Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 117
Текст из файла (страница 117)
йоэепьеа6 — Пх)ого) С1агепс)оп ргеок 1963; Ечапз Н. 1.. 1.апппаг Ьонпйагу !ауег Гпеогу.— Лг)йзоп-)гез!еу, 1968. 50! з 1СЗ ВЫВСД УРАВНЕНИИ' ПРАНДТЛЯ 9108. Вывод уравнений Прандтля движения вязкой жидкости в ламинарном пограничном слое, Явление отрыва Переходя к выводу основного дифференциального уравнения движения вязкой среды в области ламинарного пограничного слоя, сосре1оючим в настоящем параграфе внимание лишь на случае плоского, врюгенного стационарного скоростного пограничного слоя.
В последующих параграфах настоящей главы будут рассмотрены более сложные случаи как нестационарных, так и пространственных течений, причеле не только в пристенных, но и в свободиых пограничных слоях. В кон- лг м главы будут приведены некотох зые сведения о температурных н ггау мвцентрационных пограничных слои. Понятие о турбулентном погранвчиом слое н эмпирических и полужпирнческих методах его расчета южно найти в гл. Х11! курса, а о Рис.
183 ;аиияарном н турбулентном пограничных слоях в сжимаемой, неизотермнческой среде — газе при сверхзвуковых скоростях его движения — в заключительной главе. Малость при больших значениях числа Рейнольдса потока порядка толщин пограничного слоя б, позволяет рассматривать показанную на рвс, 188 ортогональную сетку параллельных контуру тела и нормальных в ввм кривых как прямолинейную декартову систему (х, у) в области вогравичного слоя и сохранить для уравнений Навье — Стокса обычную вх форму: ди ди 1 др / дзи д~иА и — +о — = — — — +т ~ — +— дх ду р дх ~ дха дуз ) ' до 1 др г' дао део Х и — +о — = — — — +т~ — + — ~, дх ду р ду ~ дх' дуа ) ' ди до — + — = О.
дх ду (б) Принятое только что упрощение в выборе системы координат не явлвется принципиальным. Весь дальнейший вывод можно было провести, иле считая указанную на рис. 183 сетку координатных линий прямоливвйвой '). Пользуясь принятым ранее методом оценки порядков отдельных членов системы уравнений (б) при помощи постоянных масштабов: продольвнх скоростей — (г'„продольных длин — Е„поперечных — 8., определим, прежде всего, масштаб поперечных скоростей У,. Для этого заметим, что, согласно последнему уравнению системы (б) — уравнению несжииаемости,— будет (у=О соответствует контуру тела) твк что г) См. К оч и и Н.
Е, К и бел ь И. А, Р о з е Н. В. Теоретическая гидромехаиииа. Ч, !!.— йь: Физматгиз, 1963, с. 550 — 552, а также моиографяю 1апппаг Ьоипдагу !ауегз/Ед, Ьу 1. Ге о хе пЬе а д.— Ох!огд: С!агепдоп Ргезз, 1963, р. 20! — 203. 5ОЯ ГЛ. ХИ. ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ и, следовательно, (б) и, ~., ря,' т. е. поперечная скорость в области пограничного слоя имеет тот же от. носительный порядок, что и толщина слоя. Это — второе основное свойство ламинарного пограничного слоя.
Оценивая аналогичным образом члены в левой и правой частях второго уравнения системы, найдем: ~ =о (~о«) =о( ооч ) — о ( ''), зъ, 1т,б, 1 Ю ~к, Согласно приведенным оценкам члены эти имеют при больших значениях рейнольдсова числа йе, порядок 1/фе, или еще более высокий порядок малости 1/(пеоне,). Что же касается члена, содержащего производную др/ду, то он, являясь с точностью до не зависящего от йе, множителя разностью величин порядка 1/фе„ сам должен иметь такой же порядок. Таким образом, в принятом приближении теории погранич.
ного слоя, т. е. при оговоренных выше больших значениях йе„ можно пренебречь малым значением этого члена и положить др/ду=О, откуда следует третье основное свойство пограничного слоя: во всех точках данного, нормального к поверхности тела сечения пограничного слоя давление имеет одно и то же значение. Вспомним, что аналогичным свойством строго обладали все рассмотренные в гл. Х, Х1 равномерные прямолинейные движения вязкой жидкости в цилиндрических или призматических трубах, а также между близкими друг другу параллельными плоскостями н в малых зазорах подшипников.
В пограничном слое это свойство обеспечивается малой его толщиной и, как следствие, почти параллельностью линий тока поверхности тела. Это свойство позволяет в рассматриваемом случае плоского стацио. парного движения жидкости в области пограничного слоя заменить в правой части первого уравнения системы (5) частную производную др/дх на полную производную с/р/с/х. Согласно тому же свойству распре.
деление давления р(х) вдоль пограничного слоя совпадает с распределением давления во внешнем безвихревом потоке. Это распределение по теореме Бернулли, справедливой для набегающего на тело безвихревого потока идеальной жидкости, можно связать со скоростью во внешнем потоке. Благодаря тонкости пограничного слоя можно «снести» эту скорость на поверхность тела, положив ее равной той, зависящей только от продольной координаты х скорости скольжения (/(х) жидкости по поверхности тела, которая имела бы место в идеальной жидкости, т, е, при отсутствии пограничного слоя.
Скорость У(х) будем в дальнейшем называть скоростью на внешней границе пограничного слоя или, короче, внешней скоростью. Согласно теореме Бернулли имеем — — = — и —. > лр ли (7) р ах ах % 106 ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ПРАНДТЛЯ 503 Используя ранее принятый способ оценки порядка отдельных членов системы уравнений (5) и основываясь на равенстве (7), получим оценку перпого члена, содержащегося в правой части первого уравнения системы (5): — ' — "' — о ( — '), (8) которую присоединим к следующей очевидной оценке остальных членов зтого уравнения: — „= о ( —,' ), ° в = о (г, о ) о ( о! ) (9) .$=о( — ' ° ) — о( ''),, ( °,) (о,*) Приняв во внимание эти оценки, опустим первое слагаемое в кругляк скобках в правой части первого из уравнений системы (5) как малое па сравнению со вторым, а также все второе уравнение системы (5), которое уже использовано для обоснования третьего свойства пограничнаго слоя.
Перепишем теперь систему (5) в виде ди ди 1 др даи и — +о — = — — — +у— дх ду р дх дуа (10) — + — = — 0 ди до дх ду клп эквивалентном ему по (7), более удобном для последующего изложеккя виде ди ди дЦ д'и и — +о — =(7 — +у —, дх ду дх дуа ди дс — + — =О. дх ду Уравнения эти, представляющие систему нелинейных уравнений в кастиых производных второго порядка параболического типа, были ука- завыЛ. Прандтлем в !904 г.').
Согласно идее Прандтля внешняя скорость (7(х), входящая в перпсе уравнение (! 1), считается заданной, заранее рассчитанной по теории плоского безвихревого обтекания тела идеальной несжимаемой жидкостью (гл. ЧП). В такой постановке задачи предполагается, что пограккчяый слой по всему контуру обтекаемого тела настолько тонок, что его искажающее влияние на внешний поток пренебрежимо мало. Можно сказать, что при этом не учитывается обратное влияние пограничного клея на внешний безвихревой поток. В некоторых случаях (плавное обтекание тонких тел) такое пренебрежение обратным влиянием пограничного слоя на внешний поток вполне допустимо, в других случаях оно настолько велико, что внешнюю скорость (7(х) приходится вычислять по (7), используя экспериментально замеренное распределение давления по контуру тела.
'! Ргап41! Ь. ттьег Рзйзз1уйе11зьетчеяппя Ьез зеьг й!сзпсг Йе1Ьппя тгегьапд1 К и!. Копят.— Неще1Ъегя, 1904 (имеется русский перевод в издании ЦАГИ, М, 1931]. 504 гл хп лахпзпдрныи погрдниггныя слоп в несжимлсмоп жидкости Уравнения (1!) подлежат интегрированию при следующих гранич- ных условиях: и=О, о=О при у=О, и-»(7(х) при у-»оо, (12) и=и,(у) при х=х,, Первые два из них выражают условие прилипания вязкой жидкости к твердой стенке (у=О) — контуру обтекаемого тела. Третье представ. ляет собой требование асимптотического стремления продольной скорости и в области пограничного слоя к скорости (7(х) на границе пограничного слоя с безвихревым потоком.
Это граничное условие можно интерпретировать как операцию «сращивания» решения уравнений Прандтля движения вязкой жидкости в пограничном слое с решением уравнений Эйлера для безвнхревого обтекания тела идеальной несжимаемой жидкостью.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
