Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 122
Текст из файла (страница 122)
Заметим, что импульс в данном случае уже не кажет сохраняться вдоль струи, так как, в отличие от безграничной струи, имеется внешняя сила трения жидкости о границу полуплоскоств. Искомое условие нетривиальности решения выведем, переписав уравнение пограничного слоя, как и раньше, в форме д а д ди — (иа) + — (ио) = у— дх ' ду дуе умножив обе части почленно на ф и проинтегрировав поперек слоя от ~) Акатнов Н. И. Распространение плоской ламинарнай струи жидкости вдоль тмрдой стенки.— Труды ЛНИ (Энергомашиностроение, Техническая гидромеханика), та 3-Мх Машгиа, 1953, с. 24 — 31, а также О1а и е г1 М.
В. 'йта11 1ес.— допгп. Р1п(д Несй., 1956, ч, 1, $ Па ЗАДАЧА О ПЛОСКОИ «ПРИСТЕННОИ» СТРУЕ 52Э Подставив это выражение !р в уравнение (66), убедимся в автомоллльяости задачи: уравнение сведется к обыкновенному (штрих — про!!водная по т)) дифференциальному уравнению 4Р"'+ РР" + 2Р" 0; (71) грляячиые условия по (66) примут вид Р=Р'=0 при !!=О, (72) Р'-+О при т1. оо, прячем присоединяется еще интегральное условие ) Р»Я(Ч)Р(Ч)(Ч=1, о (73) легко выводимое из системы равенств (69) и (70).
Уравнение (7!) допускает интегрирующий множитель Р. Найдем, один раз интегрируя и определяя постоянную интегрирования из гра- яячныл условий (72), 4РР" — 2Р" + Р'Р' = О. (74) Совершая в этом уравнении замену переменных Р'=Ф и принимая и независимую переменную Р, получим линейное уравнение первого по- рядка гГФ 1 Р— — — Ф= —— гГР 2Р 4 (75) решение которого будет Ф = Р' = С )/ Р— — Р'. 6 (76) Обозначим через Р„значение Р при т)=со и Ф=О. Тогда постоян» яая С равна С= ' Р„)/Р„, б я уравнение (76) может быть преобразовано к виду Ж Ь(уЕ Е), О=Р .
Постоянную Р„определим, подставляя значения Р' = — ' (Р„ъ/Р„)/Р— Р'), л(п = 6 Р /р )гР Р» я яатегральное условие (73). Получим Р =2,515. (78) Уравнение (77) интегрируется и приводит к соотношению т! = 0,7952 1п ' + 2)/3агс18в г+ р е+ в — ~'зе 1 (! — р в)« )' в+2 (79) Объединяя его с уравнением (77), переписанным в виде Р« Р' = — ()л 8 — 6') = 1,054 ()/6 — 6'), б (80) получим Р' в параметрической форме, Нетрудно определить величины 834 ГЛ. ХП. ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ секундного расхода Я и импульса К; будем иметь СО 4/ у Я= ~иг/У=2,515-„'/~ЕЛ, К=) и'!!У=0,884 ~' —.
(81) е 6 Каждая из этих величин является функцией продольной координаты х, т. е. изменяется при переходе от одного сечения струи к другому, но про- изведение их сохраняет постоянное значение и просто связано с основ. ной константой Е ЯК = — Е.
9 (82) Приведем еще формулу касательного напряжения трения на твер, дой стенке, вдоль которой распространяется струя Гдис 4/ Ез (83) На рис. 190 и 191 сравниваются между собой распределения скоростей во внутренней (от стенки до точки максимума скорости и=и„ С/Ес /,у .й с~с СУ аг йз у у/у.. Рис. 190 га !у га аи У Ус Ус -Уа Рнс. 19! 9 111.
Общий случай точных автомодельных решений уравнений стационарного плоского пристенного пограничного слоя Среди общих решений уравнений плоского стационарного пристенного пограничного слоя, соответствующих произвольному заданию скорости на внешней границе пограничного слоя, своей простотой и наглядностью отличается класс точных автомодельных задач со степенным в сечении с ординатой у ) и внешней (за точкой максимума скорости) областях струи с распределениями скоростей на продольно обтекаемой пластинке и в безграничной струе.
По оси ординат на обоих рисунках отложено одно и то же отношение и/и„, а по оси абсцисс: для внутренней области отношение у/у„м текущей ординаты к ордннате, соответствующей точке сечения, где и=и„/2, а для внешней — отношение (У вЂ” 9-) /(Р..„— Р-). Графики оправдывают высказанное ранее соображение о сходстве между профилями скорости для рассматриваемого случая сложного движения и для ранее рассмотренных более простых случаев. Практически полное совпадение наблюдается во внешней области (рис. 191). 525 В 111.
ОБШИЙ СЛУЧАЯ АВТОМОЦЕЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ зздяаием внешней скорости. В этом случае решение сводится к интегриривииию обыкновенного дифференциального уравнения третьего порядка. Выясним условия существования автомодельных решений уравнеиия (15). Введем безразмерные переменные — Ф= ~ (84) где У(х) — скорость на внешней границе пограничного слоя в данном сечении х и вместе с тем масштаб продольных скоростей и, 6(х) — толщияи пограничного слоя (в одном из возможных ее определений), прияимиемая за масштаб ординат в соответствующем сечении пограничного слоя, произведение У6 — масштаб функции тока; величину Ф назовем приведенной функцией гока.
Вытекающие из равенств (84) выражения размерной функции тока через «приведенное» ее значение ф=У6Ф (85) яияставим в уравнение (15) с сопутствующими ему граничными условиями и выясним, каковы должны быть функции У(х) и 6(х) для того, чтобы в результате этой подстановки уравнение в частных производных (15) привелось к обыкновенному дифференциальному уравнениюотносительно приведенной функции тока Ф, которая должна быть функцией только 5, т. е. не зависеть от х.
Предварительно найдем (далее штрих— :имвол производной по х, точка над буквой — по $) д — 'Р =(Уб+Уб)Ф вЂ” Уб|ф= ' ~$8+ — '81Ф вЂ” — '()5Э1, д« (86) дзр д»ср тг - д»1р сг -' — =УФ, — = — Ф, — = — Ф. ду дуи 6 ду' 6« Здесь введены обозначения для «параметров подобия» У е=(), Уе =р'1 1=— (87) Величины 8 и р являются неизвестными функциями х, а обозначсяяе одной из них черточкой сверху объясняется наличием своеобразяой сопряженносгсз между ними, заключающейся в том, что при заяияе У на г одна из них переходит в другую: В при У я. (88) Это свойство, как далее будет выяснено, сохраняется и для более широкого класса движений, удовлетворяющих условиям обобщенного подобия.
Подстановка значений производных (85) в уравнения и граничяые условия (!5) приводит к дифференциальному уравнению третьего порядка Ф + (р + — р ! ФФ + р (! — Ф') = О, г Ф=Ф=О при $=0, Ф- 1 при ~- оо, Ф = Ф,($) при «=х„ (89) в котором Ф является функцией 5, тогда как входящие в уравнение ве- иячины 5 и 5 представляют собой функции х. боб ГЛ. Хп ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ Для того чтобы, по определению автомодельности, уравнение (89) было обыкновенным дифференциальным уравнением, следует положить ~=У'г= сонэ!, ~=Уз'=-сопз! (90) и опустить при этом «начальное» условие, указаное в последней строке (89).
Для определения У(х) и б(х) потребуется интегрирование системы обыкновенных уравнений (90). Ставя условие конечности г=бо/т прв У=О и вводя постоянную интегрирования с, получим следующие выражения для У, а вместе с тем для е и 6 У=сх'", е= — х'-, 6 =( — ) хп- цо, с»о ст (9Ц где введено обозначение по= —, со — — ! — ио (92) ..р 1 — ио ио Как это следует из первого равенства (91), уравнение (89) будет иметь автомодельное решение только при степенно.и распределении ско! рости У(х). Особый случай равенства нулю суммы Р+ — Р, приводящий 2 к показательному закону распределения У(х), далее исключается. По- кажем, что интегральные толщины пограничного слоя 6' и 6", опреде- ленные равенствами (4!) и (42), и напряжение трения т на поверх- ности тела Д=О) выразятся также степенными формулами.
Имеем, со- гласно (85), и — ! 6(оу!(Уб!! !Тб — ~ХФ вЂ” Ф Д' р б) и и 6(игб! 6 (93) а следовательно, можно положить О ) 6'= ~(! — — )с(у= ~(1 — Ф) <Я 6=А(8, ~)6, о о о 6"*=~ — (! — — ) ду=~Ф(! — Ф)д$6=Вф, ())6, (94) о о где приняты следующие обозначения: о ) (1 — Ф)15=А(р, р), ~ Ф(1 — Ф)1$=В(р, 8), (95) Ф (О; р, р) = ь (р, !б). Сохраняя незавооси,вььни параметры 8 и (б, мы бы пришли к двух. иараметрическолоу решению ФД; 8, 8). Ограничимся таким соотношением параметров, при котором коэффициент при втором члене в левой части (89) равен единице, т. е. положим р + — 6 = 1, р = 2 (1 — р).
(96) в н!. Овщни случаи Автомодельных Решении 527 1- Заметим, что при таком выборе р исключается случай Р+ — Р =О, 2 прпнодящий к экспоненциальному виду ()(х). Уравнение (89) прн условии (96) приобретает более простую однопвраметрическую форму 'Ф+ ФФ+ р(1 фг) О (97) Ф=Ф= О при 9=0, Ф- 1 при 5-~ со. При этом параметр р будет, согласно (92), связан с т равенствами лт = —, т+!' 2 — 6' в формулы (91) и (94), служащие для определения толщин 6, 6', 6 и напряжения трения т, примут вид н(х) = — = х'-, 6(х)= [ 6г 2 г 2ч хчт-лиг ч (лт + !) с ) (лг + 1) с ~ 6'(х)=АФ)6(х), 6" (х)=Вф)6(х), тм = — Ь (Р), Р(7 6 (99) В этом однопараметрическом приближении связь между физичеспнын переменными х, у, тр и «переменными подобия» $, Ф будет по (84) п (91) — — ° — ух! -тиг = уХ1В-ги!г-П1 6 2 ч (2 — 6) ч (100) Ф = ~, — х-1-гыгф = х- л*-щф.
- /гл-'г- ! ! 2тс 1 72~) „ Уравнение (97), выведенное в несколько другой форме Ф о к н е р о м н Скз и '), было численно проинтегрироввно Харт ри'), указавшим на то, что сг77 реп!ение этого уравнения при ив<0, р<0 перестает быть единственным и допуска- дв, „с с „, ет бифуркацию (две различные ветви пнтегральной кривой). При численном , -е/еу интегрировании уравнения (97) им была выбрана та из ветвей решения, для ее которой асимптотическое стремление и/у-»1 при 9-ыоо было быстрейшим.
г е с с 4 8 дальнейшем советскими авторами') было дано обоснование этого требования, опирающееся на рассмотрение асимптотнп возмущенного, неавтомодельного решения, близкого к рассматри- ваемому автомодельиому. Табл. 15 содержит значения безразмерной скорости и/()=Ф($, р) (рпс. 192) в области пограничного слоя при значениях Р в интервале от ') Ра!йпег Ч. М, 3!сап Я. 'тЧ. Яогпе арргох!пга!е зо)щгопз о( ще Ьоппбагу !гуег еппа!(опз.— РЫ!. Мак., 1931, ч.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
