Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 94
Текст из файла (страница 94)
4 '). 2 ') См. ранее цитированные две работы этого автора. Удовольствуемся указанием общего вида решения, отсылая интересующихся подробностями к ранее цитированной статье Слоана и Смита Эффективность примененного для построения только что указанного решения метода Фурье зависит от быстроты сходимости рядов. Получение численных результатов требует достаточно быстрой сходимоств этих рядов в интересующих практику интервалах изменения числа Гартмана и других физических параметров, характерных для отдельных коакретных задач.
При очень больших значениях числа Гартмана могут быть построены специальные асимптотические решения. Следует заметить, что метод Фурье не является единственным методом решения задач этого рода. В работах Г. А. Гринберга ') путем применения метода функций Грина выводятся интегральные уравнения, численные решения которых могут проводиться при помощи последовательных приближений. Вопрос об эффективности метода, конечно, и в.
этом случае решается рассмотрением быстроты сходимости приближений. В м пхльсипрющее ламинарное движгник 409 992. Пульсирующее ламинарное движение вязкой жидкости по цилиндрической трубе кругового профиля дге Г депо ! дго ! 1 — — ( — '+ — — ) = — 1(1), дГ ~дгз г дг) р (137) где положено в общем случае — — "' =и).
дг уравнение это надо интегрировать при граничном условии ге=О при г=а а качальном условии (в случае осесимметричного движения) цг=цг,(г) при 1=0. (138) (139) В качестве примера рассмотрим установившееся пульсирующее движеаае, соответствующее гармоническому закону изменения перепада давления в трубе )(1) =РАсоз ей Начальное условие при этом теряет свое значение, сохраним лишь грааачаое условие (138) . Положив ю(г, 1) =ф(г, 1)+ — "3!и ый (140) а введя вместо 1 новую переменную т=т), перепишем уравнение (137) а виде дгр дзф 1 дгр — = — + — — ' дт дге г дг (141) ~) Не! гп Ь о!1 з Н.
СЬег е!ес1Пзсье Огепззсйнс!иеп — Апп б. РЬуа. и, СЬепь, !179, Вб. 7, 5. 33? — 382. г) Громе к а И С. К теории данження жидкости в узких цилиндрических труба«а;Ученые запнскн Казанского ун-та, 1882, а также Соб, соч.— Мс Изд-во АН СССР, 1912, с. ! 49 — 171. з] 5ау го а и з)«1 Р. Опе!Чцез зо!пнопз ехас!ез без ецпанопз бе 1Ьубгобупапт)йце бе Пабе тъчпецх бапз пп 1цЬе су1!пбг)цпе.— Зоцгп бе Ма!Ьепз, 1932, 1.
11, р. 67 — 107; дурье А. Й. Операционное исчисление.— М: ОНТИ, 1935, с. 205 — 209; Л я и бося П. Вынужденные колебания несжимаемой вязкой жидкости в жесткой горизонтальной трубе.-В сб. «Механнка», вып. 3.— Мх ИЛ, 1953, с 67 — 77. ') Так же, как н в стационарном случае, поле скоростей згвцснт не от а, а толь. «оотг н 1; давление р — линейная функция а. 3адача о исстационарном движении вязкой жидкости по цилиндриисаой трубе кругового профиля уже давно привлекала внимание исследователей.
Простейший случай этой задачи в 1879 г. рассмотрел еще 1мьмгольц'). В обшей постановке для любых начальных условий и заааааого закона зависимости перепада давлений в трубе от времени за!ача была систематически исследована в сочинении казанского профессора И, С.
Гроыека, относящемся к 1882 г.'). Частные случаи той же задачи были разобраны различными авторами'). В настоящем параграфе изломсено решение задачи об установивжемса пульсирующем движении вязкой жидкости в круглой трубе под действием гирлгонически изменяющегося со временем перепада давлеааа. Основное дифференциальное уравнение ламинарного нестационармго движения в цилиндрической трубе круглого сечения получим тем же путем, который указан в 9 89, с той лишь разницей, что в левой часп сохраним локальное ускорение дги/дг. Будем иметь в цилиндрических координатах ') Гл х !и!намина иесжиз!Аемои Вязкоп жидкости 410 соответственно преобразуем граничное условие (! 38) А, ы гр (а, т) = — — вйп — т.
м ч (142) Уравнение (141) относится к параболическому типу и совпадает с уравнением геалоироводности. Поставленная задача эквивалентна задаче распрос!ранения тепла в бесконечном цилиндре, на поверхности которого температура пульсирует со временем по закону (142). Составим частное решение уравнения (141) в форме произведения функций от г и т ср=)с(г)е *", (143) где Л вЂ” пока неопределенная, но действительная величина.
Подставляя (143) в (141), получим для определения У7(г) обыкновенное линейное уравнение втг рого порядка + — — + УЛ)г = О. (144] Лгз г хг Частное решение его, конечное при г=О (на оси трубы), будет') Р(г) ==У,(г)УЛ!) =Ьег(г)[Л) — ! Ье! (грЛ). (143) Здесь У,(х)У!) — бесселева функция нулевого порядка от комплексного аргумегиа, а действительные функции Кельвина Ьег(х) и Ье[(х) представляют собой действительную и взятую с обратным знаком мнимую части У„(ху!) (Ке — действительная часть, 1гп — мнимая часть) хз хз Ьег(х) =гсеУз(х 1/О) =1 — — + 2'4з 2'4з6'8з (146) г — * хз х'з Ье! (х) = — 1ш У, (х тУ !')— 2з 2з4'вз 2з4з6'8з!Оз ВЬег (а ~) — СЬе! (а1гУ вЂ” ") =О, ВЬе! (а фгг — ) + СЬег (а ~) = — .
') См, например, Грей Э., Мэтьюз Г, Б. Функции Бесселя и их приложения в физике и механике.— Мз ИЛ, !949, с. 39; применяемая нами формула (145) легко выводится из формулы (64) цитируемой страницы курса переходом от функции Уз к У, от соответствующего аргумента. Таблицы функций Ьег(х) и Ье1(х) можно найти в книге: Я н к е Е., Э м де Ф. Таблицы функций.— Мз Наука, 1977. Вводя комплексную постоянную интегрирования  — гС, составим. общее ре!Ивине уравнения (141) в виде действительной части выражения ср(г, т) = Ре(( — гС) [Ьег [г )/Л) — !Ье((г [/Л)) (совЛт — ! в!ИЛт)) = = В [Ьег (г'[УЛ) сов Лт — Ье( (г 4УЛ) в!ИЛт)— — С [Ье( (г )I Л) сов Лт + Ьег (г )У Л) яп Лт).
(147) Подставляя это выражение в граничное условие (142), приравнивая аргументы тригонометрических функций и коэффициенты при одинаковых тригонометрических функциях, получим систему уравнений для определения Л и констант В и С Л= —, т 411 З Зт ПУЛЬСИРУЮЩЕЕ ЛАМИНАРНОЕ ДВИЖЕНИЕ Вычисляя константы, найдем Ье! (а )г — ) В— У Ьег' (а р/~ ) + Ьен (а рг — ) (148) Ьег (а )г — ) С— А Ьегз (а )à — ) + Ьегз (а )г' — ) Возвращаясь к переменной Г=т/у и подставляя полученное значевке гр(г, т) из (147) в (140), окончательно получим следующее выражевве для искомого распределения скоростей: Ье! (а з)гг — ) Ье! ( г ~) в(г,1)= — 1 Ьегз (а врг — ) + Ьеи (а $/ — ) Ьег (а рг — ) Ьег (г рг — ) Ь '(а1 — )+Ье!'(а~) Ье (а 5)/ — ) Ьег (г ~) — Ьег (а ~) Ье| (г ~) совету .
(149) Ьег'(а рг — ) + Ье!'(а )г' — ) Входящие сюда функции затабулированы, так что вычисление эпюр скоростей в различные моменты времени не составляет труда. Чтобы дать некоторое представление о характере изменения эпюр сыростей со временем, приводим на рис. 157 заимствованные из ранее кроцатированной статьи Лямбоси эпюры скоростей в указанные на оси з5сцисс моменты времени для значений параметра а 1/ — =2,849 и 7,237, т кмхкгщихся корнями функции Ьег(а)гоз/т), что облегчает вычисления по формуле (149).
Судя по этим кривым, убедимся,что при рас- а)ф=г555 а)'т =325!' сгевочеыми слоями. гг л гг лга5а тг л гг хазк„ У Т 2 г Б Решение задачи о приведе- ввк в движение покоящейся в круглой цилиндрической трубе вязкой жидкости под действиек внезапно приложенного заданного постоянного перепада давления кожно найти в монографии Н. А. Слезкина' ). ~) Слезки и Н, А.
Дииемике лизкой иесжиизеиой жидкости — Мл Гостехиздет, !555, с. 322 — 326. 412 гл. х. динкмикь насжимьемои вязкои жидкости В правой части уравнения (137) в этом случае надо принять ((Г) =- сопз! = — Р Ьр а начальное и граничное условия будут ш=О при (=О, в=О при с=а. Решение этой задачи сводится к рядам, содержащим бесселевы функции. Отсылая за выводом к только что цитированной монографии, приведем формулу распределения скоростей , Л Г,ь " (' чФ ') 30(ЛК!а) 1 ш(г,()=а' Р 1 — — — 8 'Яехр ~ — — ~ — 4„,(~ .а „~ а.~ Л,У,(Ль)~ В этой формуле Ль — корни уравнения 7,(Л„) =О, а 7, и У,— бесселевы функции нулевого и первого порядка.
Первые два слагаемых в квадратной скобке выражают установившееся (прн 1-ььь) движение и соответствуют ранее уже полученной параболе Пуазейля, Приведем еще формулу секундного объемного расхода Все рассмотренные в настоящей главе примеры движений вязкой несжимаемой жидкости основывались на точном решении уравнений Н а в ь е — С т о к с а, которые в связи с отсутствием в прямолинейном установившемся движении конвективного ускорения были линейными Приближенные решения, получаемые благодаря пренебрежению коявективными членами и, тем самым, линеаризации уравнений Навье— Стокса, так же как некоторые точные автомодельные решения нелинеаризованных уравнений и численные решения неавтомодельных задач, будут рассмотрены в следующей главе.
5 93. Диссипация механической энергии в потоке вязкой жидкости. Вариационный принцип Гельмгольца В отличие от случая стационарного движения идеальной жидкости, полная механическая энергия в потоке вязкой жидкости ие сохраняется, а рассеивается в пространстве. Это явление называется диссипацией механической энергии. Дисснпация происходит за счет той части работы (мощности) внутренних сил, которая определяется вязкостью. Для выяснения количественной стороны этого явления вспомним, что, согласно второму закону термодинамики, необратимые потери механической энергии в виде превращения ее в тепло связаны с ростом удельной энтропии з среды. В свою очередь приращение энтропии определяется в соответствии с основным (первым) законом термодинамики равенством Тс(з=с„с(Т+рй ~ — ) =йУ+ рй — ), откуда для несжнмае/! / )т Р Р мой жидкости следует в ви Т вЂ” = —. Ф а) Обратимся теперь к уравнению баланса внутренней энергии, в общем виде выражаемому равенством (22) гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
