Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 107
Текст из файла (страница 107)
ностной схемы начальные погрешности могут вести себя по-разному. В устойчивых схемах не происходит нарастания указанных погрешио. стей. Наоборот, неустойчивые по начальным данным схемы увеличивают случайные погрешности н ввиду лавинообразного характера этого явле. ния непригодны для работы. Устойчивая схема должна обладать свойствами однозначной разрешимости и непрерывной зависилшгти от входных данных. Второе треба. ванне означает, что малые изменения условий задачи должны вызывать малые изменения решения.
Можно считать, что для схем, записанных в виде 7.,и("(=)(а(, включающем, как уже говорилось, начальные и граничные условия задача, значения входных данных определяются правой частью 1("!. Условие иепрерывной зависимости решения и'ю от входных данных 1(л! для линейных разностных задач означает, что иьо должно быть того же порядка, что и 1(л'. при любой правой части )("', с не зависит от й. Что касается нелинейных задач, то для них пока отсутствуют общие способы исследования устой. чивости.
Априорную оценку устойчивости реальных нелинейных задач вынужденно заменяют подобной оценкой для линейных аналогов зтнх задач, имеющей, разумеется, лишь ограниченное значение. Достоверное определение границ устойчивости возможно в этих случаях лишь в ре. зультате численных экспериментов. Для схем, соответствующих нестационарным задачам (уравнениям гиперболического и параболического типов), наиболее распространен спектральный метод оценки устойчивОСтн. Об устойчивости схемы судят по поведению решений специального вида — периодических по про.
странственным переменным сеточных функций (так называемых гарно. ник) '). Для часто встречающихся разностных схем типа и»+3 Я ип (п,п+1 — временные индексы, ттп — линейный разностный оператор с постоянными коэффициентами) собственные функции имеют вид и„"= =Лпе'"" (Р= — 1, а — волновое число).
Условие устойчивости заключа. ется в том, чтобы собственные числа — амплитуды каждой гармоники, называемые также множителями перехода,— при переходе от 1п к 1»„ возрастали не более чем в 1+0((з!) раз. На практике ограничиваются просто условием невозрастанил по модулю амплитуды каждой рассмат. риваемой гармоники. Так, для схемы с разностью «назад» по х пэ( и и — и +а ' =О, а=сонэ()0 (132) (первое нз разностных уравнений (!27) с опущенным источником 1, аппроксимирующее с 1-м порядком точности по х и 1 уравнение (125) не. вязкого движения) применение подстановки и" =Л"е*"" дает Л = 1 — х + кг"", и = а — ) О.
А! дх ') Сеточные функции пм! указанного вида являются собственнь(ми функциями ли. нейных операторов 1.л с постоянными коэффициентами, т. е. дан("(и Хи("(, а множители Х именуются собстеенныл(и чдслолн (значениями) в полной аналогки с определениями гл. 1. 4 !М МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ХРАВНЕНИЙ НАВЬŠ— СТОКСА 455 Отека устойчива при н(!. Устойчивость подобного типа называют усменой, так как она имеет место при выполнении определенного условия типа неравенства.
Для аналогичной схемы с разностью «вперед» по х л+! л л л + а ' =О, а=сопз1)0 а! Лх (133) — ! р(г бт = ! — (ри бт) = ! р — бт + ~ )х — (р бт) = д! р — бт, ,й~ ~ ~ е! Что приводило к недивергентной форме конвективных членов. д Другим вариантом преобразования интеграла „1 рУбт является зиделение локальной и конвективиой производных и запись последней вформе Эйлера (з 24): — ~ рУ бт = — ~ рУ бт + ~ рУУ«бо = ~ ( — (рр') + 7 (р(гФ') 1 бт, что приводит к дивергентному виду. Так, в прямоугольной декартовой гхстеме координат проекция на ось Ох! безразмерных уравнений Вавье — Стокса несжимаемой жидкости запишется в обычной и в ди- зергеитной формах соответственно: дУ! дУГ д, — + У вЂ” = — — + — рзуг, д! д~» д"т дУГ д др — + — (ю!) = — — + — рч дг дх„дх, Яе (суммирование по й). получается 1=1+и — ие*", и схема безусловно (т.
е. при любых соотношениях между ЛГ и Лх) неустойчива. Приведенные примеры показывают, что даже небольшие изменения !зла аппроксимации могут сделать схему неустойчивой и, значит, нера6отоспособной. Подчеркнем, что если аппроксимация устанавливает соответствие хежду разностной схемой и исходными дифференциальными уравненияхп, то устойчивость является чисто внутренним свойством разностиой мамы и не связана с ее «происхождением», Для линейных задач справедливо фундаментальное утверждение о тои, что из аппроксимации и устойчивости следует сходимость, причем Аерядок точности сходимосги й равен порядку аппроксимации lги Укажем некоторые другие существенные свойства и особенности разностных схем.
2, Консервативность. Исходные уравнения гидрогазодинамики могут 6ить записаны как в обычной, так и в дивергентной (консервативной) фориах. В последнем случае, как уже отмечалось, все пространственные производные выражаются в виде дивергенции соответствующих векторов е гензоров, Для несжимаемой жидкости различие между этими формахз ограничено представлением конвективных членов в виде (У 7) У или 7(УУ), Одна форма сводится к друтой при помощи уравнения неразрывности. Полезно вспомнить, что закон сохранения массы в виде д(рбт)/д!=О учитывался при выводе дифференциального уравнения количества движения на стадии преобразования интеграла (2 21): ГЛ. Х! ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИИ НАВЬŠ— СТОКСА 466 (134) Продифференцировав (134) по Е получим с точностью до величин по- рядка Лх: дли/дг==а'д»и!дх' Действительно, д!«д! д! д! л, дх — а + 0(Лх)~ = = — а — — и+ 0(Лх) = — а — ( — а — "+ 0(Лх)1 +0(Лх)=а' — "+ 0(бх), дх д! дх !, дх д.»« Тогда уравнение (134) примет вид ди ди д'и — +а — =т„—,, д! дл ' дхз где т,„=а Лх(1 — к)/2, и=а ЛГ/Лх)0.
Видно, что первое дифференциальное приближение отличается от исходного уравнения членом т„дли!дхл в правой части. Множитель ч„ естественно назвать коэффициентом схемной (сеточной) вязкости. Прн и<! Т,„>0, и данный член оказывает сглаживающее влияние на реще. Именно благодаря тому, что во втором случае конвективная произ. водная выражена в виде переноса количества движения через замкну. тую поверхность (в дифференциальном варианте его заменяет дивергее.
ция тензора рИт), обеспечивается следуюшее свойство: после суммнро. ванна соотношений такого типа по нескольким смежным объемам оста. ются лишь потоки через внешнюю поверхность суммарного объема, а потоки через соприкасающиеся поверхности смежных объемов взаимно уничтожаются. Подобное свойство можно придать и аппроксимируюшей разностной системе, полученной на основе дивергентной формы исходных диффе. ренциальных или интегральных соотношений. Если при суммировании разностных уравнений по всем узлам сетки получаются выражения, которые содержат только сеточные величины иа границах области, то такую схе»лу называют консервативной.
Ценность данного свойства состоит в том, что разностные аналоги интегральных законов сохранения, например теоремы Гаусса — Остроградского, вм. полняются независимо от шагов сетки. Так, разностный аналог расхода среды через канал с непроницаемыми стенками будет одинаковым в лю. бом поперечном сечении. Неконсервативная разностная схема, вообще говоря, не обеспечит этого свойства. Для многих типов задач наличие свойства консервативности весьма сушественно.
3. Дифференциальное приближение, Схемная вязкость, Если под. ставить в разностную схему разложение функции непрерывного аргу. мента в ряд Тейлора, приняв, что эта функция совпадает с решением им! в узлах сетки, и затем устремить шаг к нулю, то для аппроксимирующей системы все «лишние» члены обратятся в нуль, а оставшиеся образуют исходную дифференциальную задачу. В том случае, когда после подста. новки удержаны еше и главные (т. е. при наименьшей степени и) члены погрешности аппроксимации, то получается первое дифференциальное приближение Если, кроме того, сохранить и слагаемые с и в следующей степени, то совокупность оставленных членов даст второе дифференциальное приближение и т, д.
Очевидно, что о свойствах разностного ре. шения можно судить на основании анализа дифференциальных прибли. жений, причем тем точнее, чем выше приближение. Для примера приведем первое дифференциальное приближение для схемы (132), считая Л! пропорциональным Лх: ди ди А! д'и алх д'и — +а — + — — — — — =О. д! д» 2 д!' 2 дх» з 102 методы численного Решения ъ Рхвиенип нхвье — стОесх 467 зиг, а при х>1 эффект отрицательной вязкости дестабилизирует выззсзения, пряводя к возрастанию ошибок. Полученный результат имеет принципиальное значение. Обратим знхмание на то, что хотя само по себе разностное уравнение (132) позвилось в результате аппроксимации уравнения нгвязкого движения дц/д!+ада/дх=0, поведение разностного решения, как это следует из только что полученного дифференциального приближения, на самом реле отражает свойства некоего воображаемо~о вязкого потока с коэффцциенгол1 вязкости т„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
