Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 104
Текст из файла (страница 104)
Сагпьг. РЫ!. 5ос,, 1111, «, ЗО, р. 365 — 375. ГЛ. Х! ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИИ НАВЬŠ— СТОКСА его жидкость и отбрасывать ее благодаря центробежным объемным сн. лам к периферии диска (в задаче Кармана — в бесконечность). Отвлекаясь от концевого эффекта при т=а, где а — радиус диска, можем применить полученное решение задачи Кармана н диску конечного радиуса а. Вычисляя секундный расход !.) жидкости, отбрасывае. мой центробежной силой с поверхности диска, о Я = 2па ) У, дг, о получим Я = — 0,886паа )/у!и; в полном согласии с (105) (У), па'= Я. (106) В том же приближении определим момент сопротивления жидкоста вращению диска конечного радиуса а о М = — 2п ') гароодт, о где положено !'др р„=р( — ') =рУуопатб'(О). дг,=о Момент сопротивления диска, смачиваемого жидкостью с двух сторон, будет равен 2М = — пра')/то!об'(О) = 0,616лра')/тР, (107) а вводя коэффициент сопротивления 2М см 1 — роооао 2 2лУУО (О) можно получить формулу сопротивления З,В7, по!а см== ! йе=— У не т (108) Формула эта находится в хорошем соответствии с опытными данныин по сопротивлению дисков, радиуса! которых велики по сравнению с толи(ино!1 пограничного слоя на их поверхности, т.
е. по (104) прн больших, но все же ограниченных критическими значениями (см. далее 9 1!8) рейнольдсовых числах, при которых режим течения остается ламинарны,и Подробно изложенный пример точного решения уравнений Н а в ь е — С т о к с а в случае движения безграничной вязкой жидкости при равномерном вращении в ней диска является одним нз наиболее простых и наглядных. Данный пример автомодельного решения далеко не единственный. Так, уже давно был рассмотрен класс автомодельных точных решений, соответствующих плоским радиальным течениям не. сжимаемой вязкой жидкости в конфузоре (диффузоре) с прях!Олнней. ными стенками, пересекающимися в источнике мощности Я !), Замечая, что размерность Я (в плоском движении Щ) = Ю) созна.
дает с размерностью т, убедимся в невозможности выразить по отдель- ') Нагпе! 6. Вр!Га!!опп!Ее Вееедппееп ааанеп Нпаа!Екецеп, оанп — Вег 0!ай, Ма!Ь. Ъ'ег., 1917, Вд. 25, 9. 34 — 60. 4 101 пРименение теоРии РхзхгеРност~ и 455 мстя *г' и Ь через Я и комбинацию физических констант )х и р. Это го- !зрят о существовании автомодсльных решений типа (в полярных коор- пзатах г, е) 1', = — 1, ( —, е), )г, = ~ ), ( —, е), (109) Отсутствие в постановке задачи характерной длины Ь заставляет п)веять функции )„, ), и Р в форме / г Т 5 /г Т !. тг ( Е) Р(Е)г 16 ( г Е) С(Е)г (110) Р ( —, е) = ( — ) Е(е), ттопрнведет к структуре решений )г,= ~ Р(е), )га = — б(е), г г — = — Е (е).
(! 1 1) 13 г 1(е будем воспроизводить выкладки, но заметим лишь, что, подпавляя этн значения скоростей и давления в систему стационарных уравнений Навье — Стокса (33) гл. Х для плоского течения (штрих означает производную по е) будем иметь хт (е) = сопз1, Р" + Рз = — 2Р Р' = 2Р'.
(112) Отсюда вытекает (С вЂ” постоянная интегрирования) Р=2Р+С, !единственная неизвестная функция Р(е) определяегся из обыкновенного дифференциального уравнения Р в+ Р+ 4Р+ 2С= О, (113) ха подробностях интегрирования которого') останавливаться не будем. Пйдчернем лишь, что рассмотренный класс движений, так же как и предыдущий, допускает точные авгоиодельноте решения. Отметим, что мтя подобная пространственная задача с заданной интенсивностью источника уже не будет автомодельной (см. только что процитированное четвертое издание (1973 г.) настоятцего курса, с. 432, 433), но все же анализ размерностей, подчеркнем этот существенный факт, сохранив веебходимость решения дифференциальных уравнений с частными прохтвзднымн, уменьшит число независимых псременных на единицу.
К точным автолтоделоног.и решениям уравнений Навье — Стокса огласится класс движений, рассмотренных первоначально с чисто матема. р н А с '1, х р р. ') См. йозе и Н е а й Е (ед ) Еапппаг Ьонпдагу )ауегз — Ох!огй: О)агепдоп Ргезз, Я3, р, 144 — 150, а тактке Л ой ця иски й Л.
Г, Механика жидкости и газа. 4-е изд.— д! Наука, 1973, с. 491 — 494 ') Сасаки н Н. А. 00 одном случае интсгрир>емости полных дифференциальных )равнений движения вязкой жидкости.— Уч. записки МГУ, вып, 11, 1934, с. 89, 90„ гл \! интсггиговхииг техвнгцт!я !тхвье — стокса ванных Л. Д. Л а н д а у ').
Это — случай пространственных круглщ струй вязкой жидкости, распространяющихся в среде с теми же физц. ческими свойствамп (затопленные незакрученные струи). Воспользуеи. ся сферической системой координат (!т', О, е) с осью, расположенной вдоль оси симметрии струп. Условием незакрученностп струи будет У,=О и равенство нулю производных по е. Автомодельное решение задачи можно получить, полагая — 1'в = — а (Ч), ' ' = ] - ] Р (Ч), !1 !! р 1!т / где вместо 0 оказывается целесообразным ввести аргумент ч=соз8. Подставляя выражения (114) составляющих скоростей У„У, х давления р — р, в систему стационарных уравнений Навье — Стокса (34) гл.
Х и вводя функцию !(Ч), связанную с Р и 6 равенствами (штрах означает производную по Ч) Р (ч) ~ (ч) с (ч) и являющуюся с точностью до множителя т)с функцией тока, придем х системе обыкновенных дифференциальных уравнений ]ур (! т]е)у ]+ 1 +2Р О лч 1 — т!а (116) Из второго уравнения системы (!10) сразу следует (С,— произ. вольная постоянная интегрирования) та ! Р=— т С ь 2 (1 — т!') 2 (1 17) а нз первого после этого легко получить автономное уравнение для 1 (С, — новая постоянная интегрирования) (1 — ч')1" — )')'+ 2~+ с,ч+ — с, =О, которое непосредственно интегрируется и дает (С,— еще одна произ. вольная постоянная интегрирования) 2(1 — т!') тт' — !та+ 4Ч!т+ С,т]'+ С,т!+ С,=О. (118) Уравнение (118) относится к уравнениям типа Р и к к а т и и в известных функциях не интегрируется.
Подстановкой 2 (1 — Ча) д' Ы (119) оно сводится к гипсргеометрическому уравнению — 4 (1 — т!') 'дл+ (С,т!т+ С,Ч+ С,) у=О, которое в случае с,ч +с,ч+с,=А(! — ч ) (! 20) (12! ) имеет простые степснные решения и=(1+ т!), г,= — (1 ! у" !+А). 2 (122) '! Л а ад ау Л. Д. Новое точное решение уравнений Навье — Стокса.— Дока. АН СССР, 1944, т. 44, с. 311 — 314. $101. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТЕН 457 Случаю неограниченной круглой струи, бьющей из точечного источцццц, кцк показал Л.
Д. Л а н д а у (см. предыдущую ссылку), соответстцуцтт значения констант С,=С,=С,=О, а следовательно, и А=О. При ттци функция Х равна 2 (1 — Чз) (123) а+! — ч Задавая струю проекцией на ее ось полного (включаюп!его в себя, !роке потока количества движения, еще давление и вязкие напряжемц) импульса Х вЂ” единственной физической величины, характеризуюяец конкретную затопленную круглую струю из точечного источника,— ццйдем связь между а и Х: — +8(1+а) — 4(1+а)з1оя( ~ ) . (124) 2пртз За (2 -1- о) о В рассматриваемом сейчас случае конечности величины Х мощность щцечиого источника Я должна равняться нулю, так как при бесконечццй скорости жидкости в точечном источнике мощность его О пропорццоцальна первой степени скорости, а Х вЂ” второй степени скорости, что ццц конечности Х влечет за собой равенство нулю (г.
Случай конечности обеих этих величин приведет к появлению двух размерных масштабов длин и скоростей Х РО рО Как раньше было разъяснено, при наличии масштабов длин и скоуцстей движение уже не будет определяться авгомодельным решением уравнений Навье — Стокса. Соответствующее заданию (г, Х, !ц и р неавгеиодельное решение было с математической стороны изучено )) Я, Я ц е е в ы м '), а физическая интерпретация этого решения как мцкекия вязкой жидкости, эжектируемой струей, бьющей из отверстия мцгчной ширины, причем для области вдалеке от источника, была укатана Ю.
Б. Р у м е р о м ') . рассмотренные в настоящем параграфе и другие, не нашедшие в ццк места автомодельньге решения уравнений Навье — Стокса сводились ццитегрированию систем обыкновенных дифференциальных уравнений, которое могло осуществляться различными приближенными или классическими численными методами.
Отыскание общих неавтомодельных рццтеиий, требующее интегрирования уравнений в частных производных, цуедставляло в свое время непреодолимые трудности. Однако сейчас в связи с появлением ЭВМ, прочно вошедших в практику расчетов, больвце развитие получили машинные численные методы, изложению кото)яд, проиллюстрированному несколькими примерами, посвящены погцедиие параграфы настоящей главы. Следует признать, что привлечение всеобщего внимания к этим методам, позволяющим достаточно близко ццдойтн к точным решениям, вполне заслужено. Однако не следует преуцецьшать и значение разнообразных приближенных аналитических методов, представляющих, как правило, решения задач в легко обозримой форде, наглядно выражающей основные тенденции исследуемых явлеццй, В дальнейшем будут приведены примеры как численных, так и приЗццкенных аналитических решений задач механики жидкости и газа').
>З в.и. о ««г зг мцикти.— Журн. зксп. и теор. физики, 1950, т. 20, вып. ! !. 1) Румер Ю. Б. Задача о затопленной струе.— Прикл. мат, и мех., !952, т. ХЧ1, ццк 2. г) Обширный обзор решений уравнений Навье — Стокса смс Бег пег к. !птеяга!зц4ез йцпапопз йп гпончегпеп! б'пп Ппы ч!зйпепх !псогпргезыые.— Напбьпсь Пег РЬуать Вегйп. 19бз, Ч!1, 2, 5. ! — З84. ГЛ Х! ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НАВЬŠ— СТОКСА 458 5 102. Методы численного решения уравнений Навье — Стокса движения вязкой несжимаемой жидкости ') В последние годы исключительно интенсивно развиваются методы приближенного численного решения уравнений гидрогазодинамнка. Именно эти методы и составляют теперь, наряду с физическим экспери.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
