Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 100
Текст из файла (страница 100)
г) Петро в Н. П. Трение н машинах и влияние на него скалывающей жидкостн.— рякеаериый журнал, 1883 г. См. также сборник статей егидродянамнческая теория гавана (иод ред. Лейбеквона Л. С.).— Мл ОНТИ, 1934. п постоянные С, и С, определить иэ граничных условий (24). Опуская простые выкладки, получим ГЛ. Х! ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИИ НАВЬŠ— СТОКСА 434 Перейдем ко второй задаче, решение которой было выполнено Рейнольдсом и Рэлеем'). Удовольствуемся плоским случаем (У,=О), зададим (рис. !63) отрезком С0 опорную плоскость ползуна, а отрезок ОВ расположим в плоскости, вдоль которой ползун движется (отрезок ОВ равен проек.
77 ции С0 на эту плоскость). Угол между С0 и ОВ считается малым, так же как и среднее расстояние между С й 1! этими плоскостями в интервале ОВ. I Предполагая перемещение ползуна ~о поступательным, прямолинейным В д равномерным со скоростью (7, парал. о' лельной ОВ, обратим движение, сообщив рисунку такую же скорость в про. тивоположном направлении. Ползук при этом представится неподвижным, а отрезок ОВ будет двигаться в плоскости со скоростью с7 в направле. нии от широкой части щели В0 к узкой ОС. По свойству прилипання вязкой жидкости к твердой поверхности она будет увлекаться в том же направлении. Обозначим через )з, и й, соответственно высоты выходного и вход. ного сечений щели, 77 — текущую ординату отрезка С0, а — проекцию С0 на ось Ох, направленную вдоль ОВ, как это показано на рисунке.
Уравнение отрезка С0 зададим формулой (30) где Й вЂ” постоянный коэффициент, равный м= — ' — 1) О. АО (31) Заметим, что (штрих означает производную по х) й' = — О. о (32) При составлении уравнений движения вязкой жидкости, увлекае. мой в клинообразную щель движущимся отрезком ОВ, примем во внимание тонкость щели и непроницаемость стенок, ограничивающих щель.
Это позволит считать поперечную скорость Уз пренебрежимо малой по сравнению с У„, а производную да У„/дуз значительно большей, чек даУ„7дх'. Пренебрегая, кроме того, конвективными членами, приведем систему уравнений Навье — Стокса к виду д Ук др др дУ дух — — О= —, — "+ — "=О.
дуз дх ' ду' дх ду (33) Граничные условия будут: У„= — (7, У,=О, 1'„=О при у=О, 1'„= О при у = й, (34) х=О и х=а, р=р, при причем последнее условие соответствует выравниванию давления вне вязкого клина. ') Сошлемся на два наиболее доступных источника Л а мб Г. Гндродннамнка: Перев. с англ.— Мл Лз Гостехнздат, 1947, с. 730, 731; Т а р г С. М.
Основные задача теории ламннарных течений.— Мл Л,: Гостехнздат, 1951, с. 3!9 — 324. т 98 ДВИЖЕНИЕ МЕЖДУ ВРЕЩАЮЩИМИСЯ ЦИЛИНДРАМИ 435 Интегрируя обе части первого уравнения системы (33) по у и прннкмак во внимание граничные условия (34), получим (Ь' — ЬЬ) — — (" — Ь). ЕР т гз (35) 288 тчх А Условие одинаковости расхода жидкости сквозь любое сечение потока дает ~ *у',8(у = сопз( о ккк,после подстановки У„из (35) и интегрирования, Ь~ ор — — +ий=с 5(. бзт ах (7Ь =сопзй Исключая константу, из последних двух уравнений получим — "' — "' + (УЬ = иЬ., 6Зт тчх откуда следует — = — — (Ь вЂ” Ь.) ВР бии Дх (36) йнчнслив в точке х=х„производную (з('р)г(х')„= — бут(/Ь'(х )/Ь', убедимся в том, что в силу условия (32) она имеет отрицательное значение. Отсюда следует, что в точке х=х давление максимально. Перейдем от аргумента х к Ь, используя для этого основное геометркческое соотношение (30), согласно которому ДР вР иь ь, вр — = — — =Ь вЂ” —, Вх ВЬ Вх а ВЬ ' Перепишем после этого равенство (36) в форме тчр бноЗа И Ьт (37) ВН ДА Нт к проинтегрируем его по Ь; будем иметь (38) Используя граничные условия (34) и равенство (30), найдем постоянние интегрирования Ь„и Ь: 2Ьо (39) 2 + х бр з.зо Ь=ро— длт 2 + Д о Подставляя эти значения постоянных в (38) и возврашаясь к перекенной х, получим следующее окончательное выражение для р(х): + бнаСЗ ) а 3 1+А ат Ьтд ~ а+ Дх 2+ Д 2+ Д (а+ Дх)т 1 (40) Судя по последнему граничному условию системы (34), в промежуточной точке с абсциссой х„в интервале 0<х Са должно выполнятьтк условие др!Йх=О.
Вводя обозначение Ь=Ь при х=х, из предыдущего равенства найдем ГЛ. Х!. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИИ НАВЬŠ— СТОКСА причем абсцисса х„, как это непосредственно следует нз (30) н первогю равенства системы (39), будет равна а х 2+А' Решим теперь основной вопрос о величине направленной вдоль Оу силы 1«, поддерживающей ползун. Имеем по (40) (над СР давление равно р,) а 1 ~(р р)йХ 6Рйао ~1П(1+ А) га (42) Аок' 1. 2+А1 о о Сила )с достигает своего максимума при йж1,2, т. е.
при й,/п,-22, к равна прн этом иа* Л. =0,16р —. Ао (43) Для определения сопротивления Г движению ползуна найдем сяа. чала напряжение трения т на его опорной поверхности илн, что все равно, в силу малости угла раствора клинообразной щели, на отрез. ке ОВ откуда, согласно (35), и А ар т=(А — — —— А 2 о(х и, после подстановки значения ар7с(х по (36) и й по (30), и ( 4а 6(! -Г-Ц ао т — )»в А, 'Е а+Ах 2+А (а+Ах)о 1 (44) Интегрируя по х от х=0 до х=а, определим полную силу сопротивле- ния движению ползуна Раи ( 4 1„(1+ „6 2+А) (45) Коэффициент трения, условно определяемый отношением величини сопротивления к величине поддерживающей силы, как видно из формул (45) и (42), пропорционален йо/а, т.
е. очень мал. Отсылая за дополнительными сведениями к цитированным выше источникам, проиллюстрируем основной факт достижения больших поддерживающих сил ползуна за счет малости зазора между опорной по. верхностью ползуна и плоскостью его скольжения. При оптимальном значении отношения й,/й,=2,2 рассмотрим случай квадратного в плане ползуна, а=0,1 м, Ь,=10-' м, (7=1 м(с, (А=0,706.10-' Н с/м'. Расчет по формуле (43) показывает, что в этих условиях )с „достигает значения 1130 Н. Это делает понятным существование больших поддерживающих сил в обильно смазанных подшипниках скольжения и указывает на главную причину образования таких сил — эффект «вяз. кого клина».
При й 1,2, соответствующем максимальной поддерживающей силе, будет )а = Р „= 0,753 г' (46) Ао 4 зз. ГидродинАмическАя теория смАзки пОдшипникА 437 Найдем абсциссу х„ точки приложения равнодействующей лс расаредеаенеых по отрезку СО элементарных поддерживающих сил. С этой йеаыо составим момент равнодействующей Ес как интеграл (малость )тда раствора «клина» позволяет принять косинус этого угла равным единице) е 1с = ~ (р — ре) х л(х = " (бй + й' — 2 (3 + 2Ф) 1п (1 + й)), (47) 2АОА (2+ й) пмле чего абсцисса х, определится как х,=Ьс))с, т.
е., согласно (42) и (47), будет равна хн ба + Аз — 2 (3 + 2й) 1и (! -1. А) а. (48) 2й((2+ А) 1и (1+ й) — 2й) Прн й=!,2 будет ха-0,42а, т. е. точка приложения поддерживаюцей силы 17 находится не посередине несущей поверхности (отрезка Сй), а несколько ближе к точке С, что объясняется значительным сдви1сн точки максимума давления (х„=0,31а при л=1,2) к левому краю подзуиа.
9 99. Гидродииамическая теория смазки подшипника. Плоская задача Переходя к более близкому к гидродинамической теории подшипзнка случаю эксцентрического расположения шипа по отношению к подшипнику, рассмотрим следующую задачу 3 о м м е р ф е л ь д а '). Будем арееебрегать «концевыми» эффектами в подшипнике, иными словами, примем, что подшипник имеет бесконечную длину в направлении оси вращения, а движение в зазоре между шиши и вкладышем подшипника является лазским. В втой схематической постановке задача м смдется к рассмотрению движения вязкой несжимаемой жидкости между двумя экс- д аентрично расположенными окружностями (рис 164), из которых одна с центром в г яяхе О' (внешняя) неподвижна, а другая )х (внутренняя) с центром в точке О вращаетса с заданной угловой скоростью оз, причем зксцентрнситет е=О'О принимается очень Гмдым по сравнению с радиусами окружностей )( и Я'))х е«)с, Я'.
Рис. 164 Диапазон изменения радиус-вектора г в зазоре между окружностянн будет)(<г<й+й. Используя последнее условие и считая движение жидкости в зазоре наяду окружностями медленным в том смысле, что можно пренебречь знерцнонными членами по сравнению с членами, учитывающими вязкие сыы и изменение давления, приведем уравнения Навье — Стокса в поларных координатах ((33) гл.
Х) к упрощенному виду У~~ ! др д'У, др дУ 1 дУ вЂ” — — — — — ' -1- — — е = О. (49) дгз г дю дгз дг дг г дю ~) Си. ранее цитированный сборник «Гидродинаыическан теории смазки»/Под ред. йейбен зон а Л. С вЂ” Мл ОНТИ, 1934, а также Т а р г С. М. Основные задачи тео)зз ланннарных течений.— Мл Гостехнздат, 1951, и ранее уже цитированную ыоногра(нюСаезкин а Н. А ГЛ.
Х! ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИИ НАВЬŠ— СТОКСА 4ЗВ При составлении этих уравнений учтена относительная тонкость зазора, позволяющая считать, что УУ, 1дУ, ! даУ 1 дУ, У ~~У. Ч~ Ч Р а дга г дг аа дфа га дф ' г' дУг ! дУ~ ! дУ 1 дУ Уг дУа 1' дга г да га дфа г' дф г- дг г По той же причине дЧ', да У Г ~ т дга дга и из первых двух равенств системы (49) следует г — ((— др др дг дф что позволяет в дальнейшем принять д' =О, р=р(р), дт Кроме того, в последнем уравнении системы (49) можно заменить вне знака производной г на )т, а от переменной г ()т<г<)т+й) перейта к переменной (;=г — !т, изменяющейся в интервале 0<ь<й, где под й =й(ф) =ММ' (рис. !64) понимается местная толщина зазора между цилиндрами. Ее легко разыскать из треугольника О'ОМ',.положив приближенно О'О соз рр+ ОМ' = О'М', или е сов ф+ )г+ й = Й'. Вводя в дальнейшем обозначение )с' — ат=е и относительный эксцентриситет А=е/е, будем с принятой точностью иметь й(ф) =е — е соз ф= е (1 — А соз ф).
Уравнения (49) могут быть переписаны так: да1' ! др дУ, ! др, р — '+ — —" =О. д0а Ра дф д0 Л дф (50) Первое из уравнений допускает повторное интегрирование по пере. менной 0 и дает у ! ~Р ~а 2рга дф Удовлетворяя граничным условиям Ут=ый при ~=0, УР— 0 при ~=й, получим У = — — (1 — й)1+ — (" — 1) 1 др Карт 2рй дф 6 На рисунке ось Оу проведена через линию центров О'О, так что при выбранном начале отсчета углов ф будет й ы=е — е при ф=О, йааа» е + Е ПрИ ф=я, 4 ОО ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ СМАЗКИ ПОДШИПНИКА 439 Перейдем к средней по сечению зазора й скорости Г„определив се нак А тогда нз предыдущего равенства найдем Ао Ыр ! )~ р = — — + — со!с. !2ррР дрр 2 (52) Проинтегрируем по Г от 0 до й также обе части второго уравнения системы (50).
Тогда, замечая, что по условию неподвижности в радиппьном направлении и непроницаемости обеих твердых стенок будет У,=бири ь=О и ь=й, получим (й(7р) = О, АоР, = Я = сопз1. дрр (53) интеграл которого, если включить новую аддитивную постоянную интег- онронания в определение р, считая, например, р=О при тр=О, будет пасть вид р(ф) = броЖо Г ~ — 121!)т'(;Р Г ,1 А'«р) 3 л «р) (54) Постоянную Я, наперед неизвестную, можно исключить, если воспользоваться условием периодичности распределения давления р(рр+2л) =р(ср), нпн, в частности, соотношением р(2л) =р(0) =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
