Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 110
Текст из файла (страница 110)
Так, схема переменных направлений для й имеет вид »Д л+и Д и 1 Г У л+~ Да пй = — "— Π—." — П + — !,— а *+ — а),(14Ц АУ2 Дх Ду Йе Дха Ду цп+а — Я»+к и Д л,к и Д л+, 1 / Да »,„Да = — и» вЂ” () * — ап — П ! ~ (! '* 1 О АУ2 дх Ду Йе (, Дха Дуа Пппагая а7 Р'=0 и преобразуя второе слагаемое справа, получим Поскольку после дифференцирования повысился порядок производных пт давления, то для замыкания задачи приходится привлекать в качестпе дополнительных условий сами исходные уравнения.
Обычно на гра- Общая идея приведенной схемы переменных направлений заключаптсп в том, что для двумерных задач переход от слоя п„к слою 1„+а пеппется в два этапа с шагами Ы/2: сначала от Г„к п„,о,=п„+ЬЦ2 и мтем от 1„»аа к 1„„. На первом этапе производные от неизвестных велиппп по одной пространственной переменной (например, по х) аппроксиппруются неявно (т.
е. на слое !.+ и), а производные по у — явно (на слое 1„); вычисления заключаются в скалярных прогонках йй"+'и вдоль Отрезков у=оопп!. На втором этапе неявно (на слое !пп,) аппроксимируются уже производные по у, а производные по х — явно (на слое 1„+аа), что требует скалярных прогонок йй"+а вдоль отрезков х=сопз!. Схема (!4!) имела бы второй порядок точности по времени, если бы пп использование значений и", О" в конвективных членах. Кроме того, по.прежнему остаются затруднения с граничными условиями для вихря ппслоях !. „„ 1„»и, которые преодолеваются итерационным путем. По известным и"+', а""а можно найти, если это представляет интерес, сеточную функцию р"".
Непооредственное определение р"" через его градиенты, вычисленные на сетке из уравнения движения, привело бм к результатам, зависящим из-за различных погрешностей от пути численного интегрирования. Поэтому предпочтительнее находить давлеппе из уравнения Пуассона для р, полученного путем применения оперпцни днвергенции к векторному уравнению движения ~ р = — — '(У.~ ) — У.((~ .Т) Р)+ — '!' (~.1), Д1 Йе ГЛ. ХГ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НАВЬŠ— СТОКСА 474 нице области ставят ус говия Нес!»гана, проектируя уравнение движения на нормаль к границе. Обобщение данного подхода на трехмерное течение значительно усложняет задачу.
При использовании векторного потенциала У=Го!с) число скалярных уравнений возрастает до шести. Поэтому целесообразнее рассчитывать пространственные течения на основе переменных «скорость — давление». Такой подход лучше приспособлен и для расче. та потоков с поверхностями раздела. При обращении к «естественным» переменным основной вопрос состоит в разработке такого способа определения давления, который достаточно эффективно обеспечит соленоидальность поля скорости. Будем исходить из системы разностных уравнений первого порядка по времени гг "+ — р'гг лс +(У" ° Ч)У" — — ЧаУ" + Чр=О, Ч ° У '=О, (142) Йе в которой опять приняты условные обозначения для разностных операторов, совпадающие с обозначениями соответствующих производных, и предполагается явная схема для уравнения движения.
Подобно тому как это имело место при использовании переменных уа и гр, возьмем операцию дивергенции (точнее, ее разностный аналог) от обеих частей уравнения движения, т. е. вновь обратимся к уравнению Пуассона для йч — Ч. ЦУ". Ч~У"~ — 'Ч (Ч.У"). Полагая в первом члене правой части Ч ° У"+'=О и решая получившееся уравнение рп Ч р=1= ' Р Ч.((У".Ч)У")+ — 'Ч (Ч У"), (143) дс Йе дополненное упоминавшимися выше граничными условиями, мы должки получить как раз такую функцию р, которая после ее подстановки а уравнение движения (142) дает соленоидальное поле У"+г на новом временном слое.
Подчеркнем, что если в методах, использовавших переменные И е ф, давление было «пассивной» функцией, рассчитываемой на основе уже известного при 1=1„„ поля скорости и не связанной ни с предыдущим, ни с последующим вычислительным процессом, то теперь, несмотря иа известное сходство формул, ситуация в принципе иная. Именно точ. постыл определения поля р из уравнения (143) обусловлена точность выполнения условия Ч У"+'=О. Уравнение (143) чаще всего решается с помощью итераций или методом установления и, следовательно, выполняется с некоторой погрець постыл.
Кроме того, при постановке граничных условий (проекций уран. пения движения на нормаль к контуру) может возникнуть определенное разностное несовпадение с уравнениями во внутренних узлах. В результате на каждом временном шаге разностный аналог уравнения неразрывности выполняется также с погрешностью. Для устранения возможного накопления погрешностей и неустойчивости, вызванных этим явлением, следует учитывать фактическую величину дивергенции око. рости на предыдущем временном слое '). Для этого надо сохранить пер.
вый и последний члены в правой части 1 уравнения (143). ') Н а г!о» Р, Н., ТЧ с!с !с 5. Е. !Чшпег!са! са1сп!аноп о1 1апедерепдеп1 у!агапа гпсогпреаыые Оогг о1 ОВЫ аг111г 1гее апг1асе.— Рьуа, о1 Р1ВЫВ, 1965, У. 8, р№ 12, р. 2182 2189. 8 (м методы численного пептяния тплвнении нлвьв — стокса 475 Такам образом, определение сеточной функции У +' по У" прова(((!!я по явной схеме в следующем порядке. Во внутренних узлах раси!ней области вычисляются по формулам (!43) значения у. Далее репмтся разностное уравнение Пуассона с граничным условием Неймана (определяется давление. После этого на основе разностных проекций (равнения движения рассчитывается У"+(.
Усовершенствованием этого метода является применение так пазы. меяого ()тизического расщепления'). В соответствии с идеей этого метом решение задачи (142) разбивается на два этапа. Ва первом этапе учитываются только конвективные и вязкостные 'мны, что дает вспомогательную сеточную функцию У! тг !гп ! ! (уп р) уп ! г(2уп (! А! яе Сьпоставление уравнений (142) и (144) приводит к связи между У"+', !'н р: +Ур=О, У""'=У вЂ” А!тур. (145) Л! уткам образом, второй этап заключается в добавке к У такого потенгмльного вектора ( — Л! (гр), который обеспечит соленоидальность функции У"".
Для этого следует подчинить р условию Р.У""=ту У-АУту р=О, т, е,, как н прежде, решить уравнение Пуассона для давления аргер (7 тг Л! !(ак видно, в данном подходе благодаря введению сеточной функции У 88ший объем вычислений сокращается по сравнению с изложенным вы- ше Условие для давления по-прежнему формулируется в виде проекции уравнения движения на нормаль к границе. Существует несколько вариантов этого подхода, различающихся маввым образом постановкой разностных граничных условий.
Возмож- ны более существенные модификации метода, не требующие непосред- ственного решения уравнения Пуассона для давления, но по сути близкие 8 списанным. Один из таких итерационных методов можно назвать мего- доя последовательных потенциальных добавок, рассмотрим переход от слоя у„к слою г„+,. Определим последова- тельный ряд функций У(", У(",..., У("(, У('+",..., приближающих неиз- мстную скорость У"+', равенствами вида тг(ь( + (У" (!т) У" — — т 'У" + 1тры( = О, А! Йе (14 6) сшержашимн некоторые функции р'". Тогда (й+1)-е приближение выртя(ается через ут-е по формуле У(к (( У(А( А! ~ (Р(й.((( Р(~() У((( гА ! ~ВРа(.о (147) Величины бр подчиним условию бра+о р(ь+и ро( — 1т Уо( (148) мначаюшему, что поправки к предыдущему распределению давления '! Ст(ог(п А 3 !Чпп(ег(са! по(пт(оп о! Маг(ег — 5(океп еяпат!опь — Матт(.
Сопт. тп, (968, т. 22, р 745 — 762. ГЛ. Х!. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИИ НАВЬŠ— СТСКСА пропорциональны (с некоторым коэффициентом ( — С), где у>0) от. клонению поля скорости от соленоидальности, т. е. давление в случае источника (У У')0) должно уменьшаться, а в случае стока (!У у(0)- увеличиваться. Конвективные и вязкостные члены считают один раз — при определении у'гз! по формуле (146); начальное приближение давления р!" ыгь жет быть достаточно произвольным. Далее многократно используютсн формулы (147) и (148) до сходимости с требуемой точностью. Это эк. вивалентно определению с той же точностью соленоидальной функцна и'"+з= Р'иг, удовлетворяющей равенству ггсз! 1г~ „! г з е!г'.з!г' — — 'зяез з е Узз~)=о, АС ав г=! з где р!'с+ '5', бр!'! представляет собой искомое давление, соответствуюг= ! щее переходу от С„к С„+з.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
