Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 129
Текст из файла (страница 129)
Х движения вяз. кой проводящей несжимаемой жидкости, причем остановимся на случае малых магнитных рейнольдсовых чисел йе =У Е/о, где и — кинена. тический коэффициент магнитной вязкости, когда можно пренебречь зависимостью магнитной индукции В от у и считать, что В=В(х). Произведя обычные для теории пограничного слоя упрощения, бу. дем иметь (о — коэффициент электропроводности жидкости) ди ди ! др деи оВа и — +и — = — — — +т — — — и, дх ду р дх дуа р .а на внешней границе пограничного слоя ди 1 др оВа и — = — — — — — (7, дх р дх р откуда почленным вычитанием левых и правых частей этих уравнений получим при принятых условиях уравнения МГД-пограничного слоя в форме ди ди, о.и оВа + — =(7(7 +.— + — (и — и), дх ду дуа р (155) ди ди — + — =О, дх ду отличающейся от (11) наличием справа дополнительного члена, выра.
жающего влияние объемной пондеромоторной силы. Вводя функцию тока тр(х, у) и полагая для краткости ОВ'/р=!т', составим основное для последующего уравнение дф дтф д!Р деф даф / дф ! — — — — — =(7Г+ — + й7(и — — ), ду дхду дх дуа дуа 'х ду ) ф=О, — =0 при у=О, — У при у оо, дф дф ду ду дф — =и (у) при х=х . ду (156) Совершив переход к введенным ранее переменным обобщенного подобия — Ф= —, у ф б" Уб" (157) ~, = У ' — га, 7а =- га-' — У а, ~'и — дах дх» ' дх» ') Юферев В. С. Параметрический метод расчета ламинарного пограничного слоя в магнитной гидродинамике.— Магнитная гидродинамика, 1966, № 4; Юфе.
р ее В. С. Об одном приближенном методе расчета ламинарного пограничного слов в магнитной гидродинамике.— Механика жидкости и газа, 1967, № 1, 124 — 127, т) Б о р и ч п ч 3. Локально-даухпараметрические уравнения плоского двнженяа л!ооводяшей несжимаемой жи кости.— Магнитная гидподинамика, 1971, № 1. с. 5 — 16 888 Гл хп лАминАРныи пОГРАничный слон В несжимАемои жидкости ки электропроводной жидкостью, т. е. к уравнению !в Фев + — ~еафевФ„+ д (1 — Ф„) = О, а при дополнительной локализации по )' в правой части уравнения (164) отсутствует первая скобка и используется второе граничное условие для уравнения 2 Фго+ (1оо+ — 1те! Фхефго+ 1оз (1 — Фш) = О 2 выражающего локально-подобное решение для тела с произвольным распределением скоростей на внешней границе пограничного слоя У(х), но в непроводящей жидкости. Сообразно с той или другой локализацией определяются и функции ~„(д) или!„()).
Таблицы н графики, приведенные в цитированной статье 3. Бори. чича, отчетливо показывают, что магнитный фактор д, совпадающий с квадратом числа Гартмана (9 91), в ко. тором в качестве характерной длины принята толщина потери импульса 6", знзй чительно влияет на течение электропроу водной жидкости в МГД-пограничном 4 Ц слое. С ростом параметра д приведенный коэффициент трения Ь возрастает, а оту 02 г рыв пограничного слоя затягивается. Это отчетливо видно на рис.
203, где цифры 1, 2,..., 5 на кривых обозначают следую- 0 ! л у! щие значения д,: ! — д,=О; 2 — д,=0,05; 5 — у,=0,10; 4 — й!,=0,15; 5 — йг,=0,20, Рис. 203 Главной целью настоящего параграфа была демонстрация возможностей применения метода обобщенного подобия к расчету ламинарных пограничных слоев в разнообразных физических условиях (проницаемости поверхно. сти, наличия электропроводности жидкости, движущейся в магнитном поле).
Такая направленность не оставила места для подробного количественного описания отдельных явлений; в связи с этим пришлось ограни. читься составлением универсальных уравнений и анализом некоторых результатов их численного решения, в частности вопроса о затягивании отрыва пограничного слоя. Метод обобщенного подобия с успехом применяется не только е теории ламинарных пограничных слоев, но и во многих других вопросах. Л. Г. Степанянц недавно применил метод обобщенного подобия к обратной задаче расчета распределений скоростей и температуры по заданному распределению толщины слоя между двумя твердыми поверхностями и для задач пленочного течения в приближении пограничного слоя.
Им были рассмотрены следующие задачи: 1) ламинарное неизотермнческое течение вязкого газа сквозь тонкую трубу переменно. го сечения'), 2) гидродинамическая теория смазки при больших числах Рейнольдса'), 3) движение вязкого газа в тонком слое'), 4) теплооб- ') Смирнов Б. И., Степанянц Л Г. Обобщенное подобие ламинарнмх неизотермических течений вязкого газа в тонких трубах переменного сечения.— Инж.-физ. журнал, 1982, т. Х1!1, № 2, с. 288 — 289. а) Сжата Т. И., Смирнов Б.
И., Степанянц Л. Г. Об одном методе решения задач гидродинамической теории смазки прн больших числах Рейнольдса.— Известив АН БССР, сер. физ,-знергетич. наук, 1978, № 1, с. 1!9 — 124. ') С ми р нов Б. И, Степа н я н ц Л. Г. Метод обобщенного подобия в задачах движения вязкого газа в тонком слое.— Инж.-физ. журнал, 1981, г. Х1., № 2, с.
204 — 2!3, 4 ггз пРОсГРАнственные пРистенные пОГРАничные слОи 559 иел при пленочном течении '). Во всех этих случаях составлены соответ- мвугощие универсальные уравнения и получены новые результаты, рас- ялрившне границы применимости метода обобщенного подобия. 6 115. Пространственные пристенные пограничные слои. Свободные пространственные струи В настоящем общем курсе нет возможности остановиться на многочисленных задачах теории ламинарного пограничного слоя, уже давно абьедииенных в соответствующих специальных руководствах, на многие лз которых уже были даны ссылки.
Приведем лишь несколько примеров простейших пространственных задач, дадим в следующем параграфе понятие о нестационари лых, а в 9 117 — о температурных погранич- М а лнл слоях при неизотермических движениях у однородной по физическому составу жидкости н представление о пограничных конценграци- Агл онных слоях в потоках с примесями. Простейший пример пространственного пристенного пограничного слоя дает продольное осесимметричное обтекание тела враще- Рис. 204 нля.
Как и в плоском случае, можно отсчитывать х вдо.гь контура тела, а у — по нормали к нему (рис. 204) и рассматривать эти координаты как прямочинейиые, з радиус-вектор Г точки А1 по отношению к оси тела с достаточным приближением считать совпадающим с радиусом поперечной кривизны тела г,(х) в соответствующем нормальном к оси тела его сечении'). При таком подходе основное уравнение пограничного слоя сохранит тот же внд, что и в плоском случае, а уравнение неразрывности примет обычную для продольного осесимметричного движения в цилиндрических координатах форму — + — =О, д (ги) д (ю) дх ду ао с заменой координаты г на г,(х). Основной системой уравнений в зтои случае будет следующая: ди ди Ж/ сии и — +о — =(7 — +ч —, дх ду дх дуз д (геи) + д (геи! дх ду (166) и=О=О при у=О, и-~(7(х) прн у-г-оо.
Уравнения (165) при помощи преобразования ') (штрих — производная ') К отель ни нова О. П., Степа на н ц Л. Г. Параметрический метод реще. нна задач теплообмена при пченочном течении жидкости.— Инж.-нзз, журнал, 1983, к Х1!Н, № 4, с. 632 — 636. ') Отказ от этого упрощающего предположения значительно увеличил бы вычяслятельные трудности (см. Л о й ц я иски й Л. Г. Лачннарный пограничный слой.— М: фнзиатгнз, 1962, с.
1о4 — 167). '1 С т е п а н о в Е. И. Об интегрировании уравнений ламинарного пограничного слоя для движения с осевой симметрией — Прикл мат и мех., !947, т. 11, в. 1; см. такие Ма п п1е г цг. Вег. аегодуп. Нега.— Апьк Оогггпяеп, !945, 45/А(17 и того же авто. ра: 2е11зсиг.
1. Ма!Ь. и. Мссй, 1948, Вд. 28, 5. 97 — !03 ббо гл, хп. лхминхгныи погухничныи слои в несжимхамои жидкости по х) к х = ) ', Я) аС, у = г, (х) у, о (166) е хц (х) уи о= — + й=и, и=и, с формулами перехода д 2 д, д =го + гчу дх дх ду ' д д ду ' ду превращаются в уравнения ди — ди и:+и: дх ду ди дх — дй де =и — + —, ух ду~ + — =о; дч ду (167) и = У= 0 при у = О, й -~ У (х) при у ч со, ничем не отличающиеся от уравнений плоского пограничного слоя.
Таким образом, при расчетах пограничных слоев на телах вращения прв осесимметричном продольном их обтекании, задача сводится к определению преобразованного к новым координатам (166) заданного рас. пределения У(х) скорости на внешней границе пограничного слоя в последующего рассмотрения плоского пограничного слоя. Так, например, применим преобразование (166) к случаю пограничного слоя, образующегося вблизи лобовой критической точки тела вращения при продольном его обтекании. Распределение скоростей во внешнем потоке вблизи критической точки на теле вращения будет линейным (У=сх); в втой области можно считать также г.(х) =х.
Тогда преобразование (166) сведется к следующему: уч ь — 1м х= — х, у=ху, и=и, о= — + —, У=с !' Эх=с,х' . 3 х х~ Как об этом можно судить по последнему равенству, рассматриваемая осесимметрнчная задача свелась к помещенной в $111 плоской автомодельной задаче Ф о к н е р а — С к э н с показателем степени т=!/3 (р=1/2). Таблицы решения этой задачи были приведены в $ !11. Пользуясь табл. !6, можем определить все интересующие нас величины в этой пространственной задаче: б', б б*= —, 6 = — тю=гчтч ° хО хк дб.* йб6- т — — (2+ Н) = —, дх й рй' ' (168) Применяя преобразование (166), выведем аналог интегрального соотношения К а р м а н а для случая осесимметричного пограничного слоя на продольно обтекаемом теле вращения.
Если пользоваться новыми переменными (166), то, как следует нз (167), уравнение К а рм ан а для осесимметричного течения должно иметь тот же вид (!06), что и для плоского течения: Е 11Е ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ПРИСГЕННЫЕ ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ 561 ГЛЕ о" =) —" (~ — — ") оо =., ) — "(1 — — ") оо=;оо о н аналогично О :) 4/='о ~ (1 — — ) с(у=г,б', так что б ° Напряжение трения т будет равно --"(.'-) —,".(.-;) .— ", ,о=о Подставляя полученные возражения 6", 6', Н и т в уравнение (168), найдем д ., У„»об" т — — (гоб")+ " (2+Н)= —, го(х) "х Уго(х) рг,У' е выполняя в первом члене левой части дифференцирование и простые преобразования, получим искомое выражение интегрального соотношения Кармана для осесимметричного пограничного слоя на теле вранеияя (169) го отличающееся от подобного уравнения для плоского случая последним слагаемым (го'6-/го) в левой части.
К тому же результату можно было бы прийти, переписав первое уравнение системы (165) на основании второго в виде + д (~~™у) (Лу~ дои ='о + ~го е дх ду дуо е второе уравнение, после умножения обеих его частей на (г', так: д (гоУи) + д (гоУР) = гои дх ду Вычитая почленно эти два уравнения одно из другого, получим д д дои — (г,и ((г' — и)) + — (гоп(() — и)1 = г 0' (и — (г') — тг — . дх ду дуо Интегрируя обе части по у от у=О до у=СО, найдем — (го()'6'*) + г () — 6' = г —, д» дх р е раскрывая выражение производной в первом члене слева, вновь прилеи к (169).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
