Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 96
Текст из файла (страница 96)
Тогда уравнение (!63), спроектированное на ось Ог, врвнет вид — =9192 оч воя в полярных координатах при дв1/де=О, согласно (85) гл. 1, Уравнение это может быть переписано в Форме известного уравневвя теории распространения тепла (! 64) Интегралом его, удовлетворяющим начальному условию й=О при 1=6 я г)0 и граничному условию 11 -0 при г-+-со служит известное ренояяе типа «источника тепла» О= — е (165) в вен легко убедиться простой подстановкой этого выражения в ураввовве, начальное н граничное условия. Чтобы найти величину А, воспользуемся теоремой Стокса и напишем, что в любой момент времени явтенсивность вихревой трубки радиуса г Г ~ 41 2лгйг о ровна циркуляции скорости по окружности радиуса г, равной !г 2лг. Будем иметь Г И и "'= — ) — е "' 2лгйг= (1 — е "') 2лг,) г 9 я,сравнивая с начальным распределением скоростей !г= — при 1=0, г) О, Г 2лг 9-9487 Гл х динамика несжимхеьюи ВязкОЙ )кидкости 448 найдем г А=— 4лч Таким образом, получим окончательные формулы: распределении вихря н г 4ле! (166) и распределения скоростей )г= — (1 — е 4 Г), 2лг (167) Легко убедиться, что полученные результаты соответствуют автолзодельному решению уравнения (164), которое существует в связи с отсутствием в постановке задачи масштабов длин и скоростей.
Тривиальное решение уравнения (164) й— = 0 и )Г=О не удовлетворяет усло. вию заданной интенсивности вихря или циркуляции Г. Проанализируем полученные результаты. В начальный момент времени 1=О движение повсюду (г)0) было безвихревым. После удале. ния источника завихренности, т. е. при !)О во всем пространстве мгно. венно возникло некоторое распределение распространяюшейся завнхренности, которое представляется быстро убывающей с возрастаниеи расстояния г функцией (166).
Завихренность в центре (г=О) монотонно убывает с ростом времени, а в точке, находящейся на некотором рас. стоянии от центра, сначала возрастает, а затем убывает до нуля при !=со. Рассмотрим какую-нибудь окружность радиуса г=а. Изменение со временем завихренности в точках этой окружности представится в виде Р' (Г1) — е ам 4лщ Исследуя эту функцию на максимум — минимум, заключим, что в момент времени ! =а'!(4т) завихренность достигнет своего максимального значения о Г Г 4лое1„, ла'е ') К оч и и Н. Е, К и бель Н А., Розе Н. В. Теоретическая гилромехаиика Ч ! !.— Мз Физиатгиз, !963, с. 463 — 460 При дальнейшем возрастании времени завихренность будет убывать.
Об общем характере зависимости от времени завихренности в точках, находящихся на разных расстояниях от центра, можно судить по кривым, приведенным на рис. 158. Кривые распределения скоростей в различные последовательные моменты времени приведены на рис. 159. Пользуясь полученными формулами и графиками, можно составить общее представление о явлении диффузии единичноаа вихря в безгра. пичной вязкой жидкости. Более сложно с математической стороны ре.
шается вопрос о диффузии в безграничной вязкой жидкости вихревой трубки конечных размеров, а также плоского и цилиндрического вихревых слоев'). 419 а иэ диФФузия знвихгенности Уравнение (!64) в этом случае остается в силе, но начальные услоиии усложняются и принимают вид й(г, 0)=сонэ(=й, прн 0(г(а, й (г, 0) = 0 при г ) а. Отсылая интересующихся к только что цитированному руководству, арнведем окончательный результат: и:;ь й,е»чэ ~ ( — ) 1»( — ) при г)а, »=» й(г, т) = (168) й,— йье "' ~" ( — ) 1„( ~') пРН г(а, »=0 тае 1„ — бесселева функция, определяемая через бесселеву функцию 1„(г) с мнимым аргументом равенством 1» (г) = — 7» (эг).
! (169) Желая определить быстроту рассеивания завнхренностн в завнсииаета от начального радиуса вихревой трубки а, заметим, что по второй из формул (168) а' й(0 1)=йо(1 — е 4»э), (170) и чтобы оценить время релаксации т вихревой трубки конечного 0$1гн Гэн Гэт Рис. 159 Рис 158 раануса а, т. е.
промежуток времени, по истечении которого й в центре трубки достигнет половины своего начального значения, найдем, решая уравнение ! » д» а» = 0,36 —, 2 4У1п 2 Если жидкостью является вода (у=0,01 см'/с), то т=36 а', так что ирна=! см время релаксации будет равно 36 с. Для воздуха (т= =0!33 см')с) т=2,7 а', т. е. прн а=1 см т=2,7 с. При а=1 м т окажется равным 450 мин (!). Эти соображения, заимствованные из статьи Н, Е. Ко ч и н а, помещенной в только что цитированном руководстве (е. 458, 459), будут полезны в дальнейшем при рассмотрении релаксаИавнных явлений в мелко- и крупномасштабной турбулентности.
Заметим, что диффузия вихрей тем значительнее, чел! мельче их размеры; быстрее всего релаксируют мелкие вихри. гл х динхмикА иесжимАемОЙ ВязкОЙ жидкости ч 95. Диффузия тепла и вещества в потоках несжимаемой вязкой жидкости Считая вязкую жидкость несжимаемой, т.
е. не изменяющей прз движении свою плотность, откажемся от ее изотермичности и однород. ности, но вместе с тем удовольствуемся тем простейшим случаем, когдз переменность температуры и концентрации примеси не влияют на вяз. кость, теплопроводность, теплоемкость и другие термодинамическке свойства жидкости, в частности, ца коэффициент диффузии примеси, При слабых нагревах среды отвлечемся от лучистого теплообмена н бу. дем считать перенос тепла полезностью осуществляемым теплопровос. ностью.
Имея в виду важность в некоторых случаях учета свободной кон- векиии, возникающей в среде за счет разности ее плотностей в иеодне. родном поле температур, включим в рассмотрение объемную архаке. дову силу Р= — д. Лр р Понятие об архимедовой силе, действующей на твердое тело, по. груженное в жидкость, непосредственно обобщается на случай жидкого тела плотности р, отличной от плотности р, окружающей его жидкоста. Возникающая при этом равнодействующая силы тяжести рйбт элемек.
тарного объема бт и приложенной к нему архимедовой силы ( — р,яйт), будучи отнесена к элементарной массе р бт, даст ту объемную силу которая должна учитываться при составлении дифференциального урез. пения свободной конвекции жидкости. Вводя термический коэффициент расширения жидкости !1, определяемый равенством "=Рйт, р где Ьр и тзТ вЂ” соответственно «избыточные» плотность и температура, можно представить Г в форме Г= рот. (171) Уравнения Навье — Стокса (30), характеризующие динамическую сто.
рону явления, будут иметь вид — + (Г 1) к'= — — 'дгайр+~д ЬТ+чРЧ', д~ р (172) о!ч К=О. Для вывода уравнения распространения тепла в несжимаемой сре. де — случай газа рассмотрен в 5 149 — используем общее уравнение баланса энергии (22) гл. 1У, положив в нем ()=сТ, где с — теплоеикость среды, а Т вЂ” абсолютная температура. Для вектора потока теп. ла д, отнесенного к единице площади и единице времени, примем закон Фурье д= — Апгай Т, (173) где Х вЂ” коэффициент теплопроводности среды. Удельный приток тепла рс (на единицу объема) извне к данной точке среды определится пре.
делом рд = — ! !ш 1 д„йо =1!ш — ~ (Х йгай Т)„ао = б!ч (Х пгаб Т). «О т « $55. ДИФФУЗИЯ ТЕПЛА И ВЕЩЕСТВА В ПОТОССАХ ЖИДКОСТИ 421 8 случае однородной среды с постоянным коэффициентом теплов)пводвости Л этот приток тепла определится равенством рд=Л б(ч пгаб Т=Лт75Т. Мощность внутренних сил, входящая в уравнение (22) гл. ГЧ, как зм было показано в $93, в случае несжимаемой вязкой жидкости своМтся к диссиаируеясой в тепло механической энергии (155), при малых скпростях, точнее, малых числах Маха ничтожна и может быть опуше.
пв; вто непосредствено следует из предпоследнего безразмерного уравпмкя (33) гл. ХЛс, в котором члены, содержашие диссипацию механипмкой энергии, пропорциональны числу Маха в квадрате. Искомое уравнение теплопроводности, иногда именуемое уравнением баланса телла, примет вид лт — + )т дтас( Т = — У'Т = аГ'Т, 2 дс рс (174) це константа а носит наименование коэффициента телсиерагуросзроводппстк. Уравнение (174) присоединяется к уравнению (172), образуя с ппк общую систему уравнений процесса теплопередачи в несжимаемой среде. Применим к этой системе уравнений обычный прием теории подобия, мужащнй для установления чисел и критериев подобия.
Составим систему безразмерных уравнений 5)з — + (У' Г) У' = — Еи ягасГ р'+ — а'+ — У "в™, ас Рт Ке (175) 5)з — + У' дгасГ Т' = — 57' Т'. д!' Ре нам уже по предыдущему чисел Струхала, Здесь, помимо известных Эйлера я Рейнольдса 5)з = —, Р Еи= —, ру' ' УЕ ке =— Ч (176) появилось число Пекле И. Ро= —, а (177) и, кроме того, число Фруда имеет специфическое для неизотермического Пвпжеиия жидкости значение (спТ вЂ” масштаб перепада температур) Рт=— Уе 1 (178) ле рат ' Укажем, что вместо чисел Пекле и Фруда обычно пользуются двумя м комибнациями с остальными числами подобия (176); числом йрвндтля Рт, равным отношению числа Пекле Ре к числу Рейяольдса йо Ре ч Ис (179) вчяслом Грасгофа Ке' рос Ат бг= — = РТ Чз (180) Число Грасгофа используют при изучении явлений свободной конппкйии, так как оно не содержит масштаба скорости, отсутствующего в задании свободной конвекции. гл х динлмикл несжимлемоп вязкоп жидкости Перейдем к рассмотрению близкого к предыдущему явления расвро.
странения (диффузии) примеси в однородной среде — «носителе», От. сылая за подробным описанием диффузии к 9 !49, заметим здесь, что явления теплопередачи и массопередачи находятся в тесной связи в допускаьот одну и ту же математическую модель. Аналогом векторз потока тепла д (173) в процессах диффузии вещества служит вектор плотности потока массы РСьг' примеси, содержащий, кроме плотности, скорость диффузии 5г' и концентрацию примеси С (сохраняя обозначе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
