Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Возможны две постановки этой задачи: 1) задан потребный расход („1, надо рассчитать необходимый для его получения перепад давления Ьр на заданном участке длины трубы 1; 2) задан перепад давления Лр на участке трубы длины 1, требуется определить секундный объемный расход жидкости сквозь трубу 1',1. Отвлечемся от действия объемных сил, в данном случае от тяжести, так как труба расположена горизонтально, и примем во внимание стационарность задачи. Тогда среди чисел подобия останутся лишь Еи=Р1(р*1)) и йе= кй/~. Примем за масштаб давлений Р перепад давлений на характерной для данной трубы длине — ее диаметре с1; этот перепад можно выразить через заданный перепад Ьр на какой-то длине 1 по формуле Р= — Ф. Ар За масштаб скоростей выберем среднюю ло сечению трубы скорость течения жидкости )т„, определенную очевидным отношением е с ср— 1 — кис 4 При таком выборе масштабов числа подобия будут ар и кье ЕОО = — —, йео =- — "' руа 1' у ср В первой постановке (известно 1;1, подлежит определению Ьр на заданном участке трубы длины 1) критерием подобия будет рейнольдсо.
во число йеч, а число Эйлера Еис явится функцией его; тогда, вводя, как это обычно делают, коэффициент сопротивления трубы А, согласно формуле сопротивления (Еиь=Х/2) йр =А — —, 2 будем иметь Опыты многих десятков лет полностью подтвердили правильность этого соотношения для течения самых различных жидкостей в гладких трубах разного диаметра как при ламинарном, так и турбулентном ре. жимах течения, в широком диапазоне секундных объемных расходов, или, что то же, средних по сечению трубы скоростей. Вопрос о виде к ат.
пОдОБие течениЙ вязкОЙ несжимлемон жидкОсти 384 функциональной зависимости у(Рва) будет в дальнейшем детально рассиотрен. Во егорий постановке задается перепад Р= — св, но остается неЬр 1 пзвестным секундный объемный расход, т. е. средняя по сечению трубы скарость У, . В этом случае среди чисел подобия Еи и Ре нет ни одного притерия, так как обе эти величины содержат в своем составе наперед векзвестную величину У„.
В этом случае легко построить критерий, созеужацьий заданную величину Р= — — с( и не содержащий У,„ р =1)У(ис(з14); чтобы исключить из числа Еи величину У,'р, составим безразмерный комплекс Еи Рез = Р Р" = Р рзь рз Зтот комплекс и будет во второй постановке задачи о подобии играть. уачь «ригерия подобия — числа Рейнольдса Ре, а число Рейнольдса йе,= У„ь(ьу останется просто числом подобия.
Будем иметь в этом случае ') Реа — — — = — =ув ( У,р„ва /рРЬр Д1 (49) иии '~ „з 1) тле у,-символ новой функциональной зависимости. Если условиться в пбекх сравниваемых системах под величиной Лр понимать перепад давмнкя на сходственном участке (=с( нли кратном с(, то предыдущая фориулв может быть переписана еще так; '=" — '"'~'— :(-."Л В качестве еще одного примера рассмотрим случай нестационарного лвкжения вязкой несжимаемой жидкости, физические свойства которой мрактеризуются константами р и 1в, по бесконечно длинной круглой цилвндрической трубе диаметра с( под действием перепада давления Лр, представляющего некоторую гармоническую функцию с периодом Т (клк частотой )т'=1/Т) и амплитудой Р.
В этом случае (опускаем действве объемных сил) никакой характерной скорости не задается и, таким сбрвзом, ни одно из чисел подобия 5Ь, Еи и Ре не может быть критерием. Как и в предыдущем случае, поскольку задается перепад давления (за ыаскьтаб давлений можно принять, например, амплитуду колебаний давлении Р) и частота уч' нестацнонарного движения (для простоты рассиотрим только установившиеся вынужденные колебания жидкости), то критерии подобия составим, комбинируя числа 5Ь и Ео с числом Рейвпльдса Ре так, чтобы скорость У исключилась. Будем иметь следующие ввв критерия подобия; Еи.йе'= — ( — ) = ~ ~ — '~) 5Ь Ре= — . — = —. ьчи Уа ИР У т Число Рейнольдса Ре=Ус(/ч не будет в разбираемом случае критернви подобия, а определится как функция только что указанных двух критериев подобия Ре= — =у ~~ ' ~н) ~ ~) Обозначения йе„и Нер заимствованы из статьи: Р о ждестве н ск и й Б.
Л., Сливкин И. Н. Моделированве турбулентных течений в плоском канале.— Журнал вмисл. иат. и мат. физики, 1985, 1чз 1, с. 97, 98. гл. х. динхмикл нссжимлнмоп вязкои жидкости 382 В заключение, не останавливаясь на подробностях, заметим, что число Фруда, в частном случае силы веса (Г=д), равное гг=)ха/(йг!), в большинстве практических задач движения корабля, так же как н число Рейнольдса, будет являться критерием подобия. Если при испытании моделей кораблей в бассейнах пользоваться в качестве жидкости водой, то осуществить строгое моделирование, требующее одинаковости на мо. дели и в натуре критериев подобия гг и Ре, оказывается невозможным, Действительно, условия уа .
1'! — = Ыегп, — = Ыет, при хг = Ыеш и о =!беш приводят к двум следующим: — = Ыеш, )г! = Ыеш, уа т. е. )г=)бет, (=Ыет, а это означает, что модель и натура должны совпадать по скорости движения корабля и по его размерам; таким образом, моделирование оказывается невозможным. В практике судострое.
ния моделирование ведут раздельно: только по критерию Рейнольдса, когда преимущественное значение имеет сопротивление трения воды об обшивку корабля и сопротивление давлений, обусловленное формой ко. рабля, независимо от его положения по отношению к свободной поверхности, где возникают волны и создается волновое сопротивление, и толь. ко по критерию Фруда, если, наоборот, главное значение приобретает волновое сопротивление. Возможны случаи, когда в изучаемом явлении никакая характернах скорость движения жидкости указана быть не может.
В этом случае, как и в предыдущих примерах, можно освободиться от скорости, состав. ляя безразмерный комплекс Рг Ув та р х и! Уа!а д!а Этот комплекс играет роль критерия подобия в вопросах свободной конвекции жидкости; обратная величина носит наименование критерию Галилея. В настоящем параграфе был намеренно рассмотрен лишь срав. нительно узкий класс течений: жидкость считалась несжимаемой, поток изотермическим и физически однородным.
Тот же метод будет в дальнейшем изложении применен к более широкому кругу явлений (неизотермнческие движения жидкости при наличии примесей, движение газа с большими до- и сверхзвуковыми скоростями), Во всех этих случаях в основу всегда будет положена мате. матическая модель явления — дифференциальные уравнения динамика и термодинамики с относящимися к ним начальными и граничными условиями, а иногда еще дополнительными условиями, без которых задача не может быть строго поставленной. Таковы, например, условия нетривиальности решений, с которыми придется в дальнейшем встретиться а задачах о развитии струй, следов и других «свободных» от влияния твердых стенок движений.
9 88. Основы теории размерностей. П-теорема Параллельно с методом подобия широкое применение на практике получил метод размерностей, обычно излагаемый в тех же руководст. вах, что и метод подобия '). ') Литература по теории подобия обширна. Укажем лишь некоторые нсточннкн, достаточно широко трактуюшне этот вопрос: Седов Л. И.
Методы подобия я раамев. ности в механике.— М: Наука, 1981; Г у х м а н А. А. Введение в теорию подобия.— )Ьь; Высшая школа, 1973, Г у х м а н А. А. Применение теории подобия к исследованию про. $ аа. Основы теОРии РАзмеРнОстеи. и-теОРемл Принципиальное отличие теории размерностей от теории подобия заключается в том, что она не требует задания математической модели каления, а довольствуется установлением перечня основных физических наличия, определяющих явление, и рассмотрением их размерностей. Теория размерностей незаменима в тех случаях, когда математическое моделирование, т. е. составление основных уравнений, еще не прозгдено.
В этих особо сложных случаях теория размерностей позволяет предсказать структуру обобщенных (безразмерных) эмпирических фориул, которые с успехом для практики заменяют до поры до времени не установленные теоретические закономерности. В рассматриваемой в настоящем учебном руководстве сравнительно узкой области физики — механике жидкости и газа — обе теории: подобия н размерностей одинаково удовлетворяют практику, а их применення могут проводиться параллельно.
Так, в теории подобия, изложенной в предыдущем параграфе, была использована система уравнений Навье — Стокса (46), содержащая в ычестве коэффициентов постоянные размерные комплексы масштабов: У/7, У'/Ь и т. д. Эта система уравнений после деления обеих частей на коиплекс У'/г. перешла в систему безразмерных уравнений (46), которую в смысле, разъясненном в $61, можно условно представить функннональной зависимостью сг(5Ь, Ег, Еи, ке) =О, Это равенство, выведенное из соображений теории подобия для частного случая нестационарного движения вязкой несжимаемой жидкости при налнчии объемных сил, может служить примером общего соотношения, доказываемого в теории размерностей и составляющего содержание так изываемой П-теоремы.
Переходя к изложению основ теории размерностей, отметим прежде всего, что вместо характерного для теории подобия выбора масштабен физических величин, так сказать, по принадлежности, т. е. скорости длн скоростей, давления для давлений и т. д., в теории размерностей насштабами служат принятые в исследовании единицы измерений, комбннации которых определяют размерности входящих в рассуждение фиглческих — как переменньгх, так и постоянных — величин. Так, в чисто динамических, не связанных с термодинамикой или другими разделами фнзнкн, явлениях основными масштабами будут: масса, длина, время, что соответствует системе МУ Т; в СИ вЂ” килограмм, метр, секунда.
Имея в виду в излагаемом далее рассуждении обратиться к случаю нннболее общего физического явления, обозначим через х, (1=1,2,... „,,и) численные значения входящих в постановку задачи физических нелячин, через (х,] — их размерности, а через Мг (1=1, 2,..., гп) — принятые единицог измерений. Тогда размерность хг представится в виде степенного одночлена ага °; га ег„ (хг)=М, М, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
