Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 121
Текст из файла (страница 121)
докажем, что в достаточном удалении от тела движение в следе за ним определяется нс формой поверхности тела и его размерами, а только одной констанюй — сопротивлением тела. Уравнение (43) аналогично уравнению распространения тепла и несет простой интеграл типа источника ' ыс (Р— сопротивление тела.
В том же приближении получим уравненяе расхода Л рУ„2й= ~ риду. 5!В ГЛ. ХП. ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫИ СЛОИ В НЕСЖИМАЕА!Ой ЖИДКОСТИ удовлетворяющий поставленным граничным условиям. Для определе. ния постоянной С подставим этот интеграл в равенство (46), тогда пос. ле вычисления квадратуры получим С= ят 2)I пррУ Окончательно будем иметь вт / У„ре'! и, =(/ — и= ехр 2 1/прф~ х (, 4»х ) Закон убывания максимального возмущения на оси следа (у 0) представляется формулой В' ! и!«!— (48) 2 1/п,ррУ т'х Применяя полученную формулу к следу вдалеке за продольно об.
текаемой пластинкой длины /., получим, согласно (37), а О,554 Гт. / У д ! и О,554 / !. — =1 — — ' 9т „— ехр ~ — — — ), — =1 — — ' 1/ (49) У р'л " ( 4» х ) У р«х Введем понятие условной ширины следа 26(х) как удвоенной ор. динаты такой точки, в которой отношение 1 — и/(/ к 1 — и /(/ приннма. ет малое заранее фиксированное значение; получим по первому равен.
ству (49) б(Х) =СОП51 1/Х, (80) после чего профили относительных возмущений скорости У вЂ” и 1 — и/У и, и, ӄ— а ! — /У„ можно будет представить в виде говорящем о наличии аффинного подобия распределения возмущений продольной скорости по нормальным сечениям следа вдалеке от источника возмущений — тела, след которого рассматривается. Задача о «дальнем» следе аетомодельна. Другим характерным типом свободных пограничных слоев служат так называемые затопленные струи, распространяющиеся в неподвижной среде с теми же физическими константами, что и у самой струи, или, в общем случае, с отличными от них.
В простейшей своей постановке задачи эти относятся к случаю предельно тонкого по поперечному сечению источника струи, но с конечным, благодаря очень большой скорости истечения, начальным им. пульсом (секундным количеством движения) /,. К этой упрощенной постановке можно отнести и задачу о затопленной струе, вытекающей из сопла конечного диаметра и с конечной начальной скоростью, если рассматривать только область движения, достаточно удаленную от источника струи.
В этой далекой от источника области движение также будет определяться импульсом, который можно рассматривать как иа. чальный импульс эквивалентной струи из тонкого источника. 4 »оа. примвры плоских «своводных» поггнннчных слонв бтт Задача о плоской ламинарной затопленной струе была решена Т, Шлихтингом '). Применение уравнения Прандтля — Мизеса (9 107) кзадаче о плоской струе было указано Л.
Г. Лойцянским '). Направим ось Ох по оси симнетрпп плоской струи (рис. 188). Равенство нулю внешней скоро- У стн У позволяет написать уравпенпе движения вязкой несжимаемой жидкости в области плоской струн в одной из следующих двух форм: да ди дти ди ди и-+р — =т —, — + — =О, пг ду дух дх ду (52) — — — — =У— Рнс. 188 пу дх ду дх ду' ду' В силу симметрии имеем на оси струи ди дт — =О, о=О или — =О, »Р=О при у=О, ду дут (53) а нн внешней границе струи при переходе к неподвижной, окружающей струю жидкости будет и- 0 или — -~ 0 при у-»- ~ оо. дф ду (54) д (иа) д (ио) даи — + — =т дк ду дуа и проинтегрируем обе его части по у в пределах ( — оо, оо).
Тогда в предположении существования интеграла в бесконечных пределах от первого слагаемого и допустимости перемены порядка операций дифференцирования и интегрирования, получим — ~ и с)у+ ио~ д Г » ди дх ду » Впдстановка в левой части этого равенства обращается в нуль вследствне предельного перехода, а в правой — из-за предположения о плав- НОСТИ ЭТОГО ПЕрЕХОда, трЕбуЮШЕГО СтрЕМЛЕНИя ди)ду- 0 Прн у-»-~со. Таким образом, получим — ') иаг)у=О, ~ иаг(у= сопз1. г д д ») Бсь)!сЬ!!од Н.
1апнпаге $!гаыаикЬгепипп.— Ее!!асьг. 1. аппеж. Ма!Ь. н. Дссв.,!933, Вд. 13, № 4, Б, 260 г) Лойп ан с к ай Л. Г. К теорнн плоских ламнкар»ых н турбулентных струй.— Труды ЛПИ, !983, № 178, с. 101 — 1!4 )(апнчне таких нулевых граничных условий по у и отсутствие граничного условия по х приводит к тривиальному решению и=О, о=О во всей юбдасти, что противоречит наличию движения жидкости в струе.
Чтобы устранить это противоречие, перепишем первое уравнение системы (52), используя второе, так: 513 ГЛ Х!!. ЛАМИНАРНЫИ ПОГРАНИЧНЫИ СЛОИ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ Домножая обе части последнего равенства на постоянную плотность р, перепишем его в форме х = ~ ри'Ыу= сопзь= хо. (55) Смысл этого равенства заключается в том, что секундное количество движения, переносимое сквозь поперечное сечение струи, одинаково для всех сечений. Постоянная хо служит такой же характерной посто. янной для струи, как интенсивность для точечного источника или стока, момент для точечного диполя н т. п.
Задание величины У, делает задачу о распространении струи вполне определенной. Решение и~пжй не удовлетворяет интегральному условию (55), которое можно рассматривать как условие нетривиальности решения системы (52) при тра. ничных условиях (53) и (54). Условимся выражать продольные координаты х в масштабе длин Ь, поперечные координаты у — в масштабе У=Ь!'тРе=3%Х/Г Тогда масштабом Ч' функции тока ор будет служить величина Ч"=тчУЬ, где )! — некоторый масштаб скоростей.
С другой стороны, согласно (55), будет (штрихом обозначены безразмерные величины) оо р~~ ) "у= он, ~(,) "у=~о так что, положив ЧГВ ~0 - /=Ь р и составим условие (55) в безразмерном виде с '!д') (56) причем по самому характеру задачи скорость )т как масштаб не долж. на входить в решение. Напишем общий вид решения в безразмерных координатах: ор'=ор'(х', у') н в размерных координатах О, (о~о', о~ „) о Для того чтобы правая часть этого выражения не зависела от Р, общий вид решения должен быть следующим: ор = т х ор (у /х ~ ).
(57) Действительно, при этом будет ° / РУ ХН 1, Го ИЧ'Р~ФА хл/ Р Рч~ хл о Сопоставляя полученные значения Ч', будем иметь выражения для масштабов Ь и Ч' через )т РРР Р1 $1ОО. ПРИМЕРЫ ПЛОСКИХ СВОБОДНЫХ ПОГРАНИЧНЫХ СЛОЕВ 3!В Полагая хм РУх" (59) юдставим выражение ф' из (57), переписанного в форме ор' х' "'ф (т!), а третье уравнение системы (52), преобразованное к безразмерным координатам доР' дзф' дф' Уо)' УоР' ду' дх' дх' д»' ду'з ду'з Предварительно вычислим (ф со штрихами означают соответствуюшие производные по т!) — =х ' 'ГР (ц), — =х ГР" (1!), дф', и, дзф' ду' ду'з дзф 1 — Р=х' 'ф" (т!), —,= — х' *"[ф(т)) — 21!ф'(0)[, др з дх' 3 Узр' 1 , = — — х' " [ор' (т!) + 2трр" (т!)).
дх' ду' 3 Совершая указанную подстановку, придем н интегрированию обыкнюаеиного уравнения третьего порядка ф" + — '(р'+ рр-) =0 3 (60) пре граничных условиях 1Р=О. 1р"=0 при т! О, (61) ор' 0 при т[-Р~ОО х аетегральном условии (56), которое можно записать в виде ~ ф (Ч)
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
