Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 92
Текст из файла (страница 92)
шенно недостаточным пользоваться обычными уравнениями движения жидкости, добавляя лишь к механическим объемным силам пондеромоторную силу Лоренца, выражающую действие внешнего магнитного поля на движущуюся электропроводную жидкость. На самом деле изучению подлежит значительно более сложное явление взаимодействия магнитного поля с потоком жидкости в условиях, когда твердые границы потока в зависимости от своей электропроводности сами влияют на магнитное поле в области течения жидкости.
С математической стороны это означает, что нельзя рассматривать уравнения движения жидкости (уравнения Навье — Стокса и уравнение неразрывности) оторвано от уравнений электромагнитного поля (уравнений Максвелла). Уравнения движения только в очень упрощенной постановке можно считать «автономными», допускающими самостоятельное интегрирование отдельно от общих уравнений электродинамики сплошных сред.
Переходя к вопросу о граничнлгх условиях, соответствующих возможным стационарным задачам, заметим, что они состоят из известных уже по предыдущему гидродинамических условий («прилипание» жидкости к поверхности обтекаемых тел, условия на бесконечности и др.) и специфических электромагнитных условий на границах жидкой и твердой фазы (например, стенки трубы), а также твердой фазы и внешней области (газ, нустота). гах: Седов Л.
И. Механика сплошной среды. Т. !.— Мх Наука, 1983; В ата же и А. Б„ Любимов Г. А., Ре г яр е р С. А. Магнитогидродннамическне течения в каналах.— Мг Наука, 1970. См. также обзоры: Гогос о в В. В., Полянский В. А. Электрода. намика: Задачи н приложения, основные уравнения, различные решения.— Итоги наука и техники, МЖГ, т. 10, Мх ВИНИТИ,1976, с. 5 — 85; Гого сов В.
В., Напето.на В.А„ Шапошникова Г. А. Гидродннамика намагничиваюшихся жидкостей.— В том же язл., т. !6, 1981, с. 75 — 208. $ М. УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОЙ ЖИДКОСТИ 401 рассмотрим магнитогидродинамическое обобщение изложенной раппе В 9 89 задачи о движении несжимаемой вязкой жидкостй по цилнндркческям (призматическим) трубам на случай электропроводной жидкпсти при наличии поперечного к направлению потока жидкости однорпдкого магнитного поля. Теоретические и экспериментальные работы и этом направлении многочисленны'). Начало им было положено изпестной работой Гартмана *), Воспользуемся тем же расположением осей координат относительно трубы, что и на рис.
150. Неизвестными величинами в разбираемой заппче являются: поле скоростей У, электрическое напряжение Е и магвстнзя иидукпия В, Покажем, что в рассматриваемом случае бесконечкп длинной трубы постоянного сечения со стенками из однородного кптериала и постоянной толщины 6, которую будем считать малой по срквнению с размерами сечения трубы, решение задачи можно свести капределенню двух функций ь',=тв(х, у) и В,=В(х, у), а электрическое поле Е нз уравнений исключить, Тзк же как и в ранее рассмотренной в 9 89 чисто гидродинамической задаче, из условия равноправности сечений в бесконечно длинной трубе с постоянными геометрическими параметрами сечений следует, по все распределения механических и физических величин будут зависеть только от координат х и у в плоскости сечения трубы.
Исключением кзпяется давление, уменьшающееся вдоль трубы по линейному закону, ко перепад давления на участке фиксированной длины также сохраняет свою величину вдоль трубы. В этих условиях электрический ток.вдоль трубы невозможен, так что, согласно (110), при и=О и о=О будет ),=оЕ,=О; 1,=0, Е,=О, т, е, инду!(ированные токи располагаются в плоскостях нормальных сесений грубы, а индук)ированная составляющая магнитного полн по закону Био — Савара направлена по оси Ог. Принимая во внимание напкчие однородного внешнего поперечного магнитного поля с компонентами (О, В„О) и условие соленоидальности магнитного поля, выражаечое в данном случае равенством дтч В=дВ,/дг=О, заключим '), что сумчарные компоненты магнитного поля будут равны В.=О, ВТ=В,=сонэ(, В;В(х, у).
Прн этом, как легко заключить из первого электродинамического уравнения системы (111), величину В/$$, можно рассматривать как. ') Регярер С. А. О течении элеятроироэодящей жидкости в присутствии мэгскткогэ поля ио трубам произвольного профиля.— Првял. мэт. в мех., 1960, т. 24, № 3, с 5$$-542; У ф л я я д Я, С. Установившееся течение электропроводяой жидкости в кршоугохьяом канале иря наличии поперечного мзгяятяого поля.— Журн.
техн. физ., $$$д т. 30, эыи. 10; Г р я я бе рг Г. А. Об установившемся течении проводящей жвдкмсз э прямоугольной трубе с двумя яеироэодящямя стенками я двумя проводящими, карзззехьяымя внешнему магнитному полю.— Приял. мэт. я мех., $96$, т. 25, с. 1024- $ПП, а также: О некоторых случаях течения проводящей жидкости по трубам прямояшьэото сечения, находящимся в магнитном поле, тэм же, !962, т. 26. с. 80 — 87; К у л я.
ковский А, Г., Л ю б и м он Г. А. Магнитная гидродяпэмякэ.— М.: Физмэтгяз, 1962, с пк — 53; 5 Ь ее с!$1 $ Л А. 5!еэс)У шоцои о$ соибисиик $!и)бз )и РсРэз иибег 1тэпзчетзе эьпэебс ВеЫз.— Ргос. СэсиЬТЫяе РЫ1. 5ос., 1953, ч. 49, № 1, р. $36 — 144; СЬэив Пыеь С., 1ии б я ге и Т. 5. Пист $)очс !и тэяйетоьубгобуиаш)сз.— Ве)тзсьг.
эияечс. $)кйсев. и, РЬУзйп 1961, Вс$. 12, 5. $00 — 114; 5!о э и О. М., 5 си $ $ Ь Р. МэкиетоЬУбгопупаж)с Посч ти э тес!зияя!эг р)ре Ьетсчееи соибисыия р)э1ез.— Ве)тзсьг. Аиеече. МА1Ьепк. е Месь., 1956, Вс$. 7, 5. 439 — 443; Н и и1 д С. ГС Мэяиетоьубгобуиэш)с $!ом 1п гэс!Викк)аг кисы.-у. Р!ВЫ МесЬ., 1965, ч. 21, р. 577 — 590. с) Нзг1шэи и Э. Ня-Оупэш)сз. 1. ТЬеогу о$ тйе !эиииэг Посч о$ эи е!естг)сэпу соппзст)че ййшс$ !и э Ьоитояеиойз шэяиеттс $)е!б.— Мэт.-руз. шебб. Кя!. $)эизйе Ч)з- сепкаЬ., 1937, ч. 15, № 6. с) В язэожеяяя общей части ээдэчя о дзяжеяяя электропроэодяой жидкости звэзь пяляядряческую (ирязмэтяческую) трубу любого сечения я плоскую трубу испюыоэзэы только что цитированные работы Шеряхяфэ, Чанга я Лувдгревэ. гл.
х. динАмикА несжимАемОЙ вязкои жидкости АОг «функцию тока» плоского поля векторов)(!', 1„), так что дВ . дВ Р ! — д ° Р!о — дх ду (112) Возвращаясь к первому динамическому уравнению системы (!1!)— уравнению Навье — Стокса,— перепишем его в проекциях на оси коор. динат в виде др дх дВ ),в,= — — в —, ро дх' 1 д — ),в.
= — — в —, ро ду РчЧ ге+ 1.Во — /оВх =РчЧ»се+ — — . о Во дВ ро ду др ду др дг Заметим, что первые два из этих уравнений приводятся к равен- ствам — р+ В* ) =и, — '(р+ В* ) -выражающим тот факт, что сумма р+Во/(21ь,) является функцией толь. ко г. Вспоминая, что, по предыдущему, В зависит только от х и у, зо. ключим, что др/дг представляет собой функцию только а. Но тогда иг последнего равенства системы (113), в котором левая часть — функции только я, а правая — только х и у, следует, что каждая из этих час. тей в отдельности равна постоянной; пред. ставим, как и раньше, эту постоянную о виде —. = Соп51 = —— др дг 1 Таким образом, получаем первое нско д' д' 1 мое уравнение (Чо = — + †) — ураане.
дх' ду' ) ние движения жидкости в трубе Рис. 153 рчЧ»су + — — = — — . (11о) Во дВ Лр Ро ду 1 Второе уравнение можно найти, применяя операцию го1 к левой и правой частям уравнения (110), что позволит освободиться от электра. ческого поля Е, а затем составляя проекцию обеих частей полученного уравнения на ось Ог, Имеем, используя первое уравнение второй строки (111) и (88) гл. 1, го!1 = — го1го1 В = — йгаббьч — — Ч В= — — 7 В го! Е=0, 1 1 . ! о 1 ро Ио !оо ьоо го1 (У х В) =(В. Ч) У вЂ” (У 7) В + У йч  — В 11! ч У = (В 7) У' — (У 7) В; проектируя на ось Ог, получим второе искомое уравнение 7'В + ОРоВо — — — Оо выражающее структуру магнитного поля в движущейся жидкости.
Выделим в плоскости Оху следующие три области (рис. 153): 1) область 5, внутри трубы, в которой должно быть произведено интегрирование системы уравнеяий (114) и (115); $ Вт. УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ЭЛСКТРОПРОВОДНОИ ЖИДКОСТИ 4О3 2) тонкую (толщину обозначим через б) область 5„занятую твердннн стенками трубы; в этой области ш=О и для определения функции 3 достаточно прокнтегрировать уравнение Лапласа ту'В=О (118) 1,ННКОНЕЦ, 3) внешнюю по отношению к трубе область 5„заполненную нетроводящей электричество средой (О=О), в которой у',=1„=0, а, следоввтсльно, по первому из электродинамических уравнений в этой области дВ, дВ го(В =О, — *= — *=О, В,=сопз1.
дх ду Но в бесконечном удалении от трубы магнитное поле направлено тврнллельио оси Оуу, следовательно, В,=В=О во всей области 5,. Обозначим через С, и С, границы, отделяющие 5, от 5, и 5, от 5„ вуслснимся обозначать индексами 1, 2 и 3 величины В и а, соответствующие областям 5„5, и 5,. Перейдем в составленных уравнениях к втврпнмерным величинам, положив (а — некоторая характерная длина, ,'-длина, на которой задан перепад давления Лр) а' ди авар /и, 14 х= а~, у = ац, ш = — — пт', В = — увн( — 'ут В'. (117) чр т т р 1втдн получим безразмерную систему уравнений в области 5, два~ днам дВ двВТ днВ, дт * — + — + На — ' = — 1, — '+ — '+ На — =О, д1в дпн дп д$н дпн дп (118) де безразмерное число На= В,а ( — ') (119) -ввыннют числом Гартлтана.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
