Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 128
Текст из файла (страница 128)
могут быть представлены ') степенными рядами ~ = 0,2204 + 1,7350~ — 2,4188)ок — 0,2992,г, + +18 234~д — 0 1653Яз+ Ов0937~» — " г Н = 2,5919 — 5,42827т + 21,914Д + 1,474!Гав — 163,06~', — 4,8076Яз — 0,506!уз + ~, = 0,4408 — 5,7! 39~а + 6,01891, '— 0,5984/з— — 7,3611)," — 3,27537!уз — 1,01237» + ° °, использование которых на практике ограничено их радиусами сходимости, определяемыми непосредственными вычислениями.
Точка отрыва является особой точкой, при приближении к которой быстрота сходи. мости этих рядов резко падает. Среди разнообразных применений метода обобщенного подобия в теории ламинарного пограничного слоя остановимся .в настоящем пара. графе на двух пристенных слоях: на проницаемой поверхности (отсос или сдув жидкости с твердой поверхности) и магнитогидродиналгическом (МГД) пограничном слое в потоке электропроводной жидкости. Подробное изложение теории ламинарных пограничных слоев на нроницаемых поверхностях (вдув и отсос той же, что и в набегающем потоке, жидкости или вдув жидкости с иными свойствами) приведено в специальных монографиях по теории пограничного слоя').
Метод обобщенного подобия к задачам ламинарного пограничного слоя на проницаемой поверхности был впервые применен Чаном' ), со- ') Лойцян си ий Л. Г. Универсальные уравнения и параметрические прнали. женка в теории ламинарного пограничного слоя.— Приял. мат. н мех., 1965, т. ХХ1Х, гй !. ') Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя)Пер. с нем.,— Мл Наука, 1969, с. 359 — 386, а также неоднократно ранее цитированный мемуар; Ьапппаг Ьонпаагу 1ау. егв/ег). Ьу Ко ае пи е а д Ь.— Ох1огг): С!агепг)оп Ргезз, 1963, р.
339 — 348. а) СЬап у. т'. Ьо)!в!апзнГз оперной 1ог Ьоппйагу 1ауегз тч1!Ь зпсноп апд гн!ее!. оп.— А!АА 3опгп., 1969, т. 7, )че 3, р. 562, 563. П 4!4. ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА ОБОБЩЕННОГО ПОДОБИЯ 553 ставившим универсальное уравнение и использовавшим для его решения метод разложения решения в ряд по степеням параметров, относительно которого были только что сделаны критические замечания. Численное решение универсального уравнения в простейших приближениях па ЭВЦМ для случая проницаемой поверхности было выполнено на кафедре гидроаэродинамики ЛПИ имени М.
И. Калинина А. Л. Л есппковы') и Л. Г. Шишкиной'). Уравнения ламинарного пограничного слоя на проницаемой поверхности имеют тот же вид (11) или (15), что и на непроницаемой. Различие сказывается лишь на первом граничном условии на поверхности тела. Если обозначить через о,(х) заданную скорость, с которой жидкость с теми же физическими константами р, рч и, что и в набегаюп)еи потоке, проходит через твердую поверхность [о,)0 при вводе (вдуве) жидкости, о,(0 — при ее отсосе] в нормальном к ней направлении, то первая строка граничных условий для уравнения (11) будет, в отличие от (12), иметь вид и=О, о=о, при у=О. Вводя обозначение для переменной в этом случае вдоль поверхности тела функции тока ф(х, 0) =ф,(х), изменим граничные условия на поверхности тела (у=О) для уравнения (!5) на следующие (штрих, как и раньше, обозначает производную по х): — =ф;= — о„— =0 при у=О.
дф, дф (142) дх ' о ду Можно сохранить старые граничные условия (15), если ввести новую функцию тока ф'(х, у), связанную с ф(х, у) равенством тр(х, у) =ф,(х) +ф (х, у); ф*(х, 0) =О. (143) Таким образом, задача сводится к интегрированию уравнения дф' доф' дф' дофо . д'тР', дефо — — — — — ф; — =УУ +.—, ду дх ду дх дуа о дуа дуз чр'=О, — =0 при у=О, дф' ду (144) — У(х) при у дф' ду — =и,(у) при х=х, дф' ду сдополнительным по сравнению с (15) слагаемым , д'ф' д'ф' фо — Оо о дут ' дуа в левой части уравнения (!44), Попытка решения этого уравнения в аффинноподобной форме ф'(х, у) = У (х) б" (х) Ф' ( †» ) = У (х) б- (х) Ф'($) приведет, аналогично тому, как это имело место в $ 111, к уравнению Ф'+ (Г+ — !)Ф'Ф*+!(! — Ф*)+ДАФН=О, (145) 2 / ') Л е си и кон А.
Л. Ламинарный пограничный слой на пронинаемой поверхно- сти.— Инж.-физ. журн.. 1972, № 5. ') Ш ишки н а Л. Г. Двухпарао4етрическое решение уравнений ламинарного по- граничного слоя на проницаемой поверхности.— Изв. АН СССР, Механика жидкости и газа,!973, № 6. ВЗ4 ГЛ. ХП ЛАМННАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖНДКОСТН (149) где, наряду с прежними параметрами [=У'Е=У'6"'/Р, 7=УХ', появ. ляется новый «параметр вдува», равный 1'об Чоод ) (Х)= — — ' (146) м У Повторяя алгоритм, принятый в $ ! 13 для вывода уравнения погра- ничного слоя в переменных обобщенного подобия для непроницаемой поверхности, введем преобразование ор'(х, р) =У(Х)6" (х) Ф'[$; ([,), (уо), (й )), ~,=и"-" — '"", 7„= — "'и", (147) К" ' д" до-т„о-И до р о-и д» чн дг ти Тогда придем к следующему универсальному уравнению движения вязкой жидкости в пограничном слое на проницаемой поверхности: [ дф' доф' дф' д'ф' 1 ! д6 д;а., дх„дР) где введены старые обозначения (125) для Оо и 8, и новое для Л„: Л,=~(й — !)7, + ~'" ') Р,])м+7.„„ причем при выводе уравнения (148) использованы соотношения (7Х6 = Р— 1) ~1 + ЧТ) 6+ 6+1 = Он, (7Х1А=[(й — 1)[1+ЧТУА+Ь+ =О», (150) иа,'=~(й — !)1,+ ( ~~Я~.,+).„,=Л,.
2 Интегральное соотношение, выводимое аналогичным изложенному в 9 113 приемом интегрирования обеих частей уравнения (148) по $ от с=О до $=ОО, приведется к виду ~, = 2 [ ~ — (2+ Н) ~, — 71, ), (151) отличающемуся от (130) наличием последнего члена в квадратной скоб- ке в правой части (151). Довольствуясь, как и в предыдущем параграфе, локализацией по всем параметрам, кроме 7,=1 и ),=А, и урезанием по параметрам, по которым была проведена локализация, получим универсальное двухпа- раметрическое уравнение + [7'+ ~ 7) Ф'дф, + У~1 — ~ дф ) ~+Л~ /дф доф' дф доф 1 lдфо доф дф' дофо1 = 77 ~ — — †.— —.) + 771 [ — — — — — ); (! 52) ~ до д7д$ д7 д.о ) [, до додх дь доо 7 ' дф' дф' Ф'= — =0 при $=0, — 1 при ~- со, д$ д5 Ф* = Ф, ($) при 7 = Л = О.
В ПС ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА ОБОБЩЕННОГО ПОДОБИЯ 555 Уравнение это было проинтегрирована на ЭВМ Л. Г. Шишкиной. Приведенные в только что цитированной работе графики зависимости Я,Л) и 7(), Л) показаны на рис. 200 и 20!. Отчетливо видно влияние отсоса (Л)0) на затягивание отрыва пограничного слоя. Вдув (Л(0) со скоростью, нормальной к поверхности, наоборот, предваряет отрыв, но способствует переходу ламинарного движения в турбулентное, что также приводит к затягиванию положения точки отрыва.
сг ав аВ а -ам -алг -аав-аав а аа4 аав а -а,ав а а,ав алв а г Рис. 200 Ряс, 201 Для определения толщины пограничного слоя служит уравнение 4 (7, л) 2 !5 (7, л) — !2 ь и и, л)17 — М Лт и (в) и (в) причем так же, как и в случае непроницаемой поверхности, числитель справа может быть приближенно заменен линейной функцией 7(7, Л) =а — Ь1 — 2аЛ, (154) что облегчает интегрирование уравнения (153). Постоянная а была приаята равной 0,44, а Ь=5,15. Отличие от принятого ранее Ь=5,75 не су4дественио. В качестве эталона сравнения с точным решением было ' 73и) взято уже цитированное в конце лФ/ =а " 4= ° — и=ав предыдущего параграфа решение Террилла для двух значений постоянной безразмерной скорости от- ав соса Р,=О и и,=0,5.
Как видно гс- а а ~Таси (рис. 202), приближенные решения Л. Г. Шишкиной (ннжнне кривые) мало отличаются от точных (верхпаиа няе кривые). Приближенное реше- йа аяе при а,=О совпадает с однопараяетрическим, сравнение которого с Лвухпараметрическим и точным решением Террилла было показано нв ряс. 197. а дв Вв Исследования МГД-пограничных слоев в конце пятидесятых — начале шестидесятых годов проводились многими учеными (Л и к у д и с, Р о с с о в, В у и др.), использовавшими Лля этой цели различные методы теории пограничного слоя (автомодельвые решения, однопараметрические методы, разложения по малому параметру) .
(153) Рис. 202 556 ГЛ ХП ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ Первые применения метода обобщенного подобия к МГД-пограиич. ному слою были выполнены на кафедре гидроаэродинамики ЛПИ В. С. Ю ф е р е в ы м '). Расчет следующих приближений был произведен в дальнейшем югославским ученым 3. Б о р и ч и ч е м '). Предполагая внешнее магнитное поле перпендикулярным к поверх. ности тела (В„=О, В„=В; обозначения те же, что в $91), внешнее электрическое поле отсутствующим (В=О), а жидкость нейтральной, воспользуемся общими уравнениями (110) и (111) гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
