Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 86
Текст из файла (страница 86)
1/к — = йе — число Рейиольдса, — = гг — число Фруда. т Л. Уравнения (46) представляют собой безразмерные уравнения Навье— Стокса динамики вязкой несжимаемой жидкости. К этим уравнениям прнсоеднняются соответствующие данной конкретной задаче безразмерные начальные и граничные условия, а в ряде случаев н другие условия едннственности решений уравнений Навье — Стокса. Предположим, что два в общем случае нестационарных потока ньютоновской вязкой несжимаемой жидкости подобны между собой. Тогда, по предыдущему, безразмерные начальные, граничные и другие условия ыннстненности, так же как и сами безразмерные уравнения Навье— Стокса (46), должны быть одинаковыми для обоих сравниваемых межлу собою движений.
Но, по предположению о существовании подобия, все безразмерные, обозначенные штрихами переменные в сходственных тоннах потоков одинаковы, следовательно, для совпадения дифференциыьных уравнений остается потребовать, чтобы были одинаковыми чис,ел подобия, т. е. 56= Ыетп, Еи=Ыеш, ге= Ыеш, йе=Ыегп. (48) Перечисленные условия подобия, включая последнюю систему равенств, являются необходимыми условиями подобия.
Трудности стоят нв пути выяснения достаточноех условий подобия. Эти трудности связаны с тем обстоятельством, что для строгого установления достаточных )словнй подобия должна быть в широком аспекте граничных условий показана теорема о существовании и единственности решений уравненпп Навье — Стокса' ). Большое разнообразие неизбежно встающих перед практикой задач (наряду с обычными задачами обтекания тел в протекания жидкости сквозь трубы и каналы существуют еше задачи свободной конвенции, распространения струй, образования следов за телами, развития пограничных слоев и т. д.) не позволяет считать вопрос об установлении достаточных условий подобия движений вязкой несжимаемой жидкости исчерпанным.
Условимся среди чисел подобия (47) особо выделять составленные только из тех масштабов сравниваемых потоков и физических констант среды, которые содержатся в постановке задачи об определении движеннн,т, е. наперед заданы. Одинаковость таких чисел подобия обусловлнвает подобие двух сравниваемых течений, и поэтому сами числа могут быть названы критериями подобия. Критериев подобия меньше, чем внсел подобия для соответствующего класса течений, так как не все рлсштабиые величины, введенные при составлении безразмерных уравненнй и граничных и начальных условий, на самом деле могут быть залвны наперед.
Значения некоторых из них определяются только после того, как будет получено единственное решение данной конкретной задачи. Отсюда следует, что число достаточных условий, представленных снстеыой равенств вида (48), будет меньше общего числа необходимых к) Для ознакомления с этим вопросом рекомендуем монографнкк Ладыженская П. А. Математические вопросы динамики вязкой несжнмаемой жидкости. Соврекекане проблемы матсматпкн.— М. Фнзмзтгнз, 1961 Доказательства существования н ыкаешепностп решении уравнений Навье — Стокса для отдельных задач можно найти еяопографпн; Гольдштнк М. А Вихревые потоки.— Новосибирск: Наука, Сибирское отд.нне, 198!.
378 Гл х динкмикА несжимАемОЙ вязкон жидкОсти условий, а оставшиеся после выделения критериев подобия числа подобия окажутся выраженньгмги через критерии подобия. Этот результат будет вскоре (2 88) подтвержден теорией размерностей. Проиллюстрируем высказанные положения несколькими примерами; многие другие примеры будут сопутствовать изложению в дальнейшем. Поместим в однородный поток вязкой несжимаемой жидкости с кинематическнм коэффициентом вязкости ч, плотностью р и постоянной скоростью У„цилиндр диаметра г( и поставим задачу об определении сопротивления цилиндра набегающему на него потоку в предположении, что движение стационарно, а объемных сил нет. Тогда среди необходи.
мых условий подобия (48) остаются лишь два: Еи=!<(еш и йе=Ыеш. Число Рейнольдса, в данном случае равное йе= У„гг/ч, является критерием подобия, так как содержит заданные наперед масштабы: скоростей — У„, длин — а' и также заданную физическую константу ч. Сила сопротивления — обозначим ее величину через Яу — может быть определена толы<о после решения задачи обтекания, так как оиа вычисляет. ся суммированием по поверхности цилиндра сил давления потока на поверхность и сил трения жидкости о поверхность цилиндра, которые в свою очередь зависят от решения задачи обтекания.
Число Эйлера, содержащее в своем составе масштаб неизвестного наперед давления, ие может при этом быть критерием подобия, а будет функцией критерия— числа Рейнольдса. Коэффициент сопротивления с„ единицы длины цилиндра, определяемый отношением (о — площадь миделевого сечения цилиндра) я<г с = (1/2)РУ' в играет роль числа Эйлера (так как Яг/о имеет размерность перепада давления) и зависит от числа Рейнольдса. Эксперимент полностью оправдывает это заключение. Результаты опытов, проведенных над ци.
линдрамн различных диаметров, помещенных в разные по скоростям и физическим свойствам жидкости потоки, вполне удовлетворительно лег. ли на одну и ту же кривую зависимости с (Ре), показанную на рис. 148. Если детальнее присмотреться к экспериментальной картине обте. кания цилиндра, то можно заметить, что оно не является стационарным: в кормовой части цилиндра то с одной, то с другой стороны его поверхности срываются вихреобразные массы подторможенной цилиид.
ром жидкости, создавая в потоке колебания с частотой, зависящей от скорости потока, его вязкости и диаметра цилиндра, точнее, от рей. нольдсова числа. Такие колебания цилиндра в потоке постоянной скорости, происходящие за счет внутренних явлений в пограничном слое на поверхности цилиндра, приводящих к только что отмеченным отрывам масс жидкое. ти с поверхности цилиндра, относятся к числу автоколебаний. Их можно наблюдать на всевозможных плохо обтекаемых телах.
Возникая в жид. кости, эти периодические процессы вызывают вибрации тел, погруженных в жидкость. Известны автоколебания фабричных труб и высотных зданий во время ветра, причем частота этих колебаний не связана с частотой порывов ветра, как это имело бы место при вынужденных ко. лебаниях. Аналогичные автоколебания совершают перископ подводной лодки, трубки конденсатора паровой турбины и др. Чешский физик Струхал ') еще в конце девятнадцатого века изучал колебания струн в однородном потоке воздуха (подобные вибрациям те. ') 81 го п Ь а 1. Апп. Вег Рнуз.
и. СЬегп. (мг<епе<паппз Апп), 1878, Ва. 5, $. 216 251. 4 в7. подОБие течений ВязкОЙ иесжимлемоп жидкости 379 леграфеых проводов в ветреную погоду) и по высоте звука определял елсготу колебаний 17 =1!Т (Т вЂ” период колебаний). Он первый заметил, иго безразмерная одночленная комбинация частоты колебаний Аг, диаиегри струны с( и скорости набегающего потока $7„, ныне называемая еислом Струхаха 5Ь=— !г сохраняет определенное постоянное значение, близкое к 0,2. рассмотрим это явление с точки зрения метода подобия. Отвлекаясь с!действия объемных сил, получим три числа подобия: 5Ь, Еи (или с„) и ди, Среди них только число йе состоит из заданных наперед величин у„, г! и ч и, следовательно, представляет критерий подобия автоколебаТыькых движений вязкой несжимаемой жидкости, возникающих прн Л47 Г йгг гр 'с» ге аге из Гг г ! 7Е лхгл лег л йгг м' гс 777~ гег ке-— гел юе ч„е ие — $- Рис.
148 Рис. !49 обтекании цилиндра. Числа подобия 5Ь и с„содержат неизвестные наперед частоту автоколебаний Ф=Ъ|Т и сопротивление )Р' и являются исзтоыу функциями критерия подобия йе. Опыты подтверждают это иоложение. На рис. 149 приводятся кривые 5Ь (ке) и с (Ре), составленные по опытам А. Рошко'). Опыты над цилиндрами проводились в пирокоы диапазоне диаметров от 0,235 до 6,35 мм. Судя по кривой, при бслыпех значениях йе устанавливается значение 5Ь=0,21.
Это хорошо оправдывается при не слишком больших значениях чисел йе, однако известно, что при достижении числом Рейнольдса значений порядка 5!9е сопротивление резко падает (см. рис. 148), изменяется характер обтекания цилиндра и стремление числа Струхала к постоянному знаееикиз 0,21 нарушается. Этому вопросу будет уделено внимание в гл. Х1!1 при рассмотрении явления «кризиса обтекания» круглого цилиидра.
Изменим теперь постановку задачи. Поместив цилиндр в однородинй поток постоянной скорости У„, приведем его в заданный по желаиип колебательный режим с частотой Ал. В этом случае число Струхала 58 станет наряду с числом Рейнольдса йе криз"ерием подобия, а коэффициевт сопротивления с будет уже функцией двух критериев подобия 5бкйе с,„= 7(5Ь, ке).
г) К ось к о А. Оп 1ье бечо!оргпеп1 о1 1пгьп!еп1 хча!геа !гого чог1ех З1гее1в.— ХАСА йер., !984, ч. !!9!. ГЛ. Х. ДИНАМИКА НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ Любопытный пример различия в выборе критериев подобия среди чисел подобия относится к разбираемому далее в $89 случаю движения вязкой несжимаемой жидкости по цилиндрической трубе кругового профиля.
жидкость плотности р и с коэффициентом вязкости 1А течет сквозь горизонтальную цилиндрическую круглую трубу диаметра и' под действием постоянного перепада давлений, на участке трубы 1 равного йр; при этом сквозь трубу проходит также постоянный секундный объемный расход Я. Выясним, какие указания может дать метод подобия относительно общего вида зависимости между перепадом давлений в трубе стр (обеспечиваемым работой насоса или напором столба жидкости между резервуаром и трубой) н секундным объемным расходом жидкости сквозь трубу Я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
