Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 109
Текст из файла (страница 109)
5. Схемы, основанные на методе установления. Предыдущие схеыы относились к уравнениям, описывающим нестационарные процессы. Од. пако и для решения задач в стационарной постановке Еи=1 (оператор В содержит только производные по пространственным переменным) часто предпочитают пользоваться аппаратом, развитым для нестацио. парных задач. Для этого к уравнениям добавляют частные производные по времени от искомых величин, переводя задачу в класс гиперболических или параболических.
Стационарное поле величин получается как предел, к которому стремится при больших 1 решение нестационарной задачи. Такой подход, являющийся по существу итерационным, и пазы. вают методом установления. Примеры применения этого метода ветре. тятся в дальнейшем. Конструирование схем установления предполагает ббльшую свободу действий в обращении с производными по времени, чем при решении собственно нестационарных задач, поскольку при установлении эти члены обратятся в нуль.
Величина шага ог определяется уже не точностью расчета временных зависимостей, а только быстротой сходимости к стационарному решению. В связи с этим более оправданным становится применение неявных схем. Перейдем теперь от общих вопросов к выяснению тех свойств уравнений Навье — Стокса несжимаемой жидкости, которые предопределяют постановку и особенности их численного решения. Поскольку эти уравнения содержат оператор Лапласа от проекций скорости, то сами уравнения относятся к эллиптическому или параболическому типам соответственно для стационарных или нестационарных задач. Это же определяет и постановку граничных условий для скорости — на всем контуре расчетной области, как, например, для температуры в задачах о распространении тепла в теплопроводящей среде.
Но задачи о движении вязкой жидкости значительно сложнее последних. З !Ое метОды численнОГО Решения уРАВненип нАВье — стОксА 471 деполнительные проблемы заключаются не только в нелинейности, но за присутствии в уравнениях движения еще одной неизвестной функции, епределяющей характер силового поля — гидродинамического давления. В структуре уравнений Навье — Стокса несжимаемой жидкости дав- ление занимает особое место. В отличие от задач о течении сжимаемой среды, давление не может быть выражено в этом случае через какие-либо другие физические пере- цеавые.
Так как в системе нет частной производной от давления по вре- цеца,то для него нельзя сформулировать задачу с начальными условия- цц и непосредственно применить метод установления. Действительно, если наряду с начальным распределением скорости со свойством б!ну(х, у, г; 1,) =О все-таки задать некоторое поле давления р(х, у, г) пра1=1„то из уравнения движения можно будет найти ду/д1 и, следо- вательно, скоростное поле в следующий близкий момент времени 1,+д1. Однако эта функция уже не будет, вообще говоря, подчиняться уравне- на!о неразрывности д!и Р(х, у, г; 1,+а11) =О. Отсюда следует, что поле давления должно формироваться в каждый момент времени так, чтобы обеспечивать постоянную соленоидальносгь поля скорости (отсутствие источников или стоков). При построении разностных схем именно этот аспект задачи диктует применение ряда специальных приемов.
Поскольку давление входит в уравнение под знаком градиента, то она определяется с точностью до произвольной постоянной. Задание этой пьстоянной (выбор уровня отсчета) в принципе должно быть единствен- аыц граничным условием для р. Вместе с тем при численном решении рада задач иногда используются и другие комбинации условий для ско- рости и давления. В основе решения лежит, как правило, одна из двух форм записи уравнений: а) в переменных функция тока — вихрь и б) в «естествен- ных» переменных скорость — давление. Подробный сравнительный ана- лцз каждого направления приведен в цитированной книге П.
Роуча. В первой группе методов давление исключают из системы посредст- аьц операции вихря, т. е. используют уравнение переноса завихренности (4 94). В случае двумерных течений остается только одна компонента О=го(У, а уравнение несжимаемости выполняется благодаря введению функции тока ф, Приведем соответствующие уравнения в безразмерной форме для папского движения: дй дй дй ! /дай дай ! — +и — +о — = — ~ — + — ), дГ дх ду Яе ~дт' дуа) ' (! 35) Ц. ф ! Ду ! . ! ! О(луь) /дЦа Д ууа ! даЦ У (, ду)а 2 (, дуа )а Применяется и консервативная форма с записью конвективных членов в виде д(ий)/дх+д(о!))/ду.
Система двух полученных уравнений с двумя неизвестными состоит из параболического уравнения переноса вихря ()35) и эллиптического уравнения Пуассона (!36) для функции тока. Новой задачей является определение отсутствующего в физической постановке Граничного условия для вихря на твердой стенке. По сути, прц использовании переменных »1 и ца это условие является приближенная эквивалентом обычного условия прилипания. Рассмотрим для причера вывод приближенных разиостных условий для вихря на твердой поверхности у=О при выполнении условйй прилипания и,=о„=О, ц,= =сонэ!. Раскладывая ца в ряд Тейлора по направлению у около стенки (ц,— значение ф при у=Лу) ГЛ ХГ.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НАВЬŠ— СГОКСА и принимая во внимание, что (дф)ду),=0, (д'ф/ду')о= — !г„получки условие Тома первого порядка точности 1фо — Фд (137) Луо Если выписать в разложении следующий член ряда — ~ — ) я ауо г доф т 6 дуо ~о учесть, что (ар) (Ва) ао — а, +, то можно прийти к формуле Вудса второго порядка точности + () (!о фг) Ьуо Возможны и другие варианты граничных условий для ьг иа стенке'). (138) б) а) Рис.
170 Порядок числеииого решения системы (!35), (136) следующий. Пусть при 1=1„известиы сеточные функции ьз", ор", и", о". Тем или ииыи способом аппроксимируются производные, входящие в параболическое уравнение (135). Предположим, например, что применена явная схема первого порядка относительно Л1 = — (!г" Тг) ь1" + — 17аьг" ЛГ ке (139) ') См., например: Г р аз нов В.
А., Поле ж а е в В. И. Исследование некоторых разностных схем и аппроксимирующих граничных условий для численного решения уравнений тепловой конвекции.— Препринт ИПМ № 40, 1974; Тару ни н В, Л. О выборе аппроксимирующей формулы для вихря скорости на твердой границе при решении за. дач динамики вязкой жидкости.— Численные методы механики сплошной среды, 1979, т. 9, № 7.
с шеститочечиым шаблоном, изображенным иа рис. !?О, а; для краткости приняты условные обозначения для разиостиых аналогов прострак. ствеиных производных, совпадающие с обозначениями обычных производных. Соотношения (139) дают зиачеиия ь1"о' при 1„,=7„+Л! во внутренних узлах сетки и одновременно правую часть сеточного уравнения Пуассона (136), предназначенного для определения ф"+'.
Это уравнение с необходимой точностью решается одним из многочисленных методов (прямым, итерационным, установления). Далее численным диффереи. цироваиием ор'ч' вычисляются и"+' и и"+' [например, с использованием симметричных разностей: и"+'(х, у,) = и"" ,= (Ф"+,'„— ф";,' г)/(ау)! и по формулам (137) или (138) — значения завихреииости й"+' иа гра. нице области, необходимые для следующего времеиибго шага. В том случае, когда уравнения используются в рамках метода ус.
таиовлеиия, ие обязательно решать уравнение Пуассона (136) на каж. а юа методы численнОГО Решения ЕРАВненип нАВье — стОксА 473 ппм шаге б! с высокой точностью, а достаточно ограничиться малым чиспом итераций. Условие устойчивости явных схем сильно ограничивает величину вага дй Последнюю можно значительно увеличить, если обратиться к паленым схемам.
Такова, например, схема первого порядка точности по времени Я вЂ” аа ()хп х;) <1»+а 1 ! 1-пыл+а Аа Йе (140) (пп шаблон для й показан на рис. 170, б). Схема линейна благодаря ппму, что скорость в конвективном члене взята на нижнем слое. Непосаедственные вычисления по схеме (140) затруднительны, так как, во. первых, требуется обращение блочно-трехдиагональной матрицы, а вовторых, необходимо иметь значения й"»' на границе области, которые в свою очередь зависят от а!а"+' — решения уравнения Пуассона (!36). Вычисления значительно упрощаются, если использовать двухслойные неявные схемы метода переменных направлений или расщепления, шп сводит задачу к скалярным прогонкам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
