Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 125
Текст из файла (страница 125)
В точке отрыва 5, где, согласно (!3), вмполняется условие ') РоЬ1Ь а а а си К. Уаг паьегспяагае1»еп!Лгеяганоп бег Р1!1егеп»1а191е)сьапяеа г)ег !апг)пагеп Сгепгасысшеп.— се!1»с)г. 1. апяеог. Маих и. МесЬ., !921, Вс). !. параметр !'„ как это непосредственно следует из табл. !7, равен 1,= = — 0,0681. Судя По проведенным расчетам и сравнению с точными решениями (см.
далее), данный метод приводит к заниженным значениям напра. жения трения на поверхности обтекаемого тела и, сообразно с этим, к сравнительно с другими методами меньшим величинам абсциссы точки отрьгва. Мы остановимся на этом вопросе в следующем параграфе, где будут получены результаты, основанные на более совершенных приближенных методах. Изложенный приближенный метод расчета ламинарного погранич. ного слоя основывался на использовании однопараметрического семейства профилей скорости, представлявших точные автомодельные реше.
ния уравнений Прандтля (!!). Такой подход или несколько более об. щий, заключавшийся в выборе «конкурирующих» однопараметрических семейств профилей скорости среди других, известных к тому времени точных решений, возник только в самом конце тридцатых годов. Ранее для этой цели использовали искусственно образованные аналитические семейства профилей, схожих по форме с действительными профилями и совпадающих с ними на внешней (у=6) и внутренней (у=О) границах пограничного слоя. Произвол в выборе такого рода конкурирующих на. боров профилей скорости породил большое число различных приближенных методов.
Основную идею этих методов покажем на примере исторически ранее всех появившегося и вызвавшего многочисленные подражания метода К. П о л ь г а у з е н а '). Будучи опубликована одновременно и в том же журнале, что и ранее процитированная статья Кармана, статья Польгаузена ставила целью иллюстрацию применения интегрального соотношения Кармана. 537 9 Из. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА Польгаузен предложил принять за однопараметрическое семейство профилей продольных скоростей в сечениях пограничного слоя семейство многочленов четвертой степени ' ""'" '(у)' ' '(-у)'" '(-у) =- ! — 29 292+ 94+ Ц(1 $)з (117) 6 с параметром семейства, равным А=У'б'/т, где б — принятая конечной тплщииа пограничного слоя, а я=у/б.
Коэффициенты многочлена (117) были выбраны согласно граничным условиям ди ии и=О, — = — — прн у=О, дуо (118) ди о-и и=У, — =О, — =О прн у=6. ду дуо Первое из этих условий совпадает с аналогичным условием (12), второе получено из уравнения (11) путем применения его к твердой поверхиости (у=О, и=о=О). Третье выражает равенство продольных скоростей в пограничном слое и внешнем потоке в точке их сращиваапя иа конечном расстоянии у=б от твердой поверхности, вместо соответствующего асимптотического условия (12).
Наконец, четвертое и пятое выражают плавность перехода от и к У в точке сращивания (у=б). Последние условия и число их заключают в себе произвол, который, как показали последующие исследования '), чувствительно отракается на методе. Так, например, вытекающее из уравнения (11) дополаптельиое условие (д'и/ду')о,=О, введенное вместо последнего условия в системе (118), значительно улучшает точность метода Польгаузена, апшиий раз подчеркивая интуитивный характер этого метода, С оперативной стороны метод Польгаузена во многом аналогичен методу Кочина — Лойцянского. Так же, но на основании профилей скорости в сечениях слоя (117), составляются функции 1 А (Х) = — — = ~ (1 — — ) с(9 = — —— о 1 о !.
д (у/6) Ли=о 6 Подстановка их в интегральное соотношение Кармана приводит к сложному нелинейному уравнению первого порядка, которое Польгаузеп решал графическим методом изоклин. Определенное из этого уравяеиия б(х) подставлялось в предыдущие равенства, что и давало решение задачи. Переход от Х= У'б'/т к уже использованному в настоящем параграфе в принятому в дальнейшем параметру /=У'б"о/и позволяет свести решение к интегрированию уравнения (111) при принятом обозначении (!13) для функции /г(/). В табл. 18 приведены пересчитанные значения ') Лопни н с к нй Л. Г.
Аэродинамика пограничного слоя.— Мл Лл Гостехиздат, 1941, с. 170 — 189. См, также более позднюю монографию того же автора: Ламинарный аарзличный слой.— Мл Фиэматгнз, !962, с. 96 — 98. 538 Гл. хи. лАминАРныя ПОГРАничныя слоя В несжихиемоя жидкости Таблица 18 и (и нбн Р(Л Р(0 0,199 0,179 0,160 0,140 0,119 0,100 0,079 0,059 0,039 0,019 0 2,66 2,72 2,78 2,85 2,92 3,00 3,08 3,18 3,28 3,38 3,50 0,662 0,764 0,870 0,978 1,085 1,198 1,308 1,417 1,523 1,625 1,724 — 0,0284 — 0,0429 — 0,0575 — 0,0720 — 0,0862 — 0,0999 — О,ИЗΠ— 0,1254 — 0,1369 — 0,1474 — 0,1567 2 2,29 2,31 2,31 2,33 2,36 2,39 2,43 2,47 2,51 2,55 2,60 — 0,033 0 0,002 0,046 0,098 0,158 0,226 0,300 0,382 0,470 0,563 0,340 0,332 0,331 0,321 0,310 0,297 0,283 0,268 0,252 0,235 0,217 0,0831 0,0770 0,0767 6,0689 0,0599 0,0497 0,0385 0,0264 0,0135 0 — 0,0140 8 7,052 7 6 5 4 3 2 1 0 — 1 — 3 — 4 — 5 — 6 — 7 — 8 — 9 — 10 — 11 — 12 функций ((1), 0(1), г" (1), соответствующие методу Польгаузена.
(ак же, как и раньше, можно, но не столь точно, произвести замену с'()) ее линейным приближением (115) и получить решение в форме (116). Значения постоянных а и Ь отличны от приведенных ранее для метода Кочина — Лойцянского. Их приближенные значения таковы: а=0,47, Ь=6,10. Как показывают расчеты, метод Польгаузена, в отличие от метода Кочина — Лойцянского, приводит к завышенным значениям напряжения трения на поверхности тела (т.) и соответственно к завышенному значению модуля параметра точки отрыва, т. е.
к затянутому по сравнению с действительным положению точки отрыва. Описание других приближенных методов расчета ламинарных пограничных слоев можно найти в ранее уже цитированной монографии, изданной под редакцией Л. Розеихеда. — = ч (Б, 7(„х,, ...), и где 7(А (й=!, 2, ... ) — некоторые функции х, а У вЂ” произвольная функция х. 9 113. Обобщение аффинного подобия на неавтомодельные течения в пограничных слоях. Метод обобщенного подобия Соотношения аффииного подобия неоднократно фигурировали в предыдущем изложении. В частности, в случае пограничного слоя на продольно обтекаемой пластинке (3 108) было использовано следующее выражение условия аффинного подобия профилей скорости в сечениях п огра нич ного слоя (9 = у/б"): — = Ч ( ',.
) = Ч (9), где У„и 6" представляли собой масштабы скоростей и ординат точек в области пограничного слоя. Предполагая теперь перейти к рассмотрению приближенного метода расчета любого, не авгомодельного, пограничного слоя, с произвольным, а не только степенным распределением ($ 111) скорости на внешней его границе, расширим определение аффинного подобия в сторону возможной его зависимости от произвольного числа параметров — будем их называть параметралш обобщенного аффинного подобия.
Иными словами, будем рассматривать предыдущее соотношение обычного аффинного подобия в форме «аффинного подобия с параметрами» » 113. ОБОБЩЕНИЕ АФФИННОГО ПОДОБИЯ 539 Если считать, что входящие в предыдущее выражение величины т, хсут принимать любые независимые значения, то это выражение предгмэит многопараметрическое семейство аффинных преобразований в эбичиом их смысле. Полагая т„непрерывными функциями х, включим м наряду с 1р и $ в общее число «переменных подобия» и, опуская слово аффииное», назовем такое подобие «обобщенным», а переменные 1р, 1, 1» т,... — «ПЕРЕМЕННЫМИ ОбабШЕННОГО ПОдОбИя».
Чтобы использовать принятое определение «обобщенного подобия» э «переменных обобщенного подобия» для построения приближенного иегода интегрирования уравнения Прандтля (15), предложим следуюини эвристический прием, Примем в качестве «нулевого» приближения обычное аффиннопоэобиое выражение функции тока 1р р=иб-ф(ц, (! 20) где У и 6'" — произвольные значения скорости на внешней границе по1рэиичного слоя и толщины потери импульса, а 3=у/6". Подставляя, гэх уже это делалось в предыдущих параграфах, выражение ф по (120) вуравнение Прандтля (15), придем в результате к уравнению (штрих— производная по х; г, как и прежде, равно 6"'/ч) —,+ (У'г+ — Уг') Ф вЂ”,+ У'г (1 — ( — ) 1=0.
При этом, учитывая, что выражение (120) в общем случае не является эвиеиием уравнения (15), получим «невязки» принятого допущения (!26) в форме фуниций от х /1 (Х) =" У 2, /1 (Х) = У2 . (121) Наличие в предыдущем дифференциальном уравнении наряду с $ переменной х по (121) заставляет для выражений производных от Ф принять символы частных производных. Включив в число «переменных обобщенного подобия» указанные 1влько что «невязки» /, и ~„будем теперь искать решение уравнения Праидтля (15) в форме 1р=У6"Ф($, /н ~,). Подставим это выражение вновь в уравнение (15). Заметим, что ироязводные, входящие в уравнение (15), приобретут при этом вид — = — ~ (/1 + — /) Ф вЂ” — Я вЂ” + Уг ( — /, + = /,) ~, дР дФ д'Э У д'Ф д'9 У д'Ф вЂ” =У вЂ”, ду д6 ' дуэ 6' дбэ' дуэ 6 ' др Исключим в правых частях первых двух равенств выражения Уг/,' и (/г/,', полученные непосредственным дифференцированием по х параиетров /, и /, (12! ).
Найдем соотношения Уг/, = У'2Уг' + УУ"г' = /1/1 + УУ"2», Уг/, = У'гУг' + У'гг" = Ц, + У'гг". Ввводя следующие по порядку за /, и /, новые переменные обобшенБаго подобия /,=УУ" ~, /;=У' ", К см оьоьщьниь хффинного подоьия 541 Переходя теперь к составлению преобразованного к переменным збобщениого подобия Ф, $, /„, /» (и=1, 2, ...) уравнения (15), подстаккя в это уравнение значения ор и ее производных в переменных обобшскього подобия. То же сделаем и с граничными условиями. В результате несложных выкладок обнаружим, что левая часть это!о уравнения сохранит вид, полученный ею уже на первых ступенях кможенного приема, а к правой части добавится сумма якобианов, учисывзющих влияние следусощих за /, и /, переменных /» и /„(А=2, 3, ...). Искомое уравнение в своем наиболее общем виде, еще не упрощенном к результате последующих допущений, будет таким: — + (/»+ — Я Ф вЂ” + /» ~1 — ( — ) ~ = ! 8 /г(Ф, дФ/д$) 8 /)(Ф, дФ/д$) ~ /) ($, /») 11 (В /») (127) К зтому уравнению присоединяются граничные условия Ф=Ф= О при ~=0, Ф- 1 при ~- оо, (128) Ф=Ф»(~) прн (»=(»о, ~»=~»о (/к=1, 2о ) Последнее условие, отмеченное индексом О, выражает тот факт, что кскоиая интегральная кривая должна выходить из точки, соответствующей некоторому автомодельному решению.
Заметим, что общему автоксдельиому решению, изложенному в $111, будут соответствовать зависящие от показателя степени т в законе скорости (/=сх" следующие !качения параметров /м и /мк 1»о — „т (т — 1) ... (т — /с+ 1) 3~» ( (по + 1)" с, по+1 / (129) /»о=( — 1) (т — 1)... (т+/с — 2) В ( (т+ 1) '» т+1/ ме В( — ) =В(5) — функция, приведенная в табл. 18. Как и долж2т м+1 м быть в автомодельном решении, параметры /„и /„не зависят от х. Уравнение (127) значительно превосходит по сложности уравнение Ирзкдтля (15), однако обладает по сравнению с ним существенными преимуществами. В отличие от уравнения (15), которое должно решаться для каждого конкретного задания (/(х) отдельно, уравнение (127) не содержит явно (/(х) и, следовательно, может быть проинтегрирована один раз навсегда, независимо от того, какая задача предлагается для решения.
Это позволяет назвать уравнение (127) универсаль»ил, В результате численного интегрирования универсального уравнеккк (127) с «универсальными» граничными условиями (128) составляются таблицы всех характеристик пограничных слоев, в дальнейшем )же непосредственно используемые на первом этапе расчета любого пограничного слоя.
Решение задачи (!27), (128) ценно еще и тем, что оно дает многопараметрическое семейство профилей безразмерной скорос!к, полученных рациональным образом из уравнений пограничного слоя (!5), а не выдвигаемых из тех или других интуитивных соображений. Заслуживает внимания также и тот факт, что единственное, объедиккющее обширный круг задач теории пограничного слоя решение этого !ккзерсального уравнения выражает некоторые оби(ие закономерности, связывающие характерные для пограничного слоя величины с такими величинами, как, например, уклон кривой внешней скорости (/(х) и ее крккизиа. Аналогичные закономерности могут быть выявлены на основе 542 гл хн.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
