Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 112
Текст из файла (страница 112)
интегриРОЕАние РРАвненип нАВье — стоксА Так, в работе И. А. Белова и С. А. Исаева') для решения уравнения переноса вихря используется явная трехслойная по времена схема Адамса — Бэшфорта. Эта схема следует нз разложения по / фуяк. ции из которого (д'ьз/дг')" исключается при помощи соотношения — + 0(Л/) (' /'- д<а / А< В результате имеем а""-а" з ( да)" 1(да )"-'+, Используя исходное уравнение дьз/д(+Л(2=0 (Л вЂ” стационарный оне.
ратор) для выражения дй/дг через пространственные производные, по. лучим после аппроксимации последних схему второго порядка точности по 1 =' — (Ль)),' — — (Л(4)". (154) Очевидно, что вычисления по трехслойной схеме можно проводить при условии, что функции на двух «нижних» временных слоях уже известны. В связи с этим на «старте» вычислений определение ьг< по из. вестному й' выполняется по двухслойной схеме.
Конвективные члены в Л аппроксимировались по схеме Аракавм (см., например, книгу П. Роуча, цитированную в $ 102), обладающей консервативностью не только по отношению к ь1, но и к ьл' и кинетиче. ской энергии. Такое свойство особенно существенно при больших числах ие, когда вдали от стенки существует область (ядро) практически не- вязкого течения. Уравнение Пуассона для функции тока решалось итерационным методом Гаусса — Зейделя. Обсуждение полученных этик методом результатов приведено ниже. Помимо рассмотренной обычной сетки, часто применяют иные по конструкции сетки. Широкое распространение получила так называемая гибридная (со смещенными узлами) разностная сетка.
На этой сетке разные физические величины определяются в различных пространственных узлах. Так, для переменных «скорость — давление» элемент сетки в дву. мерном случае имеет вид, изображенный на рис. 172, а1 в центре прямо. угольной ячейки определено давление р, а на серединах соответствую. щих сторон — «расходные» (нормальные к сторонам) составляющиескорости и и о. Появление «дробных» индексов типа 1+1/2, /+1/2 у сеточных величин отражает сдвиг узлов расположения этих величин вдоль соответствующих осей на полшага относительно точки хь у<. На гибридной сетке уравнения неразрывности аппроксимируются е узлах определения р, а проекции уравнения движения на оси Ох и Оусоответственно в узлах определения и и о. Несомненным достоинствои такой сетки является естественный характер аппроксимации со вторык порядком точности уравнения неразрывности (так, в узле р<+,<к< дивергенция скорости запишется в виде (и<+с< — и<,)/Лх+ (о<+,<а,<ь„; ') Белов И.
А., Исаев С. А. Циркуляннонное движение жидкости в пряно. угольной каверне при средних и больших числах Рейнольдса. †Жу. прикл. мех. я техн. физики, 1982, св 1, с. 41 — 45. В 103. ПРИМЕР ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ВНУТРЕННЕИ ЗАДАЧИ 484 -вн«в<-«в)/<ву] и проекций градиента давления в уравнениях движения (ввпример, для продольной проекции в узле ив имеем др/дх-(р<+«вл — р<-«в<)/Ьх]. Так как взаимное расположение узлов, в кото)ык определены одноименные проекции скорости, сохраняется на гиб)влвой сетке обычным, то и аппроксимация членов и ди/дх, д'и/дх', свв/<)ув, ... на ней не отличается от применяемой иа обычной сетке. Особенности гибридной сетки проявляют себя при аппроксимации кониктывных членов с разноименными проекциями скорости и до/дх, вдл/ду (или в консервативной форме д(ио)/дх, д(ои)/ду), поскольку в в о определены в различных узлах.
Поясним это на примере члена )(вл)/ду, соответствующего переносу в направлении у продольной состввляющей импульса («переиосящей» величиной является о, «переносвыой> — и). Обратимся к фрагменту сетки (рис 172, б), на котором У/в <!7 Уу-с<7 а) < вн/г ьв< ин,н-ыг ~~м,н-< ин, вг Рнс. <тд )вдв краткости записи последующих выражений использована произвольная нумерация сеточных величин вместо двойных индексов 1), <((/2, ) и т.
п. Штриховыми линиями выделена контрольная поверхность, ограничивающая элемент, в центре которого расположен узел оп)ваеления и,. Введем в точках А и С, т. е. на серединах горизонтальных влощадок, «переносящую» (расходную) скорость равенствами О,= =(в,+о,)/2, О.= (о,+О,)/2 и определим тем или иным способом «переввсиыую> скорость в тех же точках и„и„. Тогда будем иметь в узле и;1 д Вв«в Рн«н — (ои)— де <ке йырвжениям и,= (и,+и,)/2, и.= (и,+и,)/2 соответствует симметричная 488 ГЛ. Х! ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НАВЬŠ— СТОКСА аппроксимация второго порядка.
Если же использовать условные выра. жения и„если о, )О, ~ и4, если о„)0, и,= и„если о,(О, (и„если о„(0, то получается несимметричная аппроксимация первого порядка, обла. дающая траислоргивностью, т. е. отражающая свойство переноса физи- ческих величин механизмом конвекции только вниз по потоку. Оба варианта соответствуют консервативной схеме. В случае записи конвективного члена в форме о ди/ду аналогами приведенных выражений будут 1 Г иь — ий и2 — ит А и + 1 и 1 и~ — иэ и — 1 и 1 и, — и + Я где Р=-(о,т ии)/2. Во всех рассмотренных выше случаях совокупность узлов, показанная иа рис. 172, б, составляет разностный шаблон для ап.
проксимации продольной проекции уравнения движения в узле и,. На рис. 172, в изображена расчетная область, ячейки гибридной сетки а отдельные сеточные величины, принадлежащие крайним угловым ячей. кам и показывающие диапазон изменения каждого из двух простран. ственных индексов. Таким образом, аппроксимирующая система содержит: 1) М Х/У' соотношений, аппроксимирующих со вторым порядом урав. пения неразрывности во всех узлах определения р — центрах того же количества ячеек сетки, на которые разделена расчетная область; 2) (М вЂ” 1) Х/У' соотношений, аппроксимирующих проекции на ось Ох уравнения движения с первым или вторым (в зависимости от способа аппроксимации коивективных членов) порядком точности во внутрен.
иих узлах, предназначенных для продольной скорости и; 3) МХ (Ж вЂ” 1) подобных соотношений для проекций уравнения два. жения на ось Од во внутренних узлах определения о. Заметим, что аппроксимация уравнений движения в пристеночннх узлах имеет особенности, обусловленные выходом за пределы расчетной области одной точки разностного шаблона. Так, если положить, что и, (рис. 172, б) соответствует и, „, (рис. 172, в), то точка шаблона, содер- жащая и„сместится на тту/2 ниже дна каверны.
Вообще, в пристеноч. ных узлах имеет место аналогичная ситуация при аппроксимации произ- водных по нормали к стенке от касательных к ней компонент скорости, так как последние на сторонах ячеек гибридной сетки не определены Для выражения таких производных, а также для реализации условий прилипания вводят добавочные узлы для касательных компонент ско- рости на границах (иии и„,..., отмеченные крестиками на рис. 172, в) и аппроксимируют в пристеночных узлах производные по нормали яе- стандартным (из-за неравномерности сетки) способом.
Другим вариан. том является использование узлов, расположенных за пределами расчет. ной области на полшага от нее, что позволяет сохранить стандартную форму аппроксимации и приближенно выполнить условия прилипаивя, например, в виде равенств: (и;„,+и,,и)/2=0 (неподвижная стенка), (иии — И+и, Т )/2=1 (ПОдннжиая СтЕНКа), Легко убедиться, что в аппроксимирующей системе число разност. ных соотношений равно числу неизвестных. Обратим внимание еще аа то, что если просуммировать все разностные уравнения неразрывности, умноженные на площадь ячейки Лхбу, то благодаря консервативности этих уравнений получится соотношение л м Лу'~~ (ии; и — и,, и)+ Лх'Я (ОГ и,А — о~ к,,)=0, (!55) 1=1 4 шз. пРимеР численнОГО Решения ВнутРенней 3АдАчи 488 гсдержащее только расходные компоненты скорости на границе области.
дзниий результат выражает равенство нулю сеточного аналога суммарнаго потока жидкости через эту границу. С другой стороны, поскольку гсагиошеиие (155) непосредственно следует и из условий непроницаешсги стенок, разиостиое уравнение неразрывности в одном (любом) узде является линейной комбинацией этих уравнений в остальных узлах и граничных условий. Ввиду этого количество независимых разностных гас!ношений уменьшается на единицу, позволяя произвольно устанавлиззгь величину давления в какой-либо одной точке.
Подчеркнем, что ни. дзкие иные условия для давления при решении разностной задачи не требуются, что полностью соответствует постановке исходной дифференсяальиой задачи, Для численного решения получившейся нелинейной двумерной алгебраической системы, которую запишем кратко в виде Ь,ига>=О (Е.„— смционарный оператор, игм — искомая сеточная функция), существует я!сколько способов. Так, можно построить неявную схему установления з для компонент скорости, и для давления, если использовать нестационзрнбе (точнее, итерационное) уравнение для давления в форме (149). По соображениям, изложенным в конце предыдущего параграфа, целесообразно сформулировать задачу для определения на каждом временном шаге Лг не самих функций и, о, р, а временных приращений к ним.
Опуская значок !1, указывающий на сеточный характер величин, запивем з обозначениях 9 102 неявную схему установления ') + Е." ((г'"+ Л(т'"") = О ади (Е+ Л!й.") ЛУ"+'= — Л!Е."(У" где Гп1 Р Приближенная факторизация оператора Е+ЛгЕ" в виде (Е+Л(Е,") Х х(Е+Л(Ез" ) позволяег расщепить задачу на две одномерные подсис- теми (Е+ Л!Е",) Лй= — Л!ЕЯ(7", (Е+ Л!Е,") Л(/а" = Лй, (156) (! 57) где Л(г — столбец с элементами Лй, ЛР, Лр — промежуточная функция, полученная в результате решения подсистемы (156), д ! дз д и о дх Ре даз дх д 1 д' ия О дх йе дхз 1 д А дх О о г) Егоров Ю. Э., К олешко С. Б. Применение метода дробных шагов для яисияяагв решения уравнений несжимяемай вязкой жидкости в естественных перемензнк.-В кнз Динамика неознородных н сжимаемых сред. Вып.
8: Газодинамика и тепзсабиен.— Лл Изд-вп ЛГУ, 1984. ГЛ К! ИНТЕГРИРОВАНИС УРАВНЕНИИ НАВЬС вЂ” СТОКСА д ! ду Яе ду' д ! д' ду Яе ду1 ду ! д А ду А — итерационный параметр. Как и раньше, здесь употребляются сня. волические обозначения для аппроксимаций соответствующих производных. Линейный аналог схемы с постоянными коэффициентами является безусловно устойчивым.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
