таким образом, не располагая математическими моделями явления, иожио из соображений о размерностях физических величин установить Э.
9499 ') ВисК)пипагп Е. Оп рЬув!са11у вип!1аг зуз1еьпз; сипв1га!!оп о! 1Ьс иве от йпьоиопз! ецоатьопз.— РЬуз. Йеъ., !9!4, ч. 4, р. 345 — 376 и того же автора: Мове! ьь!епмеп!з апб 1Ье !оппв о! ещр!г]са! еяпа!!опз.— Тгапв. Атлет. 8ос. МесЬ. Епк„1915, „Зт, р 263 — 288. См. также: Бриджи он П. В. Аналяз размерностей.— М» ОНТИ, )134. ') Федор м а н А. Об общих методах интегрирования уравнений в частных проиводинх первого порядка.— Изв. С.-Петербургского политехнического института, 1911, , И, . 97 — 154.
ГЛ. Х. ДИНАМИКА НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 386 количество и состав чисел подобия, которыми являются фундаменталь. ные комплексы П„П„..., П,. Проиллюстрнруем это на примере несжимаемой вязкой тяжелой жидкости. Введем основные меры — единицы измерения — всех перь менных и постоянных физических величин, определяющих движение жидкости, в форме матрицы их размерностей. Замечая, что (х, у, г)=Ь, И=Т, (и, о, и)=/ Т-', (д]=7 Т-*, (р)=МТ.— Т-, (р)=МТ:, (р)=т: Т-, будем иметь следующую матрицу размерностей (по строкам — размер.
ности величин, по столбцам — единицы измерения): м д т о ! о О О 1 О 1 — 1 1 — 1 — 2 О 1 — 2 1 — 3 О 1 — 1 — 1 х,ю 2 и,е,в Р Ы Р я Ранг матрицы 2=3, число размерных, определяющих движение вы личин л=7. Фундаментальная система параметров П содержит р=л— г=7 — 3=4 параметра. Это ранее введенные числа подобия 5п, ут, Еи н йе.
Как видно нз предыдущего, теория размерностей, так же как н тем рня подобия, устанавливает наличие неявных связей (66) между парь. метрами — числами подобия, но ничего не говорит о том, какие из чисел подобия являются критериями подобия н входят в достаточные условия подобия. Решение последнего вопроса, как мы видели в предыдущем пзраграфе, зависит от постановки задачи, включающей математическую модель (уравнения н краевые — начальные н граничные условия), ках н в теории подобия, но менее определенной прн использовании теориц размерностей.
9 89. Примеры решения уравнений Павье — Стокса. Простейшие линейные задачи Остановимся сначала на сравнительно легко решаемых линейних задачах. Такие задачи либо точно следуют из самой постановки (уста. новнвшееся движение с прямолинейными траекториями, когда нелинейные члены отсутствуют), либо получаются в результате приближенной линеаризации уравнений Навье — Стокса путем отбрасывания малих конвективных ускорений, что соответствует малым рсйнольдсовым чис. лам (так называемые «медленные» нли «ползучие» движения).
Одним из наиболее простых случаев движения вязкой несжимаемой жидкости является так называемое ламинарное (слоистое) движение цо цилиндрической трубе произвольного сечения, при котором линии тока — прямые линии, параллельные оси трубы. Как показывают опыты, такое движение осуществляется в цилияд. рических трубах с различными формами сечений, если только число Рейнольдса не превосходит некоторого определенного критического своего значения, после чего движение перестает быть ламинарным, частицы жидкости приобретают сложные криволинейные траектории н приводя. мое в настоящем параграфе решение теряет свою силу.
Практически из. лагаемые сейчас результаты имеют значение лишь пря движениях с очень малыми скоростями нлн в тонких капиллярах, нлн, наконец, при В 88 ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИИ НАВЬŠ— СТОКСА 387 поженян очень вязких жидкостей. Подробнее об условиях существовавмпвминарного режима течения и явлений перехода его в более сложвнй, турбулентный режим будет сказано в начале гл. ХП1. Ивпрввим (рис. 150) ось Ое по оси трубы и будем предполагать трубу бесконечно длинной, а поток — направленным вдоль оси трубы, так !!о по трех компонент скорости и, о, ш остается лишь одна тн, а остальвпе две равны нулю. Отвлекаясь от действия объемных сил и считая поток изотермичесним, а следовательно, плотность р и коэффициент вяз!ос!в и постоянными, будем иметь, согласно уравнениям Навье — Сток- 88 (29), систему уравнений ! др ! др О= — — —, О= — — —, р дк ' р ду ' йа ! др Г дги дгв дгв ! га — = — — — + — + — +— дг р дг (, дкг дуг дгв г — =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
