Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 113
Текст из файла (страница 113)
Как следует из вида операторов /." ,и /."ь яз первого уравнения (для Лй) подсистемы (156) легко исключается Лу, а из второго уравнения (для Лй) подсистемы (157) — Лр"+', и вычисления, таким образом, реализуются трехточечными скалярными прогон. ками.. Приведем в развернутой форме уравнения (156) (соотношення для продольных, т. е. вдоль отрезков 8=сопя!, прогонок): ~В+ Л/ ~и. — ' — ( — '+ — ") — '* )~ Лии = = — д~ (1". + У" ) + — "' [ — ' ("" .Ь 1 " ) 1 (/'=1/2, 3/2...,, Л! — 1/2; /=1, 2, ..., .И вЂ” 1), ~Е + Л/ (пл Ц Ло! Л/ (Л"~~ ! Р ) '(/=1, 2, ..., /У вЂ” 1; !=1/2, 3/2, ..., !И вЂ” 1/2), л д л1 ДРО = — — ! — (ьл+ Лу) + — о" 1 л Ьдл ду (! = 1/2, 3/2, ..., .И вЂ” 1/2; 1 = 1/2, 3/2, ..., й/ — 1/2).
(158) (159) (180) Здесь Л" — разностный аналог оператора конвективно-вязкостных чле. нов; значения индексов // соответствуют рис. 172, в. Граничные условия для продольных прогонок: Лйи=Лй ,=0— для уравнений (158) и Лги=Луиз=Π— для уравнений (159), следую.
щие из самого определения приращений и равенства нулю в любой момент времени проекций скорости на вертикальных стенках каверны, замыкают задачу. Уравнения (160) служат для вычисления Лр по найденному ранее полю Лй. Аналогичным образом посредством поперечных прогонок определя.
ются Ли"-', Ло"", а затем вычисляются и значения Лр"+'. Итерации заканчиваю!ся после достижения условия !!/.Щ(е, где е — требуемая точность расчета. Обра~имся теперь к результатам решения задачи о течении в ка. верне. Иа рис. 173, а — в, взятых из цитированной работы И, Л. Белови и С. Л. Исаева (переменные «вихрь — функция тока», схема Лракавы), дана картина линий тока для квадратной каверны при числах Рейнольдса соответственно 400, 1000, 2500.
Цифрам отвечают следуюшне значения безразмерной функции тока ф: 1 — ( — 0,10); 2 — ( — 0,06); 3 ( — 0,01); 4 — 0; б — 0,0001; б — 0,00!. Выделяются обширная центральная область циркуляцнонного движения («центральный вихрь») и вторичные «угловыс вихри» в нижней части каверны. (Здесь и далее прн описании течения в каверне понятие «вихрь» употребляется для условного обозначения ограниченной области циркуляцнонного движения.) З шз. пгимвг численного гвшеггия Внутаеннея ЗАдлчи 488 Езаеале с ростом числа Рейнольдса размеры угловых вихрей растут, ее при йе)1000 они стабилизируются по величине. Обращает на себя еаамапие появление, начиная с де=1500, еще одного вторичного вих1а-около подвижной стенки.
Рпс. г73 а -0,0 На рис. 174 изображены профили продольной скорости в среднем гзаеречиом сечении каверны. Относительная максимальная скорость теизпя в сторону левой стенки растет при увеличении числа ке, что го!юрят об усилении интенсивности циркуляционного движения, а сама гееаа максимума смещается к дну каверны. На рис. 175 показаны изобары для течения при де=400, рассчитанеога изложенным выше методом установления по неявной схеме расщепления второго порядка точности с агпельзопанием «естествениых» перемен- у аых п уравнения неразрывности с членом др/д/ (см. цитированную статью Ю. Э. Егорова и С. Б.
Колешко). Цифрами г обозначены значения безразмерного дав- 0„5 Г- Пе= Г00 зеяпя (р — р,)/(р(/,з) 100, где р, — дан- г-и =Е00 ление в правом нижнем углу каверны. З-Я = !000 расчет на «гибридной» сетке 60Х60 от 4 4-Яе=2500 начальных нулевых полей и, о, р до вы- а 0,0 и аюзпення условия !!/.Щ(10-' потребома окало 200 итераций (12 минут на Рис..! 74 зйМ БЭСМ-6). Распределение давления езмт достаточно сложный характер. Выделяются области заметного повышения давления в окрестности верхнего правого угла, где увлекаеггая подвижной границей жидкость подводится к вертикальной стенке, з область относительного разрежения в верхней части левой стенки.
Расчет на той же сетке при не=1000 дает качественно такое же распределение давления, но с относительно более слабым возрастанием его в правом и падением в левом верхних углах. Течение вблизи дна квадратной каверны при этих числах йе практически изобарическое. При измельчении сетки все более ощутимо проявляются особенно!ге з окрестности верхних углов, обусловленные самой постановкой задзеп — наличием разрыва в граничных условиях в этих точках, сглапеаного в результате дискретизации.
Данные особенности должны привести, в частности, к неограниченному возрастанию в окрестности верхззз углов при Лх, гз/Г- 0 модуля давления. Следующая серия рисунков (рис. 176, а — в, работа И. А. Белова и 6 А, Исаева) показывает эволюцию течения при изменении соотношезеа У=О//., соответственно равного 0,5; 1,4; 2,0. Цифровые обозначеззя / — б имеют тот же смысл, что и на рис. 173; 7 — за=0,01г 8 — ф= =802; де=1000.
При малых глубинах (рис. !76, а) наблюдаются две ГЛ. ХЬ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НАВЬŠ— СТОКСА Рис. 175 крупные обласги циркуляционного течения — основного и менее интеа. сивного слева внизу; имеется еще один вторичный вихрь у задней стенки. С возрастанием Н структура вихрей перестраивается: растут размеры и интенсивность центрального вихря; размеры вихря у передней стенки уменьшаются, а у задней — растут.
При даль. нейшем (77)1) увеличенаа высоты каверны угловые ю о вихри сливаются, образуя 1 единый вторичный вихрь во всю ширину каверны, вра. г щающийся в противополож. ную сторону и значительво 4 меньшей интенсивности, чеи основной.
Для каверн с 7Т=!,4 и 2,0 образуются новые вихри в нижних углах, растущие с увеличеиееи 8 глубины. Это соответствует 7 известному из опытов обра. зованию в глубоких каверф нах ячеистых структур в ве. де системы вертикально й а7 расположенных вихрей убы. вающей интенсивности в иа. правлении дна. Рис. !76 4!0«ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ОБТЕКАНИЯ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА 487 Отметим в заключение, что расчет течений при больших числах рейкольдса с типичными для них областями резкого изменения паратпров потока требует привлечения неравномерных сеток со сгущением смов в этих областях. Использование сеток с равноотстоящимн в фи11ческой плоскости узлами приводит, начиная с некоторых чисел Рейвзльдса, к заметному «размыванию» решений в зонах больших граднен4вв за счет схемных диссипативных эффектов (см. 9 102), что может существенно исказить и общую картину.
Применяют как заранее заданвне, так и подстраивающиеся (адаптируемые) к разностному решению сетки. Решение задачи о течении в каверне может дать иллюстрацию роди сеточных факторов и послужить материалом для соответствующих четодкческих оценок '). 9 104. Численное исследование обтекания кругового цилиндра при умеренных числах Рейнольдса Среди всевозможных внешних задач динамики вязкой жидкости вылвлвются задача об обтекании кругового цилиндра однородным потолок, перпендикулярным к его оси, и подобная ей задача для сферьс. Почлно своей очевидной геометрической простоты, они привлекают еще и зевножностью сравнения с классическими решениями для крайних слуеаев: для движения идеальной жидкости ($50 и 73) и вязкой при очень чалых числах Рейнольдса ($96).
Кроме того, обращение к задачам тасвл течений позволяет исследовать ряд интересных гидродинамических ввленяй, типичных для плохо обтекаемых тел. Серия численных расчетов обтекания кругового цилиндра была отврытв работами А. Т о м а ') (1928, 1933 гг., Ре=10, 20). К настоящему времени накоплен обширный материал, демонстрирующий развитие разлнчиых численных подходов. Прояснились и трудности, обусловленные, в частности, медленным затуханием возмущений параметров потока ппи отходе от тела в области аэродинамического следа. Рассмотрим далее на примере задачи обтекания кругового цилиндра особенности постановки и численных решений.
Прежде всего подчеркнен, что, начиная с чисел Ре=У„а!у, составляющих несколько десятввв, при граничных условиях стационарного типа можно получать, в зависимости от накладываемых дополнительных ограничений, как обычнее стационарное решение, симметричное относительно направления набегающего потока, так и несимметричное, иериодически изменяющееся во времени. Последний случай соответствует развитию возмущений, обычно присутствующих в реальных потоках, в условиях неустойчивости стационарного симметричного течения.
Для получения стационарной нартнвы обычно ставят условия симметрии потока и рассматривают тезенне в одной полуплоскости. В настоящем параграфе будут рассмотрены преимущественно решения в стационарной постановке. Уравнения Навье — Стокса плоского стационарного течения вязкой жидкости в цилиндрических (полярных) координатах [(33) гл. Х] запишем в безразмерной форме, отнеся скорости к У , радиальную координату — к радиусу цилиндра а=й/2, давление — к рУ'. Кроме того, введен вместо Г новую переменную 9=1п Г, удобную тем, что постоянному шагу 4Ц соответствует относительное сгущение узлов вдоль лучей е= =свив( в направлении к телу.
Тогда проекции уравнения движения 1] Копченое В. И., Край ко А. Н., Л евин М. П. К использованию суще. 4твенно неравномерных сеток при численном решении уравнений Навье — Стокса.— 7Курззл вичнсл. мат. и мат. физики, 1982, т. 22, № 6, с. 1457 — 1467. 41 См. книгу: Т о м А., Э й п л т К. Числовые расчеты полей в физике и технике.— МЧ Лл Энергия, 1964. гл х! ннтеГРНРОВАние РРАВненип нхеье — стОксА 488 после умножения на г=е' и уравнение неразрывности примут вид др, дУ, ! 8„2, Г диг, деУ, др, д"- де дей Ке ~ д!6! дее де (16!) д!г д!ге дл 2 !' д'Уе деУ д$г, — + У, — е + У,У» = — — Р + — Е-4 ~ — + — '+ 2 — ' д- де де ае ~ д6! дее де д1г„д1г, — „" + — '+У,=О. (162) д"„де Граничные условия для проекций скорости в случае обтекания од.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
